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1、机器人技术基础,第二章 位姿描述和齐次变换 要求：熟练掌握描述刚体位姿描述的齐次变换方法,刚体位姿描述和齐次变换 预备知识 旋转矩阵 坐标变换 齐次坐标,欧拉角与 RPY 角 齐次变换和齐次变换矩阵的运算 例子,目录,第二章 位姿描述和齐次变换,要求：熟练掌握描述刚体位姿描述的齐次变换方法,2.1 刚体位姿描述 (Location Representing),机器人的操作，就其本义来说，意味着由某种机构在空间移动零件和工具。这自然有必要表示零件、工具以及机构本身的位置和方位。为了规定和运算表示位置和方位的数学量，我们必需规定坐标系，并掌握它们的表达式的常用形式。 我们采取这样的思想，即某处存在

2、一通用的坐标系统，我们讨论的每一个物体均可参考此参考坐标系。 描述是用来规定操作器系统所涉及的各物体的特性，这些物体指零件，工具或操作器本身。在本节我们讨论位置、方位的描述。,一、位置的描述 (Representing Position),其中Ap为31的列矢量，上标A代表参考坐标系A。,采用位置矢量表示空间中一点,p,A,p,A,？,刚体的位置、姿势可由其上的任一点(称作基准点，通常可选作物体的质心)和过该点的坐标系相对于参考坐标系的相对关系来确定。 我们在物体上附一坐标系，然后再给出这一坐标系相对于参考系的描述。,二、方位的描述(Representing Rotation),或,B,A,表

3、示刚体 B 相对于 A的方位,B与物体固结， A 为参考系。 用坐标系B的三个单位主矢量相对于坐标系A的方向余弦组成的33矩阵,x,A,y,z,x,x,y,z,x,B,B,A,如图，绕X轴旋转900,900,绕X轴旋转,Rotation Matrices in 3D,绕Z轴旋转,绕Y轴旋转,绕X轴旋转,注意：,为单位矢量,33旋转矩阵有9个元素，6个约束条件，3个独立变量,是正交矩阵，且满足,称为旋转矩阵，上标A代表参考坐标系A，下标B代表被描述的坐标系B。,旋转矩阵的逆等于其转置矩阵,旋转矩阵的性质,为了完全描述刚体B在空间的位姿(位置和姿态)、通常将物体B与某一坐标系B相固接。B的坐标原点

4、一般选在物体B的特征点上，如质心、或对称中心等。相对参考系A，由位置矢量 和旋转矩阵 分别描述坐标系B的原点位置和坐标轴的方位。因此，刚体B的位姿可由坐标系B来描述，即,三、位姿的描述（位置姿态）,四、手爪坐标系,z-轴: 接近矢量(approaching object direction) y-轴: 方位矢量(along the orientation of the line connecting two fingers),x-轴: 法向矢量 n=oa,手爪的方位:,手爪的位姿:,求,A,B,1. 坐标平移,2.2 坐标变换,在机器人学的许多问题中，涉及到以不同坐标系表示同一量。下面讨论从一

5、个坐标系的描述到另个坐标系的描述之间的变换关系。,2. 坐标旋转,同一点p在两个坐标系A和B中的描述具有以下变换关系：,刚体位姿描述 (Location Representing),机器人的操作，就其本义来说，意味着由某种机构在空间移动零件和工具。这自然由必要表示零件、工具以及机构本身的位置和方位。为了规定和运算表示位置和方位的数学量，我们必需规定坐标系并提出它们的表达式的习惯形式。 我们采取这样的思想，即某处存在一通用的坐标系统，我们讨论的每一个物体均可参考此参考坐标系。,刚体的位置、姿势可由其上的任一点(称作基准点，通常可选作物体的质心)和过该点的坐标系相对于参考坐标系的相对关系来确定。

