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1、A，1，补充材料的初步张量分析：航空科学与工程学院复合材料高级力学，陈玉立，A，2，目录，介绍张量的基本概念，爱因斯坦的求和一致符号ij和erst坐标和坐标变换张量的分量变换定律，张量方程的张量代数，商法则中常用的特殊张量，主方向和主分量张量函数和微积分，附录A，A，3，简介，广义相对论(1915)，理论物理，连续介质力学(固体力学，流体力学)，现代力学中的大多数文献是张量分析和连续介质力学，斯普林格，1972。黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003。a、4、张量基本概念、标量(零阶张量)如质量、温度、质量密度、应变能密度等。它的值与坐标系的选择无关。张量向量(一阶张量)的基本概念，如位

2、移、速度、加速度、力、法向量等。在笛卡尔坐标系中，矢量u分解成，其中u1、u2、u3和u3是u的三个分量，e1、e2、e3和E3是单位基矢量。张量的基本概念，a，7，向量量(一阶张量)，物理量，具有大小和方向性；其分量与坐标系的选择有关，满足坐标变换关系；遵守相应的矢量运算规则。张量基本概念，A，8，向量量(可扩展为张量)三种表示法：实体表示法：u分解表示法：分量表示法：附录A.1，张量基本概念，张量基本概念，指示符符号用法三维空间中任意点两个向量A和B的分量的点积(或量积)是：A，10。爱因斯坦的求和约定，如果一个索引在一个表达式中重复出现两次，这意味着该术语应该在索引的值范围内遍历和求和。

3、这种重复指数被称为哑指数，简称哑指数。张量基本概念、a、11、因为艾比=艾比，也就是说，矢量点积的阶可以交换；因为虚拟1只意味着遍历和，所以它可以成对任意交换。例如，只要指示符j或m在同一项目中只出现两次，并且值的范围与I，张量基本概念，a，12相同，则约定：如果值的范围没有标记，则拉丁指示符I，j，k代表三维指示符，值为1，2，3；希腊指示器、是二维指示器，值为1和2。张量基本概念、一、十三、拉丁指数、希腊指数、张量基本概念、一、十四、二阶张量应变、应力、速度梯度、变形梯度等。三阶张量压电张量等。四阶张量弹性张量等。张量基本概念、15、二阶(或更高阶)张量的来源描述了一些复杂的物理量需要二阶

4、(或更高阶)张量；低阶张量的梯度：低阶张量的并积：高阶张量的收缩等。张量基本概念，a，16，应力张量，a，17，张量的三种表示法：实体表示法：分解表示法：分量表示法：张量基本概念，a，18，爱因斯坦求和约定，a，张量基本概念，a，20，例如，一个点的应力状态应该用应力张量来表示，应力张量是具有双重方向性的二阶张量，表示为(或)。向量和标量是特殊的张量，向量是一阶张量，标量是零阶张量。附录A.1、张量基本概念、自由指数可以在一个表达式或方程中出现多次，但不能在同一项中出现两次。如果它在同一个术语中出现两次，那它就是一个愚蠢的指数。例如：如果我是自由索引，张量基本概念，22，自由索引意味着如果索引

5、范围内的任何值被依次取，则该关系将始终成立。例如，当自由索引I取1、2、3时，表达式始终成立，即张量、a、23的基本概念和具有相同值的自由索引必须具有相同的名称，并且应该防止具有独立值的自由索引具有相同的名称。自由索引必须作为一个整体进行重命名，也就是说，在公式或表达式中出现的所有同名的自由索引都应该更改为相同的新名称。I被k，张量基本概念所代替，a，24，索引符号也适用于微分和导数表达式。例如，线元素的长度ds与其在三维空间中的分量dxi之间的关系可以缩写为：场函数f (x1，x2，x3)的总微分，张量、a、25、和多重和的基本概念可以用两对(或几对)不同哑指标出现在同一项中的方式来表示。例

6、如，如果您想要遍历和求和在同一项目中出现两次以上的指示器，通常应该添加一个求和符号。例如：张量基本概念，a，26，但是如果ai可以取任何值，则方程总是成立的，那么上面的公式可以通过取一个特殊的值来成立。张量基本概念、27、摘要，许多术语可以通过虚拟索引缩写为一个术语，许多方程可以通过自由索引缩写为一个方程。一般来说，在用索引符号写的方程中，如果有k个独立的自由索引，其取值范围是1n，那么这个方程就表示n个k分量方程。如果m对数值范围为1n的哑指标同时出现在方程的某一项中，则该项包含n个相互重叠的m项。张量基本概念，一，28，目录，附录一，介绍张量基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij和erst坐标

7、和分量变换规则的坐标变换张量，张量方程的张量代数，商规则常用的特殊张量，主方向和主分量张量函数及其微积分，一，29，符号ij和erst，ij符号(Kronecker delta)定义例如，分量集，2。ij对应于单位矩阵。例如，在三维空间中，也就是说，如果一个符号的两个指示符中的一个比同一项目中的其他因素的指示符重，则该因素的较重的指示符可以被另一个指示符替换并自动消失。符号ij和erst，a，31，类似地，符号ij和erst，a，32，erst符号(置换符号或置换符号，爱丁顿)定义(笛卡尔坐标系)，(1，2，3)和(2，3，1)和(3)，它们依次通过换位获得(3，2，1)和(2，1，3)和(1

