方程的根与函数的零点讲课省级公开课

1、,3.1.1 方程的根与函数的零点,高一数学组 曹利霞,怎么解呢？,提出问题 引入新课,花拉子米(约780约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。,阿贝尔(18021829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。,方程解法史话:,问题2：求下面这个方程的实数根,怎么解呢？,问题3,?,转换角度！用函数的思想去解决方程的问题。即：通过研究相应函数去解方程。,怎么解一般的方程,问题4,?,先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=

2、1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,函数的图象与 x 轴的交点,两个交点(x1,0) , (x2,0),无交点,有两个相等的实数根x1 = x2,无实数根,两个不相等的实数根x1 、x2,结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与X轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与X轴无交点。,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a0)的图象，以,推广到更一般的情况，得：,1.函数的零点：,实数,(1)零点是一个实数,所以：,1,0,0,1.函数 的零

3、点是：_,2.函数 的零点是：_,4.函数 的零点个数是：_,3.函数 的零点是：_,5.函数 的零点个数是：_,2,函数y=f( x)的图象如下， 则其零点为 .,-2,1,3,思考探究二,所有函数都存在零点吗？ 什么条件下才能确定零点的存在呢？,1.观察二次函数f(x)=x22x3的图象:,（1）函数f(x)在区间-2, 1内有零点x _ , 有f(2)f(1) _0(),（2）函数f(x)在区间2,4内有零点x _，有f(2)f(4) _ 0（),思考探究二,函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？,有,有,有,(1) 在区间(a,b)上_(有/无)零点； f(a

4、)f(b) _0（或） (2) 在区间(b,c)上_(有/无)零点； f(b) f(c)_0（或） (3)在区间(c,d)上_(有/无)零点； f(c ).f(d) _0（或）,2.零点存在性定理：,（1）两个前提条件缺一不可,（2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？,至少有一个， 可以有多个。,请问若函数满足函数零点存在性的判定方法的两个条件，那么函数对应的图象有多少种类型？请全部画出来.,若函数满足函数零点存在性的判定方法的两个条件，则函数在区间（a,b）上究竟存在几个零点？,函数何时只有一个零点？,函数零点存在且唯一的判定方法： 函数y=f(x)在区间a,b上 图象连续 f(a)f

5、(b)0,若函数y=f(x)在区间a,b上是单调函数 则函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点且唯一.,（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？,(4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f( a )f( b )0的结论吗？,反之不成立！,(5)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。,由表3-1和图3.13可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0，,说明这个函数在区间(2,3)内 有零点,由于函数f(x)在定义域 (0,+)内是增函数，所以 它仅有一个零点,解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.13）,4,

6、1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,例题:求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数,三、解题示范,解法三：通过数形结合，把讨论原函数的零点个数问题转化为讨论方程的根个数问题，再转化为两个简单函数的图象交点个数问题，其步骤是：,令f（x）=0, 得方程 方程变形，lnx=-2x+6 , 拆成两个函数g（x）=lnx, h（x）=6-2x 画两函数图象 根据两函数图象交点个数 即为原函数的零点个数,得结果.,y=2x +6,y= lnx,解法二：估算f(x)在各整数处的取值的正负：,练习1：在下列哪个区间内,函数f (

7、x)= x33x5 一定有零点（ ） A、(1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3）,C,B,利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：,（1）x23x50；,（2）2x(x2)3；,（3） x2 4x4；,（4）5 x2 2x3 x2 5.,四、解题体验,1(1)解：令f(x)=x23x5, 作出函数f(x)的图象，如下：,它与x轴有两个交点，所以方程x23x50有两个不相等的实数根。,1(1) x23x50,1(2)解：2x(x2)3可化为 2x24x30，令f(x)= 2x24x 3 , 作出函数f(x)的图象,如下：,它与x轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根。

8、,1(2) 2x(x2)3,1(3)解：x2 4x4可化为x24x 40，令f(x)= x24x4，作出 函数f(x)的图象，如下：,它与x轴只有一个交点，所以方程x2 4x4有两个相等的实数根。,1(3) x2 4x4,1(4)解：5x2 +2x3x2 +5可化为 2x2 2x50，令f(x)=2x2 2x5 , 作出函数f(x)的图象， 如下：,它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x3x2 +5有两个不 相等的实数根。,1(4) 5 x2 2x3 x2 5,2(1)解：作出函数的图象，如下：,因为f(1)=10,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)= x33x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(,） 上的减函数