泛函分析答案(完整版)

1、1 1 . . 1的极限是唯一的中的收敛列证明距离空间 n xX *.* 0*)*,( )( 0*)*,(*),(*)*,(0 )( * xxxx nxxxxxx nxxxx nn nn = + = + ，即所以 ，则，设 第七章距离空间、赋范线性空间 2 .* * . 2 x xXxxX nn 的任一子列收敛于 收敛于中的序列试证距离空间 .* 0*),( 0*),( )( * xxxxxx xxnxx kk k nnn nnn ，所以，故 的任一子列，依条件，是，设 .*.* *),( *),( 0 * 0 0 0 xxxx xx xxxx NnN xxxx nn n nnn nn k k

2、 k 收敛于此与假设矛盾，故不收敛于显然 使的一个子列，于是可选取 ，使，都存在，使对任意的自然数则必存在 ，不收敛于，如果的任一子列收敛于反之，设 3 ),(),(| ),(),(| )ii( ),(| ),(),(| ) i ( . 3 wzyxwyzx yxzyzx Xwzyx + + ：中的任意四个点，证明是距离空间、设 ),(| ),(),(|)2()1( )2( ),(),(),( ),(),(),( )1( ),(),(),( ),(),(),( ) i ( yxzyzx yxzxzy zxxyzy yxzyzx zyyxzx + + + + 即得：、结合 得再由 得由 ),()

3、,(| ),(),(|)4()3( )4( ),(),(),(),( ),(),(),(),( )3( ),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),( )ii( wzyxwyzx wzyxzxwy wzzxxywy wzyxwyzx zwwyyxzyyxzx + + + + + + + + + + 即得：、结合 得再由 得由 4 距离吗？是定义在实数集合上的 2 )(),( . 4yxyx= ., 24120 ),(),(),( ),( .)(),( 2 上式就不成立时，比如取 满足、不能对所有的因为 的距离不是定义在实数集合上 = + = = + = zyx yzzxyx z

4、yx yxyx . ),( . 5 收敛 中的基本列，证明是距离空间、设 nnn nn yx Xyx = = .Cauchy ),(),( | ),(),(| ),( 0),( ),( 0),( 数列，故收敛是即知 再由 依条件： n mnmn mmnnmn mn mn yyxx yxyx mnyy mnxx + = + = 5 的闭包是闭集。中的任一集合试证距离空间 X . 6A . , 0 ) ,( ),(, 2 min(), ( , 2 ),( , 0 是闭集所以即，故 是任意的，因且所以 且，使于是有 ，则必如果，因为 且，存在，则对任意设 AAAAAx xxxx xxxxxxAx A

5、xAxAxxx xxAxAx 6 是闭集。 是开集， ，试证：，是距离空间，设 ),(| ),(| 0XX .7 = = AxXxF AxXxG A . ) 2 ,( .)( 2 1 ),(),(),() 2 ,( ),( ) i ( 000 000 0000 是开集，故所以 时， ，则当，令，则设 GGxB AxxyAyxBy AxGx + + = + + = .),( 1 ),() ,(),(),( 1 ) ,( )ii( 00 000 00 是闭集，所以，故即得令 ，则，满足，取对每个 ，则存在设 FFxAxn n xxxxxxAx n xxAxn xxFxFx nnnn nnn nn

6、+ + + + 2 7 . ),(1 ),( ),( ),( . 8 上元素间的距离也定义了 上的距离，则是距离空间设 X yx yx yxXyx + = + = .),( ),( ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(),(1 ),( ),(),(1 ),( ),(),(1 1 1 ),(1 1 1 ),(1 ),( ),( ),(),( ),( iii) ),( ),( ii) 0),( 0),( i) 上的距离也定义了所以 ，则，设 ，且 由定义显然有： X yzzx yz yz zx zx yzzx yz yzzx zx yzzxyxyx yx yx yzzxyxXzyx

