第7章 线性系统的校正方法.ppt

1、第7章 线性系统的校正方法,7.1 控制系统校正的概念 系统的设计过程一般有以下步。（1）拟定性能指标 性能指标是设计控制系统的依据，系统性能指标要切合实际需要，既要使系统能够完成给定的任务，但同时也要考虑实现条件和经济效果。 （2）初步设计初步设计是控制系统设计中的最重要的一环，主要包括下列几个内容。1）根据设计任务和设计指标，初步确定比较合理的设计方案，选择系统的主要元部件，拟出系统的原理框图。,3 ）建立所选元部件的数学模型，并进行初步的稳定性分析和动态性能分析。 一般来说，这时的系统虽然在原理上能够完成给定的任务，但系统的性能一般不能满足要求的性能指标。 3）对于不满足性能指标的系统，

2、可以在其中再加一些元件，使系统达到给定的性能指标。这一步就是本章要重点介绍的系统校正。 4）分析各种方案，选择最合适的方案。,（3）原理试验 （4）样机生产 7.1.2 校正的概念与校正方案 例：调速系统结构如图7.1所示,调速系统中的比较器、触发器、可控硅整流装置、电动机及其励磁电路、测速发电机等这些装置一经选定后都有固定的特性，在系统校正中不再改变，因此， 这些元部件通常称为系统不可改变部分，而相应的用作校正的元部件（包括放大器），其参数和结构在设计过程中可根据性能指标的要求而定，所以称为可变部分。,校正概念:在系统不可变部分的基础上,加入适当的校正元件,使系统满足给定的性能指标. 校正方

3、案有: (1)串联校正 校正环节安置在前向通道里。 如图7.2所示，图中， 、 为系统的不可变部分， 为校正环节的传递函数。,校正前系统的闭环传递函数为 （7-1） 串联校正后系统的闭环传递函数为 （7-2）,(2)并联校正 并联校正方案如图7.3所示。 校正前，系统的闭环传递函数为 （7.3） 并联校正后，系统的闭环传递函数为 （7.4）,可见，经过串联或者并联校正后，系统的闭环零点和极点均发生了变化，适当选取校正装置可以使系统具有期望的闭环零极点，从而达到期望的性能。 (3)反馈校正 校正装置可以再构成一个反馈通道,校正前，系统的闭环传递函数为 反馈校正后，系统的闭环传递函数为 反馈校正不

4、仅具有串联校正或并联校正的功能,而且还能抑制反馈环内部的扰动对系统的影响.为了保证反馈回环稳定,反馈校正的元件一般不超过23个.,(4)前馈校正 在原系统中加一条前向通道 复合控制具有不改变系统闭环极点,同时提高 控制精度的特点,分析法:把校正装置归结为易于实现的几种类型 校正方法。 综合法:按照设计任务所要求的性能指标构造期望的数学模型,使系统校正后的数学模型等于期望的数学模型。 7.2串联校正的分析法 一.超前校正 1.超前校正及其特性 超前校正就是在前向通道中串接传递函数为,的校正装置，其中参数a,T为可调，如图7.7所示。,可见，这里的校正环节的结构是确定的，但参数可调，现在的任务就是

5、确定参数a,T，使系统满足给定的性能指标。 超前校正的零极点分布如图7.8所示，伯德图如图7.9所示。,从超前校正的零极点分布图可见，零点总是位于极点的右边(a1)，改变a和T的值，零极点可以位于s平面的负实轴上任意位置，从而产生不同的校正效果。 从伯德图还可以看出，超前校正对频率在之间的输入信号有微分作用，在该频率范围内，超前校正具有超前相角。 超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相角裕度，提高系统稳定性能等。,（1）最大补偿相角 及 求取超前校正的最大超前相角 及取得最大超前相角的频率 ，对于设计超前校正是很重要的。 超前校正的频率特性 （7.9