6、我们在物体上附一坐标系，然后再给出这一坐标系相对于参考系的描述。,5. 刚体位置、姿态的描述,或,表示刚体 B 相对于 A的方位,B与物体固结， A 为参考系。 用坐标系B的三个单位主矢量相对于坐标系A的方向余弦组成的33矩阵,为了完全描述刚体B在空间的位姿(位置和姿态)、通常将物体B与某一坐标系B相固接。B的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如质心、或对称中心等。相对参考系A，由位置矢量 和旋转矩阵 分别描述坐标系B的原点位置和坐标轴的方位。因此，刚体B的位姿可由坐标系B来描述，即,3. 一般变换,齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合 将其分解成两个矩阵相乘的形式之后就可以看出这一点。

7、,其中，I33是33阶单位矩阵，等式右端第一个矩阵称为平移变换矩阵，常用Trans (ApBo)来表示；第二个矩阵标为旋转变换矩阵,常用Rot (k, )来表示.,齐次变换矩阵,1 移动变换,2. 转动变换,绕Z轴旋转,绕Y轴旋转,绕X轴旋转,3. 对坐标系的解释,作为坐标系解释变换,齐次坐标和齐次变换,Homogeneous coordinate,Homogeneous coordinate,Homogeneous Transformation,Orientation matrix,Vector of coordinate origin,相对运动坐标系，变换式“从左向右”写：,Rot(y,

8、90)Rot(z,90),相对固定坐标系，变换式“从右向左”写：,Rot(z, 90)Rot(x,90),4. 相对变换,变换矩阵的左乘和右乘的运动解释是不同的： 变换顺序“从右向左”，指明运动是相对固定坐标系而言的； 变换顺序“从左向右”，指明运动是相对运动坐标系而言的。,从左向右,从右向左,Example: Displacement in an Absolute Frame,Displace (7, 3, 2) through a sequence of: 1. Rot(z, 90) 2. Rot(y, 90) 3. Trans(4, -3, 7) Trans(4, -3, 7) Rot(

9、y, 90) Rot(z, 90),齐次变换矩阵T具有以下不同的物理解释：,1. 坐标系的描述 描述B相对于参考系A的位姿 2. 坐标映射 表示同一点P在两个坐标系A和B中描述之间的映射关系 3. 运动算子 T表示在同一坐标系中，点P运动前后的算子关系。,例 2.2,变换矩阵相乘不满足交换率,给定变换:,求,求解方法:,直接求逆 简化求解,6. 逆变换,给定变换:,求,求解方法:,直接求逆 简化求解,给定:,求,6. 逆变换,坐标系B原点 在B中的描述：,框A下的点 映射到B中描述：,6. 逆变换,已知 表示B相对于A绕其z轴转30度，再沿x轴移动4, 沿y轴移动3。求 .,(例2.5, P.

10、21),7. 变换矩阵相乘,给定齐次变换矩阵:,， 分别表示C相对于A和B的描述 表示坐标系C从 映射为 的变换,8. 手爪坐标系,z-轴: 接近矢量(approaching object direction) y-轴: 方位矢量(along the orientation of the line connecting two fingers),x-轴: 法向矢量,手爪的方位:,手爪的位姿:,9. 变换方程,给定变换:,确定,建立变换方程,2) 计算,可以写出测头中心位置的测量运动方程: 利用内外传感器数据，采用参数辨识方法，如最小二乘方法可求得:,测量方程,可测量,待求量,可控量,欧拉角与

11、RPY 角,回转,俯仰,偏转,一、RPY角：依次绕绕固定轴x-y-z旋转,给定,计算,二、欧拉角：依次绕绕动坐标系z-y-z轴旋转,We specify the order of rotation of Euler angles as follows:,We can obtain the orientation matrix described by Euler angles, which is same with the,二、欧拉角：依次绕绕动坐标系z-y-z轴旋转,三、绕任意轴/角的转动,前面讨论了旋转矩阵的三种特殊情况，即绕x, y和z轴的旋转矩阵，现在讨论绕过原点的任意轴k旋转角的变换