7、xyyxyxyxyx += + + + + + + = + + = + = + = += + + + + + + = + + = + = + = 8 . . 9完备的试证任一离散空间必是 . . 0),( , 1),( , 1 0 ),( NnNn mnmn n xxxxNn xxNmnxx NmnNXx yx yx yxX = = = = + = + = + = + = 10 )()( : .11ALALEA= =的有限子集，证明是赋范线性空间设 ).()( )( , , )( )( )( )( )( )( , , 2121 ALAL ALxyxixyjyy yyALy ALALyxyAL

8、yALxnEAL xxxExxxA ii ii ii i nn j j = = = = = = 由此可知 ，即故，但，使 ，的一个子列及是局部紧的，故存在 中的有界序列，但是，从而使 ，则维子空间，设的是则 线性无关，不妨设设? 11 . , )1( , , .14 的非闭子空间 是中的范数，试证按baCmbaCbaC m . , , , , , , )( , , 的非闭子空间是，即 ，故），显然，中稠密（即 在逼近，故多项式的全体都可以多项式序列一致 一连续函数的线性子空间，因为任显然是 baCbaCbaCbaC baCPbaCPbaC Ptx baCbaC mm m m = 12 . .1

9、7中的单位球是凸集试证任一赋范线性空间 . )1 , 0( )1 , 0( )1 , 0()1( 1)1()1( )1 , 0()1 , 0()1 , 0( 也是凸集类似地 是凸集，即所以 ，则，设 B BByx yxyx ByBx + + + = = = = = = = = = = xMmmex xMmmex emem xMxMex MMEee EnE n i i n i ii n i i n i ii i ni i ni n i i n i i n i ii n ? 14 )(inf)( , , .19 11 , 11 1 1 1 nnnn n n xxxxxx nEx ExxE n +=

10、+ +=+ ? ? ? ? ，使得个实数，证明存在 中线性无关元，是是实线性空间，设 .lim*)( * .* )2 , 1( ,),()(inf , 11 1 0 0 0 0011 , 010 1 dxxxxxxx xxExx xxE Exdxxi ExdExxxx nEExxLE j j j n i j nn n i iii ii ii inn n =+ = = =+ = =+ = = =+ = = = ? ? ? ? ? ，则设 ，中有收敛子列是有限维的，故因 中有界序列，是，则使 取 维子空间，令的是，则记 15 . X .20 XAX AXA = = 是内点）的充分必要条件 没有是稀

11、疏集（即是距离空间，试证：设 . )(),(0X XAXXxAXx AXxBAx = = 是任意的，所以，即因，所以 ，没有内点，故，因设必要性， . )(),(0 X 是稀疏集没有内点，所以 的内点，不是，即，所以 ，则设充分性， AA AxAXxB xxAXxxXAX nn = = 16 . .21的试证全有界集必是可分 . , 1 1 1 是可分的中稠密，故在至多可数，显然且 ，则，然后令网， 的一个有限，存在然数是全有界集，对每个自设 MMAA MAAAMAxx n MnM n nnkn = = = ? 17 .1 , 0 1 , 0 )1( 1 , 0 .22 C CmC m 的距离

12、的完备化空间是按试证 .1 , 0 1 , 0 1 , 01 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 C CCCP CPCPC P C mm m 的完备化空间是，从而 ，故，但中稠密，即 在的全体致逼近，所以，多项式都可以用多项式序列一 每一连续函数是完备的距离空间，且我们已经知道 = = 18 . , Banach , | )(|max .25 0 )( ）一致收敛（此函数列及其各阶导数素列依范数收敛等价于 中元空间，且是下所成的赋范线性空间 数次连续函数的全体在范 m baCbaC txx m mm m i i bta = = = = ., , 1 , 0 )()( , 1

13、 , 0 0| )()(|max )( 0| )()(|max )( , 1 )()( )()( 0 )()( o 收敛数列及其各阶导数一致中依范数收敛等价于函即 一致收敛于 ，则，设 baC mitxtx mitxtx ntxtxxx nxx baCxbaCx m ii n ii n bta m i ii n bta n n mm n ? ? = = = = = = = = 4 19 .Banach, , 1.,), 1 , 0( Banach ,), 1 , 0( , 2 0 o 0 )( 0 )( )( o 空间是是完备的，即 ，故中依范数收敛于在的结论，即知 中所证再利用，故得 ，我们