6、） 相频特性,令 ，求得 于是 （7.9） 即当 时，超前相角最大为 ，只与a有关。a越大，越大，对系统相角补偿越大，但高频干扰越严重，这是因为超前校正近似为一阶微分环节。a越大，需要增加的放大倍数越大，校正环节的物理实现越困难。综合考虑上述因素一般取a=520，即用超前校正补偿的相角一般不超过 。,（2）PD调节器 如果超前校正环节的惯性较小，则传递函数（7.8）可近似为一阶微分环节，即 通常称为比例-微分调节器，或者PD调节器。 PD调节器的伯德图如图7.10所示。 从图中可见，PD调节器是一种理想 况，物理上是不可实现的。事实 上，实际的PD调节器仍有一定的惯 性，所以，对数幅频特性的高

7、频段 会变为 。而且系统一般都具 有较高,的高频衰减特性，所以为了简化系统设计，在工程上通常按PD调节器设计。 2. 用频域法确定超前校正参数 （1）设计指标 频域法进行系统校正是一种间接方法，依据的不是时域指标而是频域指标。通常采用相角裕量等表征系统的相对稳定性，用开环截止频率 表征系统的快速性。当给定的指标是时域指标时，首先需要转化为频域指标，才能够进行频域设计。,在频域中有三种基本的图形，即奈奎斯特图、伯德图和尼科尔斯图都可以用来进行设计，但最好的是伯德图。因为伯德图容易比较精确地绘制，而且，校正网络的效果容易看出，只要将其幅值及相位曲线分别加在未校正系统上就行了。因此，最常用的频域校正

8、方法，是依据开环频率特性指标和开环增益，在伯德图上确定校正参数并校验开环频域指标，在必要情况下，再在尼科尔斯图上校验闭环特性指标。,（2）一般设计步骤 1）根据给定的稳态指标，确定系统的开环增益K。 因为超前校正不改变系统的稳态指标，所以，第一步仍然是先调整放大器，使系统满足稳态性能指标。 2）利用1）求得的K，绘制系统的伯德图。 3）在伯德图上量取未校正系统的相位裕量和幅值裕量，并计算为使相位裕量达到给定指标所需补偿的超前相角 。其中 ，为给定的相位裕量指标； 为未校正系统的相位裕量； 为附加的角度。,加 的原因：超前校正使系统的截止频率增大，未校正系统的相角一般更负一些，为补偿这里增加的负

9、相角，再加一个正相角 ，即 取 其中 ， 为校正后的截止频率。 的选取：由于 尚未确定，所以，从上式并不能求得 ，一般由经验选取。,4）取 ，并由 求出a。 即所需补偿的相角由超前校正装置来提供。 5）为使超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率 上，即 ，取未校正系统幅值为 时的频率作为校正后系统的截止频率 。 6）由 计算参数T，并写出超前校正的传递函数 。 7）校验指标：绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。当系统仍不满足要求时，则增大 值，从3）算起 。,（3） 举例 例7.1 设控制系统如图7.11所示。若要求系统在单位斜坡输入信号作用下，位置输出稳态误差

10、，开环系统截止频率 。相角裕度 ，幅值裕度 ，试选择超前校正参数。,解 根据给定的稳态指标，确定符合要求的开环增益K。本例要求在单位斜坡输入信号作用下 ，说明校正后的系统仍应是1型系统，因为 ，所以应有 ，取K=10。 绘制原系统的伯德图如图7.12所示。在伯德图上量得，未校正系统的开环截止频率为 ，相角裕量为 ，幅值裕量为 。相角裕量也可以由计算得到 则,令 ，则 作 直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于 ，取 。可见 ， 是满足 的要求。因此 超前校正的传递函数为,绘制校正后系统的伯德图，从图中可以看出 ， ， ，所以校正是成功的。 3. 超前校正装置 （1）无源超前校正RC网络 考察如

