第2章-运动学理论..ppt

1、1,第2章,运动学理论,2,运动学理论：采用荷电质点模型来研究电子注在电磁场中的运动, 即速度调制、群聚和换能过程 。 基本概念：将电子视为带有电荷e的力学质点，忽略电子之间的库仑作用力（空间电荷力和电子注周围导体壁上诱生的镜像电荷力），研究电子注的运动就简化为研究单个电子在电磁力作用下的运行。 运动学理论在各种微波电子管中都曾得到成功的应用，我们以速调管为例来进行研究。,3,速调管的速度调制、群聚、换能是分别进行的。,速调管结构示意图,间隙区,漂移区,电子注,产生,4,2.1 重入式(reentrant cavity)谐振腔简介,优点： (1)电场集中在间隙，轴向高频电场强； (2)通道对电

2、子束是透明的，对高频场是截至的，一般电子半径b与孔半径a相比 b/a=0.50.7 ； (3)电子注通道内高频电场均匀(孔小，加网)。,重入式谐振腔,5,从等效电路的角度来看，谐振腔可以等效为一个谐振回路。 其谐振频率为：,6,2.2 理想间隙的速度调制,假设： (1) 间隙很短(相对高频周期而言),因而其中的群聚现象略去不计；,(3) 不计空间电荷效应； (4) 一维运动; (5) 不考虑非相对论效应； (6) 电子的直流速度是均匀的。,7,分析稳态情况，设电压随sint变化。 设间隙上所加交变电压为：,(2.2.1),根据能量守恒，则电子在t=t0时通过间隙后能量为：,(2.2.2),解得

3、：,(2.2.3),8,(2.2.3),(2.2.4),式中 ，为电压调制系数 。,由(2.2.4)可知，不同时刻t0，即不同相位t0，通过间隙的电子具有不同的速度，有的被加速，有的被减速，此现象为速调管的速度调制效应。后面进入的电子经过调制后如被加速，有可能经过一段时间后能赶上前面减速的电子，即出现群聚现象。,9,有的电子被减速，有的电子被加速，可以预计，在继续运动一段时间后，会以“4”为中心聚在一起，“4”为群聚中心。,10,2.3 间隙有限宽度效应,从物理上来说，有限渡越角效应有： (1) 渡越过程中电子感受到的高频电压是变的; (2) 在间隙内产生了群聚，有能量交换。,一、均匀场情况(

4、有栅间隙),电场的横向分布是均匀的，简化为一维问题，运动方程为：,(2.3.1),积一次分得:,(2.3.2),11,积分常数c由初值条件定，,tt0时，,(2.3.2),故：,(2.3.3),小讯号时 ，则出口处的时刻为：,(2.3.4),代入(2.3.3)得：,12,(2.3.5),式中：,间隙直流渡越角,加速电压,间隙耦合系数,13,(2.3.5),结论： (1) 耦合系数是电子感受到的调制电压幅值与实际电压幅值之比。,(2) 当渡越角为有限时，电子受到的电压的相角具有一个滞后 。,(3) 一个具有有限渡越角 的间隙可以等效为置于间隙中心处 的小渡越角( )间隙，其上所加的正弦电压幅值为

5、 。,(2.2.4),14,二、非均匀场情况(无栅间隙),1. 场的轴向非均匀性,其中， f(z)为轴向分布, 为某一参考值，可以间隙边缘平均场表示，因此,(2.3.7),在电场作用下，电子在间隙内前进dz，动能改变为：,(2.3.8),穿过间隙动能的总增量为：,(2.3.9),15,(2.3.9),进行解析延拓：,(2.3.10),积分的理解 :它是追踪一个电子的积分，因此在电子沿z运动的同时，场的相位(t)在变化，故其中的z和t不是独立变量，其关系是,(2.3.11),所以 不能移到积分号外。,电子到达z的渡越时间 ：,(2.3.12),(2.3.13),16,在小讯号情况下：,(2.3.