12、矩阵。,表示坐标系B相对参考系A方位,运用旋转矩阵的正交性质：,化简整理后得到：,其中，k轴即a轴。,12. 等效转轴和等效转角,Matlab编程作业,2.8 (p30) 2.9 (p31)，参考P35图3-6,求,机器人技术基础,第三章 操作臂运动学 课程的基本要求: 熟练掌握机器人运动学正解的D-H矩阵方法，掌握运动学反解的基本原理。理解机器人运动的二个描述空间。 背景知识 机器人运动学 机器人逆运动学 关节空间与操作空间,3.1 连杆参数和连杆坐标系 Denavit - Hartenberg Parameters,第三章 操作臂运动学,连杆的描述,n自由度机械臂-n个单自由度关节与n-1

13、个零长度连杆组成的模型。 只考虑具有单自由度关节的操作器。 连杆编号由固定基座开始： 固定基座连杆0 第一个运动体连杆1 ,通常为了能在三维空间定位末端执行器，最少要求有6个关节。,连杆坐标系 关节 1 是垂直于肩, 关节 2 经过肩水平线, 关节 3 是在肘部。关节 4, 5 j=1,2,n。,假设矢量yRm为uRn的函数 y= y(u),y相对于u的偏导数定义为,对于m=1, （标量对矢量的导数）,根据上述一般数学定义，对于6关节机器人： 设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。 求微分， 注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 是q的函数，写成 ，式子两边

14、同除以时间的微分， 上式中，66的偏导数矩阵J(q)叫做雅可比矩阵。其中,雅可比矩阵,机器人关节数,*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型,雅可比矩阵在机器人中的应用,可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 变换到操作速度V的变换矩阵 在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变换矩阵。 在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起的。 必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。,例4.1,将

15、平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导,则得其雅可比矩阵为,平面2R机械手的运动学方程为,对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位： 操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上） 操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）,(singular configuration),例4.1,可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位,当290或2 0时,机械手的雅可比行列式为0矩阵的秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸直(2 0)或完全缩回(2 180)时，机械手末端丧失了径向自由度仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。,例4

16、.2 如图所示为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速度运动，求相应的关节速度,解：由 可以看出，只要机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,相应的关节速度即可解出 对于平面2R机械手，运动学方程为,平面2R机械手的速度反解,例4.2 如图所示为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速度运动，求相应的关节速度,解：雅可比J(q)为,于是得到与末端速度 相应的关节速度 反解为,逆雅可比可为,讨论：机械手接近奇异形位时，关节速度将趋于无穷大。,当20； 2180时，机械手在水平位置，,例：物理仿真中的雅可比矩阵,约束函数C(x), 单位圆上的质点位置约束为 一般情况下，采用位姿矢量q

17、聚合表达n个粒子的位置。在3D空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q的未知函数，则速度约束 矩阵 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理仿真，求微分 ，根据力学关系，建立微分约束方程，基于物理仿真。,例子2：立体视觉雅可比矩阵,两只CCD摄像机任意的安装在机器人手腕上，形成手眼机器人立体视觉系统。 Xc,Yc,Zc为摄像机坐标系， x,y为图像坐标系， CO为摄像机焦距 f Xw,Yw,Zw为世界坐标系，则 根据上述透视投影关系,得到以 世界坐标系表示的P点坐标与其 投影点p的坐标(x,y)的关系：,摄像机成像模型,对上式两边求导，得： 为世界坐标系到图像坐标系的雅可比映