11、图7.13所示RC网络，它的传递函数为,则 ， 可见，除多了一个放大系数 外，与超前校正的传递函数相同。,记,若在这个网络后再串联一个放大倍数为a的放大器，就补偿了RC网络造成的增益衰减，而且，串联一个放大器还解决了RC网络与被控对象之间的隔离问题。因为求RC网络的传递函数时，已经假设输入信号源的内阻为零，而输出端阻抗为无穷大（开路），但RC网络的输出端负载阻抗一般不是无穷大，现在RC网络后面串联了一个运算放大器，起到了隔离的作用。放大器的输入阻抗几乎为无穷大，输出阻抗几乎为0，满足了上述要求。,应用无源元件组成串联校正装置经常会遇到以 下两个难以解决的问题： 1）阻抗匹配问题 ； 2）系统的

12、开环增益衰减得厉害 。 （2）有源超前校正网络 1）PD控制器： 如图7.14（a）所示超前校正网络，由运算放大器电路分析中“虚地”的概念，可以列写回路方程,可得 整理得 若记 , 则控制器的微分方程描述为 传递函数为 可见，是一种比例-微分控制器，即PD控制器。,2）带惯性的PD控制器： 如图7.14b所示超前校正网络，由运算放大器电路分析中“虚地”的概念，可以列写回路方程： 整理得 若记 , , , 则控制器的微分方程描述为,传递函数 7.2.2 滞后校正 1. 滞后校正及其特性 滞后校正就是在前向通道中串接传递函数为 的校正装置来校正控制系统，其中，参数a,T可调。,虽然滞后校正的传递函

13、数与超前校正的传递函数仅是的 值不同， 但这一点却导致了两种校正的性质具有本质的不同。 滞后校正的零极点分布如图7.15所示，伯德图如图7.16所示。,1）从滞后校正的零极点分布图可见， 零点总是位于极点左边(a1)，改变 和 的值，零极点可以在S平面的负实轴上任意位置，从而产生不同的校正效果。 2） 从伯德图相频特性曲线可以看出，在频段 相位滞后，会给系统特性带来不良影响。解决这一问题的措施之一是使滞后校正的零极点靠得很近，使之产生的滞后相角很小，这是滞后校正零极点配置的原则之一；措施之二是使滞后校正零极点靠近原点，尽量不影响中频段，这是滞后校正零极点配置的原则之二。,3）从伯德图幅频特性可

14、以看出，滞后校正的高频段是负增益，因此，滞后校正对系统中高频噪音有削弱作用，增强抗扰能力。利用滞后校正的这一低通滤波所造成的高频衰减特性，降低系统的截止频率，提高系统的相位裕度，以改善系统的暂态性能，这是滞后校正的作用之一。,4）如果在滞后校正网络后 串联一个放大倍数为 的放 大器，而相频特性不变。 这时中高频增益为0db， 因此滞后校正不影响系统 的中高频特性，但低频增 益增加了20lgdB，滞后校正利用这一特性，提高了系统的稳态精度，而又不改变系统暂态性能，这是滞后校正的作用之二。,3. 滞后校正装置 （1）无源滞后校正网络 考察如图7.20所示网络，其传递函数为 令 则,所以，如图7.2

15、0所示网络可以作为滞后校正装置，称为滞后RC校正（无源）网络。 （2）有源滞后校正网络 1）滞后校正：采用运算放大器的有源滞后校正网络的一种实现，如图7.21所示，它的传递函数为,令 则 ， 2）PI控制器：采用运算放大器的有源滞后校正网络的另一种实现，如图7.22所示，它的传递函数为 令 则 可见，是一个PI控制器。,7.2.3 滞后超前校正 1. 滞后超前校正的基本思想 超前校正通常可以改善控制系统的快速性和超调量，但增加了带宽，对于稳定裕量较大的系统，是有效的。而滞后校正可改善超调量及相对稳定度，但往往会因带宽减小而使快速性下降。因此，这两种校正都各有其优点和缺点。而且，对某些系统来说，