14、可间可以交换顺序，因此求导运算与极限运算之 敛，那么数列及其导数都一致收微的函数列，如果此函 已知事实：一个连续可，再根据数学分析中的续函数 都一致收敛于某连，空间，故对每个是 中的基本列，而是， ，对每个中的基本列，由上所证是设 baC baCybaCx baCymiyy y xi baCbaCxmi ibaCx m mm n mi i i i n i n m n = = = = ? ? .25 20 .Banach )( |sup .26 空间是所成之赋范线性空间 范数试证有界数列的全体依 m xx ii i = . Banach 0 |sup ,2 , 1 | ,2 , 1 | , ,

15、0 . )( supsup )( 0|sup ),( )( )( )()( )( )()()( )( 空间故是 是完备的，即是任意的，故因为 时，所以，当 ，时，即得当令 ，时，从而当 时，使当，取任给 ，则是一有界数列，令而基本列 ，因序列，设 是收敛，可知对每个由 是一基本列，记设 mmxx xxNn iNnm iNmn xxNmnN mxxx xn ixx xmx n i n i i n i n i m i n i mn in n n i i ii n i n i m i n i i mn n inn = = = = = = = = = = ? ? 21 . .29子空间也是完备的试证完

16、备距离空间的闭 . . 0000 0 00 完备的 是中都有极限，所以中任一基本列在，即所以 的闭子集，是，但，使完备，故本列，因 是一基设的闭子空间是是完备距离空间，设 XXXXx XXxxXxX XxXXX n n . .30空间是闭的试证距离空间的完备子 . * * * 0 000 00 000 000 是闭的 ，所以，即由极限的唯一性得 ，使中收敛，即存在在所以 是完备的，中基本列，也是，故但 中基本列，中收敛列，从而是既是， 使，则存在的完备子空间，是设 X XXXxxx xxXxXx XXxXx XXxxx XxXxXX nn nn nn n = = 22 = = + = + 1

17、, 1 0),(sup , .31 n n Ayx nnn n AyxdAA AX n 满足： 是：闭集串是完备的充分必要条件试证距离空间 . * ), 2 , 1( * * ), ( 0),max(),( 11 1 = = = = + = = + ? n n n n nnn n mnmnnn AAx nAxxxXx XXxmn ddxxAx ，这说明 ，所以，又使故 是完备的，中基本列，又是，故当 ，则必要性，任取 23 . 0),( 0),( 0)( ),(sup),(sup 0),(sup | 1 , , 是完备的，即，即 ，所以，但，所以 ，显然，故 皆有，又因为，对任意子集 ，则中基

18、本列，令是充分性，设 Xxxxx dxxAxAA dAdyxyx Axxd nixAXx nn nnnnn nn AyxAyx ji Axx n inn nji = = = = = = + + 24 . ), 2 , 1( E .32 1 中稠密在开集，试证： 中一串稠密的是是完备的距离空间，设 EA EnA n n n ? = = = = ，串依此法可求出一列闭球 ，那么，此处可取 ，然后取，中稠密，取在又 ，此处可取，使是开集，故存在因 ，使，取，设记 ),( ).,(),( 2 1 0 ),( 2 1 ),( 2 ),( 0 2 ),( 0E 112212222 112222 11111

19、1 111 1 nn n n n xBB xBxBAxB xxAxXA AxBA xxAxxAA = = = = = = 5 25 . 0 2 1 *),(),(*),( * .* . 2 1 :),( 1 111 1 11 1 1 中稠密在的任意性即知由 ， 得：由的完备性，存在于是由 ，且， ，具有性质串依此法可求出一列闭球 XA xxxxxx BxABxX ABBB xBB n n n n n n nnn nnn nn n = = = + + = = = + + + + 27 . .35续泛函是一致连续的试证紧距离空间上的连 . 0| )()(| )()(| )()(| 0),(),(