18、射矩阵，它是摄像机内外参数的函数。进一步，经过立体视觉摄像机定标，得到： 其中， = ，k代表摄像机1，2。上式为手眼机器人跟踪系统的视觉伺服控制方程。 如果物体在世界坐标系下的速度 已知，根据采样时间步长t，前一帧图像位置x(k)，根据上式可以估计下一帧图像位置x(k+1)，则可通过控制摄像机位姿，可以实现对目标的跟踪。,4.2 微分运动与广义速度,4.2 微分运动与广义速度 刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量d和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者又绕三个坐标轴的微分转动组成，即 将两者合并为6维列矢量D，称为刚体或坐标系的微分运动矢量： 相应地，刚体或坐标系的广义速度

19、V是由线速度v, 组成的6维矢量：,微分运动D和广义速度V是相对于参考坐标系而言的。例如，相对于坐标系T而言，用 ， 表示。,d,若相对于基坐标系的微分运动为D，则相对于坐标系T的微分运动 为,T,p,n,o,a,注意：D的微分位移和旋转应看作通过基坐标系的原点的矢量。,合并写为,对于任何三维矢量p=px，py，pzT，其反对称矩阵S(p)定义为 S(p)是一个叉积算子，易证 S(p) = p , S(p) = (p )T,微分位移的变换简写为 式中, R=n,o,a 是旋转矩阵。 相应地，广义速度V 的坐标变换为 任意两坐标系A,B之间广义速度的坐标变换为,4.3 雅可比矩阵的构造法,雅可比

20、矩阵J(q)既可看成是从关节空间向操作空间速度传递的线性关系，也可看成是微分运动转换的线性关系，即 对n个关节的机器人，J 的每一列代表相应的关节速度对于手爪线速度和角速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵分块为,4.3 雅可比矩阵的构造法,关节速度,线速度,角速度,关节1速度引起手爪的线速度,下面采用构造性的方法直接构造出各项Jti和Jai,Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅可比的矢量积方法。如图所示,末端手爪的线速度v和角速度与关节速度 有关 （1）对于移动关节 i , （2）对于转动关节 i ,标量,矢量,矢量积方法 其中， 表示手爪坐标原点相对坐标系i的位置矢量在基坐标系o

21、中的表示。 zi是坐标系i的z轴单位向量(在基坐标系o表示的)。,用矢量积方法计算J(q) 由于PUMA 560的6个关节都是转动关节因此其雅可比具有下列形式：,4.4 PUMA560的雅可比矩阵,4.5 力雅可比,机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力f和力矩n，统称为末端广义(操作)力矢量。记为 例如，操作臂提取重物时承受的外载作用力和力矩；抓手对被抓物体的作用力和力矩；多足步行机构与地面的作用力和力矩。在静止状态下，广义操作力矢量f应与各关节的驱动力(或力矩)相平衡。n个关节的驱动力(或力矩)组成的n维矢量称为关节力矢量,预备知识操作器的静力,利用虚功原理可以导出关节力矢量与相

22、应的广义操作力矢量F之间的关系。令各关节的虚位移为qi，末端执行器相应的虚位移为D。所谓虚位移，是满足机械系统几何约束的无限小位移。各关节所作的虚功之和WTq与末端执行器所作的虚功WFTDfTd+nT应该相等(总的虚功为零)，即,将 代入上式可得出,操作臂的力静态平衡,4.5 力雅可比,式中，JT(q)称为操作臂的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。上式也表示操作臂的力雅可比就是它的(运动)雅可比的转置。因此可以看出操作臂的静力传递关系与速度传递关系紧密相关。具有对偶性。 操作臂的力雅可比表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。,根据线性代数的有关知识，

23、零空间N(J(q)是值空间R(JT(q)在n维关节空间的正交补，即对于任何非零的 N(J(q)，则有 R(JT(q)；反之亦然。其物理含义是，在不产生操作速度的这些关节速度方向上，关节力矩不能被操作力所平衡。为了使操作臂保持静止不动，在零空间N(J(q)的关节力矢量必须为零。,当J(q)退化时(即秩亏)，操作臂处于奇异形位。J(q)的零空间N(J(q)表示不产生操作速度的关节速度的集合。 静力映射的零空间N(JT(q)代表不需要任何关节驱动力(矩)而能承受的所有操作力的集合，末端操作力完全由机构本身承受。而值域空间R(JT(q)则表示操作力能平衡的所有关节力矢量的集合。,在m维操作空间中存在着