16、不论用其中何种方案都不能得到满意的效果。,因此，兼用两者的优点把超前校正和滞后校正结合起来，并在结构设计时设法限制他们的缺点，这就是滞后超前校正的基本思想。 2. 滞后超前校正网络 传递函数 其中 滞后超前校正的零极点图如图7.24所示,伯德图如图7.25所示。从伯德图可见，在 频段里，滞后超前网络具有滞后校正特性，在 频段里，滞后超前网络起超前校正作用。,7.3 串联校正的综合法 前面介绍的串联校正分析法是先根据要求的性能指标和未校正系统的特性，选择串联校正装置的结构，然后设计它的参数，这种方法是带有试探性的，所以称为试探法。下面介绍串联校正综合法，它是根据给定的性能指标求出系统期望的开环频

17、率特性，然后与未校正系统的频率特性进行比较，最后确定系统校正装置的形式及参数。综合法的主要依据是期望特性，所以又称为期望特性法。,7.3.1 综合法的基本方法 考察如图7.27所示串联校正系统。 综合法的基本方法是按照设计任务所要求的性能指标，构造具有期望的控制性能的开环传递函数，然后确定校正装置的传递函数，使系统校正后的开环传递函数等于期望的开环传递函数。显然，校正装置的传递函数应为,从频率特性角度，校正装置的对数幅频特性为 其中， 是原系统的开环对数幅频特性；是校正环节的对数幅频特性； 是满足给定性能指标的期望开环对数幅频特性，通常称为“期望特性”。 上式表明，在伯德图上，若根据设计指标给

18、出了系统的期望特性曲线 ，则由期望特性曲线减去原系统的开环对数幅频特性曲线 ，就得到校正环节的幅频特性曲线 ，这样，很容易由 写出校正环节的传递函数，这就是综合法的基本方法。,串联校正综合法的一般步骤如下： 1) 绘制原系统的对数幅频特性曲线 ； 2)按要求的设计指标绘制期望特性曲线 ； 3)在伯德图上，由 减去 得串联校正环节的对数幅频特性曲线 ； 4) 根据伯德图绘制规则，由 写出相应的传递函数； 5)确定具体的校正装置及参数。 可以看出期望特性法的关键是绘制期望特性。在工程上，一般要求系统的期望特性符合下列要求：,1)对数幅频特性的中频段为 ，且有一定的宽度，以保证系统的稳定性； 2)截

19、止频率 应尽可能大一些，以保证系统的快速性； 3)低频段具有较高的增益，以保证稳态精度； 4)高频段应衰减快，以保证抗干扰能力。 满足上述要求的模型有很多，通常取一些结构较简单的模型。例如二阶、三阶模型等。,7.3.2 按最佳二阶系统校正 在如图7.28（a）所示典型二阶 模型中，适当选择参数，使其对 数幅频特性如图7.28（b）所示。 与典型二阶系统的标准式 比较，有 或,给出期望的性能指标，可以由典型二阶系统的性能指标公式，确定期望模型的参数 和 。 在典型二阶系统中，当 时，系统的性能指标为 , 可见，这时兼顾了快速性和相对稳定性能，所以，通常把 的典型二阶系统称为“最佳二阶系统”。 对

20、于最佳二阶系统，由式（7.22），得 ，所以，最佳二阶系统的开环传递函数为,按最佳二阶模型来设计系统。 （1）被控对象为一阶惯性环节 （7.24a） 取最佳二阶模型为期望模型，其时间常数与被控对象的时间常数相同，即为式（7.23），则 (7.24b) 可见，校正装置应采用积分调节器。 （2）被控对象为两个惯性环节串联,（2）被控对象为两个惯性环节串联 ， (7.25a) 期望模型为式（7.23），即时间常数与被控对象中较小的时间常数相同，则 可见，应采用PI调节器，调节器参数应整定为 （3）被控对象为三个惯性环节串联,期望模型为式（7.23），其时间常数与对象的最小的一个时间常数相同，则 可见