8、，3，2)，它们依次通过换位获得，称为逆序排列。或，符号ij和erst，a，33，总共有27个元素，其中三个元素是1，三个元素是-1，其余元素都是0，这与任何两个索引都是反对称的，也就是说，当这三个索引依次换位时(相当于连续交换两次索引)，erst的值保持不变。它有以下重要的性质：每个基向量的模是1，即ei ej1(当ij)不同的基向量相互正交，即ei ej0(当ij)上述两个性质可以用ij的统一形式表示：ei ej ij、符号ij和erst、a、35、当三个基向量ei、ej、ek有：符号ij和erst、a、36、2。矢量点积：3。向量叉积(或向量积):除非另有说明，否则我们通常默认为右手系统

9、。ij与erst、a、37、的叉积的几何意义是“面向量”，其大小等于由向量a和b组成的平行四边形的面积，其方向是沿着面的法线方向。三个向量a、b和c的混合积是一个标量，它被定义为：如果混合积中两个相邻向量的顺序被交换，混合积的值将是相反的。当A、B和C构成右手系统时，混合积表示由这三个向量组成的平行六面体体积。如果它形成一个左手系统，它就是一个负的体积值。因此可以看出，符号ij和erst分别与向量代数中的点积和叉积相关。使用(1)和(2)，有，符号ij和ERST，A，41，4。三阶行列式的值、符号ij和erst、a、42、符号ij和erst、4。三阶行列式的值，a，43，几何方程：如何用张量改

10、写弹性力学的基本方程？a，47，3。本构方程(各向同性材料):如何用张量改写弹性力学的基本方程？建议kk和ij=2 ij，G=E/2(1)，a，48，4。变形协调方程(平面应变):如何用张量改写弹性力学的基本方程？提示：二维索引是希腊字母、值为1和2。一，49，目录，附录一，张量的基本概念，爱因斯坦求和约定ij和erst坐标的分量变换定律和坐标变换张量，张量方程的张量代数，商定律中常用的特殊张量，主方向和主分量张量函数及其微积分，一，50，坐标和坐标变换，笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)，一，51，当笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)坐标变化时，矢量直径变化为，坐标和坐标变换，一，52；当任何坐标系

11、坐标改变时，矢量直径改变为，坐标和坐标变换，a，53；概念坐标线当一个坐标任意改变而其他两个坐标保持不变时，有三条坐标线穿过每个空间点。有三个基向量gi、坐标和坐标变换、a、54，由基向量到坐标的向量直径的偏导数定义。参考框架空间中的每个点都有三个基本向量，它们构成参考框架或坐标框架。任何方向的物理量都可以在相应的作用点分解到参考系。对于笛卡尔坐标系：坐标和坐标变换，a，55，三个相互正交的单位基向量ei构成正交的标准化基，坐标和坐标变换，a，56，欧几里得空间中一般坐标系的坐标线可能不再是正交的；不同点的坐标线可能不再平行；基础向量的大小和方向可能因点而异。每一点的参考系不再是正交标准化的基

12、础。坐标和坐标转换，a，57，坐标转换，坐标和坐标转换，a，58，将新的基础分解为旧的基础：转换系数：相反、坐标和坐标转换，a，59，投影到新的坐标轴，即，用点乘公式的两边，然后左：右：从上面的两个公式，我们可以得到用旧坐标表示的新坐标的表达式。经过类似的推导，我们可以得到旧坐标的表达式，用新坐标、坐标和坐标变换、矩阵形式的坐标变换(假设新旧坐标的原点重合)、坐标和坐标变换、a，62。坐标变换的一般定义是在三维欧几里德空间中设定的。选择两个新的和旧的坐标系。它的逆变换是微分(*)、坐标和坐标变换，一个，63，它不是处处为零，那么就有一个相应的逆变换，它可以由唯一性反过来决定。它的系数行列式(雅

13、可比行列式)，坐标和坐标变换，a，64，允许的变换是由一个具有单值、连续一阶偏导数和J处处不为零的变换函数作出的。将右手系统转换为右手系统，其中异常转换j处处为负，将右手系统转换为左手系统，坐标和坐标转换，A，65，内容，附录A，张量基本概念介绍，爱因斯坦求和一致符号ij和erst坐标和分量转换张量，张量方程的张量代数，商规则，特殊张量，主方向和主分量张量函数及其微积分，A，66，张量分量转换规则张量不会由于人工选择不同的参考坐标系而改变其固有性质，但其分量值是密切相关的因此，张量分量在坐标变换中应满足一定的规则，以保证它们的坐标不变性。张量分量变换定律，a，67，标量分量变换定律让新老坐标系

14、中的标量值为T和T，然后向量分量变换定律，张量分量变换定律，a，68，张量分量变换定律以三维空间中的二阶张量为例，其分解公式为：其中Tij是张量分量，eiej称为基向量，即两个基向量平行书写，张量分量变换定律，张量分量表示， 张量实体表示，(并矢表示)，a，69，张量分量变换定律，即张量分量变换定律，a，70，高阶张量分量满足以下变换定律，张量分量变换定律，a，71，注意：在表示所有张量分量集的索引符号中，每个自由索引的值范围等于张量的维数n，并且在其值范围内的每个索引的任何可能组合表示张量的一个分量，因此n维中的k阶张量具有nK分量。 张量方程定义了一个方程，它的每一项都由张量组成，称为张量方程。特征具有与坐标选择无关的重要性质，可以用来描述客观物理现象的内在特征和普遍规律。张量分量变换定律，a，73，目录，介绍张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij和erst坐标和坐标变换张量的分量变换定律，张量方程的张量代数，常用的特殊张量商定律，主方向和主分量张量函数及其微积分，a，74，张量代数商判断，如果两个张量相等，它们在某个坐标系中的相应分量相等。同阶的两个张量的和(或差)是同阶的另一个张量，其分量关系是，张量代数商，A，76，数积张量A乘以一个数(或标量函数)得到另一个同维的张量，其分量关系是，张量代数商，A，77，和积同维的两个张量是不同的。如果找到基张量中任意两个