20、),( | )()(| 1 ),( , 0 0 0 0 一致连续得矛盾，所以 ， ，故，所以 ，再由，设中存在收敛子列 是紧的，故，又，而 ，都存在，使对任意自然数的，则必存在 不是一致连续上的连续泛函，若是紧距离空间设 f yfxfxfxfyfxf xyyxxx yxXxxxx Xyfxf n yx Xyxn fXf kkkk kkkk kkk nnnn nnnn nnnn nnnn nn + + + + 28 . )(),(sup),( )( .36 11 1 下是完备的 在距离的连续映射的全体明： 是完备的距离空间，证是紧距离空间，设 tytxyx XXCXX XX Xt = = ()(

21、) . )( ),( ),(),()(),(sup)(),(sup )(),()(),(sup)(),(sup),( )( . ),(),( ii) 0),( 0),( i) )(, )(),()(),(sup )(),(sup),( )(, 1 1 1 000 1 上元素间的距离定义了故 时，此外，当 是显然的 及且 ，设 ，使事实上，必有 有意义， ，是紧距离空间，故对因为 XXC yzzxtytztztx tytztztxtytxyx XXCzyx xyyx yxyxyx XXCyx tytxtytxXt tytxyx XXCyxX XtXt XtXt Xt Xt +=+ += = =

22、+=+ += = = 29 . )( )( )( )(),()(),()(),()(),( )( )( 2 2 )(),( )1( )(),( , ),( , 0 )1( )(lim)( )( 0),()(),( )( 11 1 1 11 1 是完备的，所以且所以 的连续映射，是的连续性，即知并注意到每个 ，然后由上一致收敛于在）式表明（ ）（， 时，式即得，当，注意到令 ，有时，特别当 ，时，使当，取 的映射。是则 定义 完备，故它收敛，中的基本列，因是，故对每个 ，个中的基本列，因为对每是设 XXCxxXXCx XXtxx txtxtxtxtxtxtxtx txXtx Xttxtx Nnm

23、 txtxXtNmn xxNmnN XXx Xttxtx XXtxt xxtxtx XtXXCx n n nnnn n n mn mn n n n mnmn n + = + = 30 . .37 为有界闭集自列紧的充要条件是 有界，列紧的充要条件是集合试证 MM MMR N .证明（略） 6 31 . 2 )(| )(|)( , 1 , .38 中诸函数等度连续）（ ）；（，使，存在）对每个（ 是：为相对紧集的充要条件中函数集合试证 M MxtKtxtKKbat MbaC +=+= . , .1| )(| )()(| )(| , , .max | )(sup| , 2 , 1 , 0 )1(

24、1| ) ()(| | | , 0 . 1 0 是列紧集的判别法即知 中集合列紧性，根据中诸函数是一致有界的故 ，则时，设那么，当 ，设 ，然后记，使取自然数 时 ，使当可取中函数的等度连续性，由 中诸函数是一致有界的设条件下，必要性显然，下证在题 M baCM Ktxtxtxtx Mxtttbat KKKMxtx ni n ab iat n ab n Mxtxtxtt battM M ii ii i nt ii i + = = += + = = += + + ? 32 . 3 1 3 1 1 0 ),( 不能是紧的网，故不能有有限的，那么取 当 当 义为：离散空间，其中距离定是含有无穷多个元

25、素的设 XX yx yx yx X = = = = = = . .39 紧距离空间 元素的离散空间不是试证任意包含无穷多个 33 . )()()(),( (*) 1 ,0)( .1)( 1010 ) ( .40 1 0 1 0 1 0 2 有唯一的连续解 方程试证，对任意的 上的连续函数，且是设 xgxfdyyfyxk Cxg dxdy|x,y|k ,x,yk = = .1 , 0 )()(),()( 1 , 01 , 0 1 , 01 , 0)(),( )1( )( )()()()( 1 ,0)( 1)( 2 1 0 22 22 1 0 1 0 22 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0