21、，应采用PID调节器，调节器参数应整定为 7.3.3 按典型三阶系统校正 1典型三阶模型 典型二阶系统是工程上常用的一类系统，但它只是一阶无差系统，抗干扰性能也较差。,下面介绍另一种期望模型典型三阶模型，其方框图和伯德图如图7.29所示。 定义 (7.28) 为中频宽度。由于中频段对系统的动态性能起决定性作用，所以，h是一个重要参数。,2 具有“最佳频比”的典型三阶模型 可以证明，当满足式（7.29）或式（7.29b）时，所对应的闭环谐振值最小。因此，称为“最佳频比”。 (7.29a) (7.29b) 具有最佳频比的典型三阶模型为,考虑到参考输入和扰动输入两方面的性能指标，通常取中频宽度 。

22、1）被控对象为 因此,可见，应采用PI调节器，其参数整定为 2）当被控对象为 （7.32） 则 可见，应采用PID调节器，其参数整定为,3. 具有最大相角裕度的典型三阶模型 典型三阶模型的相角裕度为 (7.34) 调整 ，即改变 使 取得最大值。设当 时，取最大值，由 对的 导数等于0，得,具有最大相角裕度的典型三阶模型为 7.3.4 数字PID控制 在计算机控制系统中，校正环节是由计算机控制算法实现的。对校正装置的数学模型离散化，可以得到相应的数字控制算法。在直接数字控制的场合，常用一台计算机控制几十个甚至几百个回路，在大部分控制回路中，往往采用PID控制方式就够了。因此，PID控制在数字控

23、制系统中也得到了广泛的应用。,控制系统PID调节器的传递函数为 （7.39） 相应的微分方程描述为 （7.40） 式中， 、 、 为比例常数；为积分时间常数；为微分时间常数；,为系统偏差信号； 为控制器的输出信号。 将式（7.40）离散化变成离散形式，可导出数字PID控制算法。 设采样周期为T，用近似变换方法将式（7.40）变换为后向差分方程 （7.41） 式中， 为比例增益； 为积分项增益； 为微分项增益。,式（7.41）中的 直接提供了执行机构的位置，故称为位置式PID算式或点位型PID算式。位置式算法每次输出与过去全部状态有关，计算式中要用到过去偏差的累加值，容易产生较大的积累误差。因此

24、，通常采用下列所谓的增量式PID算式，或称为速度型PID算式。 （7.42）,式（7.42）也可以进一步写成 （7.43） 式中 (7.44) (7.45) (7.46) 可见，增量式算式只需要保持现时刻以前三个时刻的偏差采样值即可。,7.4 离散控制系统直接设计方法 7.4.1数字控制器的传递函数 考虑如图7.30所示串联校正离散系统。,通常把保持器和被控对象合在一起称为“广义对象”，其传递函数为 （7.47） 设数字控制器的传递函数为 ，则校正后系统的闭环传递函数为： （7.48） （7.49）,由式（7.49）得 （7.51） 由于和有下列关系 （7.52） 所以，由式（7.50）或式（

25、7.51）可得 （7.53） 式（7.50）（7.53）表明，根据线性离散系统广义被控对象的传递函数(z)和系统的闭环传递函数 或 ，便可确定出数字控制器的传递函数D(z)。,7.4.2 最少拍系统的概念及设计原则 最少拍系统：在某一典型输入信号作用下，其输出采样值在最少的采样周期（一个采样周期称为一拍）内达到并保持在设定值的离散系统。 典型输入信号通常指下列类型的输入信号 ；i=0，1，2 ， （7.54） 例如，阶跃输入、速度输入、加速度输入等。,考察离散系统误差信号的变换展开式: （7.55） 设计最少拍系统就是要求选择校正装置，使得当kN（N为某正整数）时， ，且N最小，即使 其中，N