6、14),直流渡越时间,交变场引起的渡越时间,(2.3.15),电子直流传播常数,取零级近似，只考虑直流渡越时间。 的一级近似或交变次中含有 ，即对每个电子不同，M将无明确定义）。,(2.3.16),17,定义：,对一定形状的间隙，f(z)确定，这时M只与 有关。,讨论：,时，对应均匀场，,(2.3.17),18,如果对f(z)作傅氏变换：,(2.3.18),(2.3.19),结论：,(2) 电子仅与同步行波有充分的能量交换，同步条件 是 ，因此耦合系数正比于其幅值 。,19,2. 场的横向不均匀性,在圆柱对称的重入式谐振腔, 间隙区麦克斯韦方程的可能存在的解可表为：,(2.3.21),其中：,

7、(2.3.22),I0为零阶修正Bessel函数,在此系统中的任意场分布可表成：,(2.3.23),通解，其展开系数 决定于边界条件。,20,由傅里叶变换可知， 正是场分布 的傅里叶变换，即：,(2.3.23),(2.3.24),以r=a (间隙边缘场)代入，则,(2.3.25),于是场分布为：,(2.3.26),表明：只要知道边缘场 ，就能确定系统内任意点的场分布 。,21,(2.3.20),(2.3.27),其中：,边缘耦合系数,因此, 知道边缘耦合系数后就可以求出任意位置的耦合系数 。,22,M(r)为“线耦合系数”，描述某一电子轨迹(平行于轴线)上间隙的调速特性，具有实际意义的是描述间

8、隙内整个电子注的平均调速特性，即“平均耦合系数”。,设实心电子注半径为b，M(r)在电子注截面上平均得：,(2.3.28),23,(2.3.28),已求得任意圆轴对称系统的平均耦合系数，剩下的问题是针对不同具体结构的模型求出其M(a)。,例如:,24,2.4 漂移管内的群聚现象,间隙后为漂移管，其中E0=0，E1=0，则电子以（2.2.4）式的速度为初速度在其中漂移运动，经过l长后，在tt2时到达zz2，显然,(2.4.1),25,(2.4.1),表成相位形式：,(2.4.2),其中:,26,(2.4.2),(1)当X=0时，不同时刻进入的电子，到达l处的相位变化相同，没有群聚发生 (2)当X

9、1时，与不一一对应，t1是t2的多值函数，但t2是t1的单值函数，有超越现象发生,漂移区的相位关系图,27,(2.4.2),在漂移区入口(z=0)处电子是均匀的，但速度是不均匀的，所以经过一定距离后，后面快电子将追上前面的慢电子，从而产生群聚，形成群聚块。在电场由减速变为加速经过零值瞬间离开间隙的电子(如图中电子1,2)速度不变，形成群聚中心。在某一位置，某些快电子已经赶上并了超过慢电子，出现了“超越现象”。,漂移区的时空图,28,由于速度调制的结果，在dt1内从间隙出口z=0出发的电子，在到达z=l时已不再在dt1内，而在dt2内。由电荷守恒定律：,或：,(2.4.5),(2.4.6),电子

10、流强度：,(2.4.7),或：,(2.4.8),i1对第一腔后漂移管为直流电流i1=i0，多腔速调管后面腔为预群聚电流。,29,(2.4.8),(2.4.9),(2.4.10),30,令：,(2.4.15),(2.4.11),(2.4.12),(2.4.13),(2.4.14),x, y的关系为一有名的轮摆线，且其半径为1。,31,32,结论：i2是周期性的交变电流(具有直流分量)。,33,2.5 群聚电子流的傅里叶分析,i2是t2的周期函数，故可作傅里叶级数展开：,(2.5.1),(2.5.2),因为i2为实数，所以,(2.5.3),即:,(2.5.4),(2.5.5),34,(2.5.5)

11、,其中：,(2.5.6),这个积分是对t2作的，存在几个困难： (1) i2不能表为t2的显函数; (2) i2有奇点(无穷大点); (3) t1是t2的多值函数。,为了克服这些困难，可以将其变换成对t1的积分。,35,当X1时，如图，分三个区域 ：,在区域 内，i2是三部分之和。于是：,(2.5.7),36,(2.5.7),其中第二个积分中 ，故,(2.5.8),其它二个积分打开绝对值后不变号，直接变元，最后得：,(2.5.9),t2表示成t1的显函数，故积分可以继续进行。,37,(2.5.9),(2.5.9)式可以推广到更加普遍的情况:,(1) 有更复杂的超越时 (一个t2对应三个以上的t

12、1时，多腔速调管中可能出现)。这时 分为三个以上的积分来证明，方法、结果完全一样。,(2) 漂移区入口处有预调制的情况，这时只要将i0以i1(t1)代替即可：,(2.5.10),(3) 有空间电荷场的情况。 (4) 有外加场的情况。,后面两种情况 的表达式不同而已。,38,(2.5.9),将相位关系表达式 代入:,(2.5.11),利用贝塞尔函数积分表达式：,(2.5.12),（2.5.11）式变为：,(2.5.13),基波振幅为：,(2.5.14),(2.5.15),39,(2.5.14),40,(2.5.15),讨论：,(1) 在J1(z)的第1个最大值时，基波最大，即X=1.84时，基波

