第一节--二维离散型随机变量...ppt

1、第一讲 离散型二维随机向量,一 二维随机向量及其联合分布函数,二 边缘分布,三 条件分布,四 随机变量的独立性,例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况.仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标x和纵坐标y来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。,问题的提出,一 二元随机向量 P59,两个随机变量X与Y所构成的数对(X，Y）称二元随机向量,二 随机向量的联合分布函数 P59,对于任意实数 x,y,称为随机向量

2、(X，Y）的联合分布函数,由定义可知,三 联合分布函数性质 P60,（1）,（2）,是关于x或y是单调不减的；,（3）,是关于x或y均是右连续，,即,（4）,对于任意,有,随机向量落在矩形区域的概率,四 离散型二元随机变量定义 P60,（X，Y）的联合概率分布表,Y,X,如果二元随机变量（X，Y）所有可能取的数对为有限或可列个，则称（X，Y）为二元离散型随机变量,联合分布性质：,例1 5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。用“Xk=0”表示第k次取到正品，而“Xk=1”为第k次取到次品(k=1,2) 写出(X1, X2)的联合分布律,解,例2 P61设随机变量

3、X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(X,Y)的分布律。,解,(X,Y)所有可能的取值为：,(1,1),分析,(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),1,2,3,4,1,2,3,4,1/4,0,0,0,1/8,1/8,0,0,1/12,1/12,1/12,0,1/16,1/16,1/16,1/16,随机变量(X，Y)中，分量X(或Y)的概率分布称为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布,四 边缘分布 P63,第i行概率的和,记为,随机变量(X，Y)中，分量X(或Y)的概率分布称为(X，Y

4、)的关于X(或Y)的边缘分布,五 边缘分布 P63,第j列概率的和,记为,例3 将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个邮筒内投。 Xi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写出(X1， X2)的联合分布以 及X1， X2的边缘分布,解,例4 随机变量(X,Y)的联合分布表为,求 (1) a (2) (X,Y)关于X,Y 的边缘分布函数Fx(x) 与FY(y) (3) XY的分布律 (4) (X,Y)的联合分布函数F(x,y),解,(1) 1/4+1/4+1/6+a =1,a =1/3,(2),1,2,1/2,1/2,-1,0,5/12,7/12,（3）,-2,-1,0,1/6,1/

5、4,7/12,例4 随机变量(X,Y)的联合分布表为,求 (1) a (2) (X,Y)关于X,Y 的边缘分布函数Fx(x) 与FY(y) (3) XY的分布律 (4) (X,Y)的联合分布函数F(x,y),解,（4）求F(x,y),六 条件分布 P66,条件分布是指：随机变量(X，Y)中,分量X在Y=yj 的条件下的分布或分量Y在X=xi 的条件下的分布,第j列概率除以第j列概率的和,六 条件分布 P66,条件分布是指：随机变量(X，Y)中,分量X在Y=yj 的条件下的分布或分量Y在X=xi 的条件下的分布,第i行概率除以第i行概率的和,例5 (X1， X2)的联合分布表如下，求X2=1的的

6、条件下X1的条件分布,解,已知P(Y=1|X=1)=0.5求:(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3) P（X=1| Y=1）,例6 (X,Y)的联合分布律为,解,（1） a+b+0.6=1,(2),1,2,0.4,0.6,-1,0,1,0.2,0.3,0.5,(3),1 定义 随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x,y), X的分布函数为FX(x), Y的的分布函数为FY(y),七 随机变量的相互独立性 P71,如果,随机变量X与Y相互独立,2 判断独立的充要条件：,（A）离散型,X与Y独立,（B）连续型,X与Y独立,联合密度等于边缘密度的乘积,例7 (X1， X2)联合分布如下，判断X1， X2是否独立,解,所以 X1， X2不独立,例8 掷两颗骰子，用X与Y分别表示第一颗与第二颗的点数。X与Y是否独立。,可见对所有i,j,故X与Y相互独立,解,pij=pi(1)pj(2),P(X=i),1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,P(Y=j),1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,例9 (X，Y)联合分布如下，(1) 判断X， Y是否独立,解,P(X=i),1/3,2/3,P(Y=j),1/2,1/2,