26、2 1 0 2 1 0 1 0 2 LfxgdyyfyxkxTf LLT LfLdyyfyxk dy|y|f dxdy|y|fdy|x,y|kdxdyyfx,yk Lxfdxdy|x,y|k = = = = = = ： ，于是可定义算子，故 时，因为当记 34 .* )(* )(* )(*),( * )()(*),()(* * 1 ,0 1 , 01 , 0 10 )(),()(),( 1 , 01 .1 , 0 )()(),()( 1 , 01 , 0 1 0 2 1 0 222 21 1 0 1 0 2121 2 21 2 1 0 22 ）的唯一连续解是方程（也是连续的，即 是连续函数，故

27、时，因为当 ，即有唯一不动点 中是压缩映像，它在：，故因 ：，）可得，仿（ ：于是可定义算子 xf xfdyyfyxkLf xgdyyfyxkxff LLLT ffdyyfyxkdyyfyxkTfTf Lff LfxgdyyfyxkxTf LLT = = = = xTxMx MyxyxTyTx MMTXM ，使必有 ，证明，对任意满足： ，中的有界闭凸集，空间是设 .* 2 1 2* *)1(* * )(* )1( , )1(: )1 , 0()( 0 0 0 0 += = += + += = += + Txx K KTxxTxx Txxx xxTxxT yxyTxTMyxMx MxTxxxT

28、MMT KMxKx ，即得只须取 ，由此可得即 使是压缩映射，则存在所以 ：，则其中 如下： ，定义，任取，其中设 36 .* * , ),(),( : .42 ）满足 存在唯一的中有唯一的不动点（即在试证 满足：是紧距离空间，设 Txx xMT yxMyxyxTyTx MMTM = = . * * ) *,() *,() *,( * .* 0 *)( *)*,(*)(*,(*)( 0 *)*,( *)( 0 ),(2),(),(| )()(| ),()( 是唯一的的此矛盾说明满足 ，则，亦满足，若另有 ，即矛盾，所以的最小值为此与 ， ，则，若，即设 ，下证上达到最小值在 是紧距离空间，上的

29、连续泛函，因是可知 ，则由，令 xxTx xxTxTxxx TxxxxMx Txxmmxf mTxxTxTTxTxf mmTxxmxf mmMf MMf yxTyTxyxyfxf MxTxxxf = = = = = = = + = = = = = = = = + = 7 37 . ),( . ),( |max),( ),(),( .43 1 11 成一距离空间按从而上的距离是试证 ，中定义：对在 = = = = nn ii ni nn n RR yx yxR ? . ),( ),(),( |max|max |)|(|max |max),( iii) );,(),(ii) ;0),(0),( i

30、) ),(),(),( 11 1 1 111 上的距离是所以， ，且 则 ，设 n ii ni ii ni iiii ni ii ni nnn R yz zx yx xy yx yxyx yx zyx += + + = = = = += + + = = = = ? 38 . | .44 覆盖 的一个限个）集组成中可取出可列个（或有证明从 的一个开覆盖，为是可分的距离空间，设 XG XJcGX c c . ),( | ),( . ),( | ),( ),( ) 1 ,( ),( ) 1 ,( ,| ),( XmnmnG mnmnG mnGGG m xB Gmn G m xBGmnmn Xx cc

31、n c cnc n 覆盖下证 至多是一可数集则 ，为，并记此 使时，任取一个是一可数集，当则 ，使为自然数， 的一个可数稠集，记是设 = = 39 . ),( | ),( ).,( ),() 1 ,(),( ) 4 ,() 1 ,( 2 1 ),( ) 4 ,( . ),( | ),( XmnmnGXx mnGxmnG m xBmn G m xB m xBx m xx xG m xBm GGxGXx XmnmnG n cnn nc ccc 覆盖是任意的，所以因 ，且，故此自然数对 ，由此可知：，则 ，使，然后取，使有自然数 是开集，故，存在，使，必有某 覆盖下证 = = = = 44 .| )

32、( )(0 ii) | )( 0 i) )1( .48 1 = = = = ni p i i i p ii p NnAxNN KAxK Apl 皆有 时，当，使对任意， ，皆有，使对一切存在常数 ：列紧的充分必要条件是中子集证明： ), 1( ) 2 (| ), 1( )( ) 4 ( 2 1 0 ii) i) /1 /1 )( )( 1 /1 kjN kjx xxA p p Ni pj i j ij k p ? ? ? = = = = ，使取自然数 ，设 ，网：的一个有限的，取设 是显然的，下证必要性： 45 . )( | ), 0 , 0 ,( 1 )( | 0 00 10 /1 1 是列