26、为可能的最小整数。这就是最少拍系统的设计原则。,7.4.3 最少拍系统的设计方法 典型输入信号（7.54）式的Z变换式的一般形式： （7.57） （7.58） （7.59） （7.60） 可见，典型输入的Z变换 具有如下的一般形式：,（7.61） 其中，A(z)是不包含 因式的的 多项式。 显然，为使E(z)是 的多项式， 必须具有如下形式： （7.62） 式中，M m ； F(z)是不含因式 )的 多项式。 由 与 的关系， 也应为一多项式。 在系统设计中，是通过选择合适的校正环节 使 或 满足设计要求的。,考察 与 （7.63） （7.64） 可见，D(z)与G(z)总是以乘积出现的。因此

27、，我们可以设置D(z)的零、极点去抵消G(z)的一些极、零点，并增加新的零、极点，使 和 满足最少拍的要求。但是，上述零、极点对消，受到下列几点限制：,1）G(z)的分子多项式的 因子不能用的分母多项式的 因子抵消，以满足最少拍控制器的可实现性 2）G(z)的单位圆外零点不能用 的极点抵消，以保证实际连续输出过程的稳定性。 例7.4 设被控对象的传递函数为,设采样周期T=1，则广义对象的Z传递函数为 若取 则可求出单位阶跃输入时，系统的输出量和控制量的Z变换幂级数表达式： 从表面上看系统输出可一步到达稳态，但实际的连续输出是发散的。,这个例子表明，在最少拍系统设计中，除了要保证输出变量的稳定性

28、，还要求保证控制变量的收敛性，才能使闭环系统在物理上真正稳定。 3）G(z)的不稳定极点不能用D(z)的零点抵消，以防止不完全对消使系统不稳定。 当被控对象不稳定时，其Z传递函数中含有单位圆上或圆外的极点。,如果设置控制器的零点去抵消这些不稳定极点，在理论上可得到稳定的控制系统，它的控制量和输出量都是收敛的。但这种稳定是建立在系统不稳定的极点被准确抵消的基础上的。在实际控制过程中，由于对系统参数辨识的误差以及参数随时间的变化，这类抵消是不可能准确实现的，系统将不稳定。为说明这一点，下面进行一般性讨论。,不失一般性，设不稳定对象有一个不稳定极点 ，即 （7.66） 由式（7.50）得 （7.67

29、） 若对象的不稳定极点确实为 ，则输出量和控制量都是稳定的。但如果实际系统的不稳定极点的实际值为 （由于辨识误差或参数漂移引起偏差），则被控对象的Z传递函数为 （7.68）,这时，系统的闭环Z传递函数为 （7.69） 将式（7.68）代入式（7.69），并整理得 可见, 极点取决于 , 当 =0 时，有一个单位圆外极点 恰好能被零点准确抵消。当 但充分小时，由于极点是随分母多项式的系数连续变化的，将有一个很接近的单位圆外极点，这一极点不能为其零点抵消，因此闭环系统将不稳定。 .,为避免上述情况，在选择时，应把G(z)的所有不稳定极点作为 的因子。 对于G(z)中z=1的极点，也应作为 的因子。设G(z)有个 的极点，则 至少有 个 因子，即M ，考虑到M m，所以应取M M=maxm,综上所述，最少拍系统的、 应作如下选择： 1）应具有形式的形式 ， 其中M=maxm，v，F（z）的项数应尽可能少。 2） 的因子中应包含G(z)的所有不稳定极点。 3） 的因子中应包含G(z)的所有单位圆上与圆外的零点，并且包含G(z)中所有的 因子。 4） 与 应满足 的关系。,7.4.4 最少拍系统的局限性 最少拍系统的设计优点:设计基于采样系统的Z传递函数，设计方法和所得到的控制结构都比较简单，而且整个设计过程可以解析地进行。 局限性： （1）最少拍系统对不同类型输入的适应性差