量纲分析法建模

1、数学建模,量纲分析法,量纲分析法,量纲分析（Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。,一、量纲齐次原则,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=m,时间 t 的量纲记 T=t,速度 v 的量纲 v=LT-1,加速度 a 的量纲 a=LT-2,力 f 的量纲 f=LMT-2,引力常数 k 的量纲 k,对无量纲量，=1(=L0M0T0),=fl2m-2=L3M-1T-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运

2、动,求摆动周期 t 的表达式,设物理量 t, m, l, g 之间有关系式,1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),为什么假设这种形式,设p= f(x,y,z),x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式,设 f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2,

3、 , qm) =0 等价, F未定,Pi定理 (Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn (nm)是基本量纲, q1, q2, , qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。,m=6, n=3,Ay=0 有6-3=3个基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r个基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s =

4、1,2, m-r,F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,v,s,f) = 0 等价,为得到阻力 f 的显式表达式,F=0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数n; 选哪些基本量纲,有目的地构造 Ay=0 的基本解,方法的普适性,函数F和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,二、案例原子弹爆炸的能量估计,1、问题的提出 1945年7月16日，美国科学家试爆了全球第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟

5、有多大。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。 那么，Taylor是如何对原子弹爆炸的能量进行估计的呢？,Taylor认为，爆炸的能量与爆炸形成的“蘑菇云”半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”半径见下表。 表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m),2、建立数学模型 Taylor建立计算爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分析法。记爆炸能量为E，将“蘑菇云”半径近似看成一个球形。除时刻t和能量E外， 与“蘑菇云”半径r有关的物理量还可能有“蘑菇云” 周围的空气密度（记为 ）和大气压强P，将要寻求的关系为：,记作更一般的形式,取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2）中各个物理量的量纲分别是,由此得到量纲矩阵为,齐次方程 Ay=0的基本解为,根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量,（3）,（4）,（5）,3、数值计算,为了利用表1中t和r的数据由（6）确定原子弹爆炸的能量E，必先估计 的大小。,（