33、紧集是完备的，故网，又有列紧的故 显然是列紧集，网，又的一个是则 令 ）（， ，使，取自然数充分性： AlA AAA AA Ax N p iN i p Ni p i = = = = += += ? .| | ) 4 ( 2 1 | )( /1 /1 )( /1 )( /1 /1 /1 1 )( + = + .),( , , 0 11 Mxxxx AxnMM Exxxx AA ii nn ，故使都有 ，因为对的维数，则的子空间记为 张成的，由网：的一个有限的 是全有界的，故存在，按假定，必要性，设 ? 47 . 2 0 2 , , 2| 2 ),( )( 2 )( .),( , 0 11 是全有

34、界的故 网，有一个有限的，网，这证明了一个 的是，显然网有一个有限的 是列紧集，因此是有限维的，故的有界集，但 中是，则，令 ，使，可知：存在由 。时，有 ，则当设 ，使的子空间，都存在充分性，设对任意的 A A Ayyyy BBM MBKyMyByx KyMyMx AxKxyxyKy MyAxKxMxAx ME nn += + + += + + ? 48 rxBAr AxxyxyxAyAx rrxBXXAX . ),( )1( ),( 10 )( ),(),( )0( ),( .57 0 00 0 中有唯一不动点在，证明 ，且，其中内适合 在开球：为完备的距离空间，设 ()() ()() .

35、 ),( * ),(),( * ),( ),(),( )1( ),(),( )1( )1()1(),( ),(),(),( ),( 0100 10 1010 2 1100 2 0 00000 不动点 中的唯一在是，故 ，再由中有唯一的不动点故它在 是压缩映射，的映射，则看成把 ，其中所以， ，则设 rxBAxrxBrxBA xrxB ArxBrxBA rrrrxBrxBA rrrrxx xAxAxAxxAxrxBx = =+ + = =+ + 9 49 . .58空间是可分的证明可分距离空间的子 . )( 0 211 ),(),(),( ) 1 ,( 1 ),( 4 1 0 0 . |). 1

36、 ,( ),( , 00, 0, , 0, 0 ,0, 0, 21 0 是可分的，即 中稠密，在是任意的，故因为 ，且，于是 使，再取满足，取，设有限集 是一可数集或，则，任取对每个 ，则至多是一可列集，令 ，记，对每一对自然数一个可数稠集 的是可分的，取的子空间，设是是距离空间，设 XXx Xx mmm xxxxxx X m xBB m xx x m mXx xXBxBB XBBB m xBB mnXAxx XXXXX mn mn mnnnmn nmnn n mnmnmnmn mnmnnmn =+ = = = =+ = = = ? 50 . , )0( | )(| , 0)( | , , .

37、49 为闭集是为开集的充分必要条件 时，必为闭集，而集 时，当中，集在 baB tfBtbaCf tfBtbaCfbaC +=+= = +=+= = = 52 . ),( 0 ,| )(| | )(| , )2( 00 是开集，故时，则当 ，令故，设上达到最大值在 连续，故，因为闭集，反之，设 MMfB tfBtB tffMfbaB = = = = .49 53 . , .50不可分证明baM . , 1 3 2 ),(),(),( )( ) 3 1 ,( , ) 3 1 ,( ) 3 1 ,( ) 3 1 ,(,| ) 3 1 ,(, , )1( 1),( , ,| 0 1 )( , 200

38、121 021 0 21 21 0 11 1 21 是不可分的）矛盾，所以此与（ ，这样一来，于是，存在 是不可数集合，是不可数集合，故必有因 特别 ，于是集可分，则存在一可数稠如果 显然有 中的距离，是一不可数集合，依则 ，令对每一 baM fyyfff yBff yBfnf yBffyBbaf yBbaMybaM ff baMbaMbaf bt ta tfba nn n n n n n n n nn + + = = = = = = = = = = ? ., 23)( 0| )( 23 )()( /1 1 )()( )( xxXxxx Xxxxi xxxx xxXx X n i ii n i

