计算机图形学基础教程课件

1、,Computer Graphics,第七章 自由曲线和曲面(1),7.1 基本概念 7.2 三次参数样条曲线,本章内容-1,工业产品的几何形状大致可分为两类：一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。 另一类由自由曲面组成，如汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究，这些研究成果形成了计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科。,图7-1 汽车的曲面,7.1 基本概念,7.1.1 样条曲线曲面 7.1.

2、2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件,7.1.1 样条曲线曲面,在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交样条曲线来描述。,7.1.2 曲线曲面的表示形式,曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数方程和参数方程表示。 首先看一下直线的表示形式：已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式

3、方程表示为：,直线的隐函数方程表示为： 直线的参数方程表示为：,由于用参数方程表示的曲线曲面可以直接进行几何变换，而且易于表示成矢量和矩阵，所以在计算机图形学中一般使用参数方程来描述曲线曲面。下面以一条三次曲线为例，给出参数方程的矢量和矩阵表示： 参数方程表示：,矢量表示： 矩阵表示：,7.1.3 拟合和逼近,曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点）来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合。,图7-2 拟合曲线,图7-3逼近曲线,曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点，称为曲线曲面的逼近。,7.1.4 连续性条件,通常

4、单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。,参数连续性 零阶参数连续性，记作C0，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。如图7-4所示。,图7-4 零阶连续性,一阶参数连续性，记作C1，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。如图7-5所示。,图7-5 一阶连续性,二阶参数连续性，记作C2，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。如图7-6所示。,图7-6 二阶连续性,几何连续性 与参数连续性不同，集合连续性只

5、要求参数导数成比例，而不是相等。 零阶几何连续性，记作G0，与零阶参数连续性相同，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。 一阶几何连续性，记作G1，指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比例，但大小不一定相等。 二阶几何连续性，记作G2，指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导数成比例，即曲率一致。,参数连续性和几何连续性的比较： 对于几何连续性，曲线将向具有较大切向量的部分弯曲。,7.2 三次参数样条曲线,7.2.1 参数样条曲线定义,7.2.2 系数求解,7.2.3 边界条件,M连续性方程,1 设置最大型值点数为40.2 设置标志变量Flag,当Flag=TURE时开始绘制型值点；当Flag

6、=FALSE时绘制结束。3 计算弦长。4 根据边界条件计算始端和终端的投影。5 对x和y方向进行同样的计算。6 分别计算x和y方向的7 用追赶法求解三弯矩方程8 分别计算x和y方向的系数9 根据(x,y)坐标值绘制三次参数样条曲线,三次参数样条曲线算法,2.已知17个型值点：P 1（-360,0），P 2（315,71），P 3（-270,100），P 4（-225,71），P 5（-180,0），P 6（-135,71），P 7（-90,100），P 8（-45,71），P 9（0,0），P 10（45,-71），P 11（90,-100），P 12（135,-71），P 13（180,0）

7、，P 14（225,71），P 15（270,100），P 16（315,71），P 17（360,0），如图7-27所示。边界条件为：自由端。使用VC+编程绘制通过给定型值点的三次参数样条曲线和正弦曲线，试比较二者之间差异。,图 7-27 型值点,CTestView:CTestView() / TODO: add construction code here px1=-360;py1=0;/型值点初始化 px2=-315;py2=-71; px3=-270;py3=-100; px4=-225;py4=-71; px5=-180;py5=0; px6=-135;py6=71; px7=-90

8、;py7=100; px8=-45;py8=71; px9=0;py9=0;,px10=45;py10=-71; px11=90;py11=-100; px12=135;py12=-71; px13=180;py13=0; px14=225;py14=71; px15=270;py15=100; px16=315;py16=71; px17=360;py17=0; ,void CTestView:DrawPoint()/绘制型值点 CClientDC dc(this); CPen NewPen,*OldPen; CBrush NewBrush,*OldBrush; NewPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,255,0); OldP