13、最大，因此求得,对一个双腔速调管，第二个腔应摆在lmax1处。,(2) 一个双腔速调管的最大理论效率为：,(a) 输出间隙上的高频电压幅值,(b) 电子注的基波交变功率全部转换为场能，,41,(2.5.15),(3) X=1.841时，说明速调管工作于最佳运行状态下时，有严重超越。,(4) 群聚后电子流包含丰富的谐波，在某些X值时，甚至可以比基波电流幅值大，如将输出腔谐振频率设计为谐波，则可构成倍频器。,(5) 基波电流与激励电压是贝塞尔函数关系，故作为放大器时是非线性的。,42,2.6 感应电流定理，电子注与场的能量交换,一、感应电流定理 (Ramo-Shockley)定律),当-q由左向右

14、运动过程中，+q1和+q2的大小关系始终为 ，但q1逐步减小，q2逐步增加，因此此过程中外电路中有感应电流流过。,43,设A电压为V，其余为零。,令q所在处的场为 ，则其运动 时的能量改变为：,(2.6.1),设电路上的感应电流为Iind，则在同一时间内电源所付出的能量为：,(2.6.2),由能量守恒定律，可得：,可以理解为外电路电压为1V时，电子所在处的电场强度。而 ，所以Iind与V无关。,(2.6.3),44,如电荷为连续分布，则,所以：,当电荷仅有z方向运动时，则,(2.6.4),(2.6.5),式中：,(2.6.6),iz是对流电流密度，iind为感应电流密度。,45,(2.6.6)

15、,由：,得：,积分包含电场不为零的空间，为方便起见可取为，在一般情况下，i(z,t)是很复杂的，故iind也如此。必须注意：这里积分是在同一时刻(t=常数)对所有电荷进行的。,由(2.6.8), 已知i(z,t)和f(z)就能求得iind(t)。,(2.6.7),(2.6.8),46,一般情况下，间隙中的对流电流有丰富的谐波。即：,(2.6.9),代入(2.6.8)得：,(2.6.10),其中：,(2.6.11),设间隙不太长，可以认为电子块以平均速度 穿过间隙，且形状不变(密度分布不变)，而只有时间上的滞后，故有：,(2.6.12),47,(2.6.12),故：,(2.6.13),带入(2.

16、6.11)：,(2.6.14),由此：,(2.6.15),48,(2.6.15),讨论：,(1) 右端对不同n值不同，所以 与 对不同n比值不同(不同谐波的电子流所感应的外电流效果不同)，而且是一个复数，所以 与 的波形不同(有幅度失真和相位失真)。,(2) 一般情况下 ，仅当场是均匀的( )，且间隙很小( )时，这时 与 才相同。,(3) 注意到 恰为Mn的共轭，这说明M不仅描述速度调制，而且描述能量交换。,49,二、高频间隙中注场能量交换,若对流电流密度仅含基波，则：,(2.6.16),则：,故：,(2.6.17),(2.6.18),50,在某一谐振频率附近，腔体等效电路如图,设 流过腔体

17、时产生交变电压 ，其与 有相差 ，则电子注贡献的功率为（一个周期内平均）,(2.6.19),在谐振频率时，有B=0，腔体为纯电导， 与 无相差，故：,(2.6.20),51,2.7 间隙的电子负载,在研究间隙电压对电子束的速度调制时，采用时间的零级近似，再利用运动方程，获得速度的一级近似。,(2.3.4),(2.3.5),在一个正弦周期内，被加速的电子数等于被减速的电子数，平均来看，没有能量交换，即,对谐振腔而言，电子不吸收有功功率，也就没有电子负载。,52,实际上，电子在通过间隙时，产生速度调制的同时，在间隙内就已开始产生群聚，从而和间隙就要发生换能作用，所以电子注对谐振腔来说要吸收有功功率

18、，即间隙存在电子负载。 从理论上推导电子负载效应，必须采用时间的一级近似，即,(2.7.1),(2.7.2),下面通过运动方程求速度。,53,假设间隙有栅网，忽略空间电荷效应，不计相对论效应，聚焦磁场极强，电子只有轴向运动。 运动方程为：,(2.7.3),初始条件： 时， ， 。,积分一次:,(2.7.4),由(2.7.2)得 ，求得间隙出口处速度为:,(2.7.5),54,(2.7.5),因此由时间的一级近似获得速度的二级近似，如略去包括 的项，(2.7.5)简化为(2.3.5)，这将导致没有能量交换的结论。,在一个正弦周期内，平均能量增量可只考虑二级量,近似为：,(2.7.6),下面求 的表达式。,55,将(2.7.4)再积分一次:,(2.