39、 n i p i p m i n i mn n i nn = = = = = = = = 且题可证，仿令 ，收敛，设，从而对每个 ，则中基本列，记是设 题证明。是赋范线性空间可仿 56 .Banach, )(| )(| , )( , .53 空间是试证 中定义范数在 的全体，上右连续有界变差函数表设 baV xVaxxbaV bababaV b a += += ).()()1( ,)(lim)( (t), )1()( | )()()()(| )()(| )()(| , ., , txtx battxtx xbat xxxxV axaxtxtxaxaxtxtx batbaVx baV baVba

40、V n n n n mnmn b a mnmnmnmn n 一致收敛于可知，由 收敛，令，可知，对每一 由是基本列，设 是完备的都易验证，下证满足范数的三条公理）（即 上的范数是是线性空间及 = =+ + = =+ + 57 . )( , )( | )()(| )() (| ) () (| | )() (| , 3 1 | )() (| , 0 )( , 3 1 | ) () (| 0 , )( 00 000 0 00 000 0 右连续函数 是是任意的，故右连续，又在所以 时，于是，当 时，使当 ，是右连续的，故存在，因固定 时，使当取自然数 ，任给，右连续，设先证 txbatttx txt

41、xtxtxtxtx txtx ttbtt txtxttbtt txNn battxtxNnN battx nnnn nn n n + + 58 . , , )(| )()(| | )()()()(| )()(| | |)(| )()(| | )()()()(| )()(| , , 0 1 11 1 11 10 是完备的所以故 时）（当即 时是任意的，故得，当因为分点 时，即得当上式左端令 时，于是当时，使当取自然数 ，任取一组分点现在设 baVbaVxx Nnxx xxVaxax Nnt txtxtxtxaxax Nnm xxxxVaxax txtxtxtxaxax NmnxxNmnN btt

42、ta n n n b a n i k i iiniinn mnmn b a mn k i iminiminmn mn k + + =+ + = + + =+ + = = = = = ? 59 . .54至多具有连续势明为可分的距离空间，证设XX . , , 至多具有连续势多可列，故 至至多具有连续势，又一个子集对等，因此， 的与也不同，于是不同时，所对应的子列 与此子列对应，显然，然后令的一个子列收敛于 中，任取，具有连续势，可列集时， 为为有限集，当是有限集时，则当全体记为 的子列的限稠集）的一个可数稠集（或有是设 X xxX CxXyx xxx xxxXxC xCxC xXx nn n n

43、 nn nn nn k 60 . 0 .55 的距离都小于中每点与，使的有限维子空间 ，都存在条件是：对任意的是全有界集的充分必要 中有界集，证明：是是赋泛线性空间，设 MAME AEAE .),( , , 0 11 Mxxxx AxnMM Exxxx AA ii nn ，故使都有 ，因为对的维数，则的子空间记为 张成的，由网：的一个有限的 是全有界的，故存在，按假定，必要性，设 ? 11 61 . 2 0 2 , , 2| 2 ),( )( 2 )( .),( , 0 11 是全有界的故 网，有一个有限的，网，这证明了个 的一是，显然网有一个有限的 是列紧集，因此是有限维的，故的有界集，但

44、中是，则，令 ，使，可知：存在由 。时，有 ，则当设 ，使的子空间，都存在充分性，设对任意的 A A Ayyyy BBM MBKyMyByx KyMyMx AxKxyxyKy MyAxKxMxAx ME nn += + + += + + ? 62 . .56 覆盖开覆盖都存在着有限子要条件是该点集的任何 个点集为紧集的充分必在距离空间中，证明一 .),( 0 | GxB GAxA GAXAX 使得 ，都有某，使对的开覆盖，先证存在是 是紧集，是距离空间，必要性，设 .) 1 ,( 0 G n xBG Axn n n ，都不能有使对任意的 ，必有，则对每个自然数如果不存在这样的 63 . 0 0

