牛顿法 二阶梯度法

1、3.3牛顿法（二阶梯度法）,一原始牛顿法 基本思想：是利用二次函数（二次曲线） 来逐点去近似或逼近原目标函数 ，然后求出这个二次函数的极小点 作为对原目标函数求优的下一个迭代点 通过若干次的 重复迭代，使迭代点逐步逼近原目标函数极小点 。,设已知一维目标函数 的初始点 过A点作一与原目标函数 相切的二次曲线抛物线 ，求此抛物线的极小点的坐标 ，将 代入原目标函数 求得 值或B点，过B再作与 相切的二次曲线求C直到求出 。,设 只有连续一，二阶偏导数，在 点邻域取 的泰勒二次多项式 求此函数的极小点 可由 求得 这是一维问题，同理对于n维问题有,上式中,因此上式有： 当 时，可求 的极值点，当

2、矩阵为正定时，有极小值。 由（1）得,因为（1）式可写为 其中：,因为 是二次函数，故 是线性函数。 令 由（2）式则有 若 为可逆矩阵，上式两边左乘 则有下式：,得： 当 为二次函数时，X就是,是一个常数矩阵 则牛顿法的一般迭代公式是： 迭代方向,该方向为牛顿方向 在迭代公式中没有步长因子，或看作是步长恒等于1。 通过这种迭代，逐次向极小点逼近。,试用牛顿法,二、修正牛顿法（阻尼牛顿法）,在上面的牛顿法中，存在一个问题，由于迭代式中没有步长因子，或者说步长 =1，所以有时函数值反而有所增大，即 因而可能造成点列的发 散，而使计算失败。从而要对古典（原始）牛顿法做修正，提出修正牛顿法。,方法：

3、步长改用最优步长因子 ，将迭代式改写为： 应为,为 0 此时初始点无论如何选择，则可得到最优结果。,步骤如下： （1）任选初始点 ，给定精度 置k=0 （2）计算 点的梯度和海赛矩阵的逆 矩阵 （3）检验是否满足精度要求， 若满足停止迭代，否则进行（4）步,（4）令 （5）从 出发沿牛顿方向 进行一 维搜索 求出最优步长 （6）令 K=K+1 转步骤（2）,使用牛顿法的条件：n（变量较多时）因次较高，海赛矩阵是奇异矩阵，逆矩阵不存在，不能使用牛顿法。,例：用牛顿法求函数 的最优解，初始点,DFP变尺度法,由于梯度法和牛顿法具有以上的缺点，能不能找到一种方法能拟补上两种方法的缺点，从而综合上两种

4、方法的各自优点，提出了如下变尺度法的基本思路。 基本思想：在牛顿法中探索方向 设法构造出一个对称正定矩阵 来代替,在迭代中逐渐逼近 简化牛顿法的计算， 且收敛快。 变尺度法是用 来逼近 所以称拟牛顿法，迭代公式为：,-步长由 求出 探索方向 （1）,-n*n阶对称正定矩阵，是变化的，递推形式为 （2） -校正矩阵，它与 ， 向量有关。 综上可知：当 是梯度迭代公式 当 是牛顿迭代公式 以上两种方法是变尺度法的特例,怎样找出 ，先分析 的关系，设 为一般形式的目标函数，并且有连续的一、二阶偏导数，在点 的泰勒近似展开为 梯度为,令 则有 两边左乘,这样找到了 与 及 之间的关系，用 来代替 既有

5、 迭代开始，可选择 如果构造出 后，再如果 可表示为（2）式,-校正矩阵，可用统一的公式表示。 经过三个人的修改的校正矩阵 的公式即所谓DFP公式为：,因为 为n*n阶对称正定矩阵，固有 式中 有 后就可按（2）式求出,有 后就可按（1）求出 新方向探索 最后得出DFP变尺度法的迭代公式归结为,适用条件：容易求出f(x)的梯度n100时此方法最好。 所以又发展了BFGS比DFP更为成功，方法：只是 公式不同，其余完全相同。,两种变尺度法的计算步骤一样为： （1）任选初始点 ，给定精度 维数n （2）置k=0 ， （单位矩阵） 探索方向为， （3）进行一维搜索求 ，,（4）计算 ，如果 小于给定精度，则 为极小点，