45、 ) 1 ,( *)*,() 1 ,( 4 1 4 *),( *)*,( 0 * * * * ), 2 , 1( = = 是存在的，现固定 矛盾，说明所要求的都不能有这与对任意的 ，此时必有，且 时，使当，取，使开集，故有 是，因为，使有，对此， 有一收敛子列，故是紧集，现在，因为 G n xBG GxB n xB n xx KkKGxB GGxGxAxxx xnAxA n k n k n nn nn kk kk ? . , 1| , 1| ),( , ),( ), 1( , 1 1 必要性得证 。覆盖，从而覆盖 网，故的是，因为使取 ，对每个网：的一个有限取 AkiGAkiyB AyyGyB

46、G kiiAyyA i ii i ki k ? ? ? = = = = 64 . , 2 , 1| ),( , 2 , 1,|)(,( , )(,( , 0)( , , ),( 0 . ),( 0 , 21 2121 ，由此可知充分性成立盖意有限个开集都不能覆 ，显然，此开集族中任覆盖 这样一来，开集族 中的点，不含有使时，有 ，且中的一个点有 恰含，使得，必存在于是，对每个 中的有限个点中最多只含有，使得 必有中收敛，即对的任一子列都不在 ，序列不是紧集，必存在一个充分性，如果 A AnrxB nxxAxxrxB xxxrxBxr xxxAxxxx rxBrx xrxBr AxAx AxA

47、nn n n nnnn n n n ? ? ? ? = = = = 65 rxBAr AxxyxyxAyAx rrxBXXAX . ),( )1( ),( 10 )( ),(),( )0( ),( .57 0 00 0 中有唯一不动点在，证明 ，且，其中内适合 在开球：为完备的距离空间，设 ()() ()() . ),( * ),(),( * ),( ),(),( )1( ),(),( )1( )1()1(),( ),(),(),( ),( 0100 10 1010 2 1100 2 0 00000 不动点 中的唯一在是，故 ，再由中有唯一的不动点故它在 是压缩映射，的映射，则看成把 ，其中所

48、以， ，则设 rxBAxrxBrxBA xrxB ArxBrxBA rrrrxBrxBA rrrrxx xAxAxAxxAxrxBx = =+ + = =+ + 66 . .58空间是可分的证明可分距离空间的子 . )( 0 211 ),(),(),( ) 1 ,( 1 ),( 4 1 0 0 . |). 1 ,( ),( , 00, 0, , 0, 0 ,0, 0, 21 0 是可分的，即 中稠密，在是任意的，故因为 ，且，于是 使，再取满足，取，设有限集 是一可数集或，则，任取对每个 ，则至多是一可列集，令 ，记，对每一对自然数一个可数稠集 的是可分的，取的子空间，设是是距离空间，设 XX

49、x Xx mmm xxxxxx X m xBB m xx x m mXx xXBxBB XBBB m xBB mnXAxx XXXXX mn mn mnnnmn nmnn n mnmnmnmn mnmnnmn =+ = = = =+ = = = ? 1 1 1 1 1 1:)0 ,()0 ,()0 ,( 1|,max| 1 1 ),()0 ,(),( . 212 111111 42 11 21 2 2 2 111211 4321 = = =+= = = =+= TTT TxTxTx rTT TT xxxxxxxxT TTTT ；，所以类似地 ，得由 ， ，类似地有：是有界的，且可知 由 显然是

50、线性算子、由定义， . ),(),(: ),()(: ), 0(),(: )0 ,(),(: . 1 2121412213 22121211 22 4321 并说明它们的几何意义 子，求出它们的范数，试证它们是有界线性算 ；， ； 分别由下式定义：、设 xrxxxTxxxxT xxxTxxxT RRTTTT 2 . 1 ),(),(),( 1|,max| 1 ), 0(), 0(), 0( | )0 ,()0 ,()0 ,( 32112213 4 424242 414141 = = = = = = TxxxxxxT rT TxTxTx rTxTxTrx 得此外由 故： 得：再由 ；得：由 . QP OP P QP P Q IIII 21 4 3 2211 r xx PT T xTxT = =，使