24、相似的对偶关系。R(J(q)是N(JT(q) 在操作空间的正交补。 因此，不能由关节运动产生的这些操作运动的方向恰恰正是不需要关节力矩来平衡的操作力的方向。反之，若外力作用的方向是沿着末端执行器能够运动的方向，则外力完全可以由关节力(矩)来平衡。当雅可比J(q)退化时，操作臂处于奇异形位，零空间N(JT(q)不只包含0，因而外力可能承受在操作臂机构本身上。 利用瞬时运动和静力的对偶关系，可以从瞬时运动关系推导出相应的静力关系。由式(4.18)可以导出两坐标系A和B之间广义操作力的坐标变换关系,例：双连杆平面机器人 (p48, 55-56)：双连杆操作器,4.5 雅可比的奇异性和灵巧度,一、雅可

25、比的奇异性 操作臂的雅可比依赖于形位q，关节空间的奇异形位q定义为操作臂6n的雅可比的秩不是满秩的这些关节矢量q，即满足 相应的操作空间中的点xx(q)为工作空间的奇异点。在奇异形位处，操作臂丧失一个或多个操作自由度。粗略地讲，机器人的奇异形位分为两类：,(1)边界奇异形位； (2)内部奇异形位。,二、速度反解 机器人在执行某一特定任务时，所需抓手独立运动参数的数目m随任务的性质而异，最多为6，有些则小于6，例如弧焊、喷漆等有对称轴线，独立运动参数是5个；带球形测头的机器人需要3个独立运动参数；用于圆柱铣刀加工的需要4个独立运动参数。用于端铣刀的需要4个独立运动参数，用于平面作业的机器人需要3

26、个独立运动参数。独立运动参数的数目即为操作空间的维数m (1)当Mn，且J(q)是满秧时，机器人具有冗余自由度，冗余度定义为dim(N(J) (2)当Mn，且J(q)是满秩的，称为满自由度； (3)当Mn，机器人是欠自由度的。,对于满自由度的机器人，J(q)是方阵，一般情况下，根据操作速度 ，可以反解出相应的关节速度。只是在奇异形位时，逆雅可比J-1(q)不存在，速度反解可能不存在。并且，在奇异点附近J(q)矩阵是病态的，反解的关节速度矢量可能趋于无限大。操作臂的运动性能和动态性能变坏。实际上，若雅可比J(q)是满秩方阵时，操作臂运动方程的速度反解为,雅可比矩阵的秩 若J是方阵，且非奇异，求逆

27、运算,对于冗余度机器人，其雅可比的列数多于行数即nm。当J(q)是满秩的时，冗余度为 dim(N(J(q) = nm 0 其运动方程(4.2)的速度反解不唯一，解集合所包含的任意参数的数目等于冗余度dim(N(J(q) 。其通解可表示为 式中， 是方程(4.2)的一特解; 是J(q)零空间的任意矢量，k是任意常数. 冗余度机器人对于避免碰撞，避开奇异状态，增加操作臂的灵巧性，改善动态性能会带来好处。,若,其中,是J的广义逆,操作臂雅可比的奇异性定性地描述了操作臂的运动灵巧性和运动性能。为了定量分析操作臂的灵巧性和速度反解的精度，提出了许多度量指标。所有这些指标在概念上都与雅可比的奇异值有关。根据矩阵的奇异值分解理论，对操作臂在任意形位的雅可比J(q)进行奇异值分解，即 式中， 为正交矩阵，而,式中，1 2 m0为J的奇异值。,三、雅可比矩阵的奇异值分解,1.条件数,四、灵巧性度量指标,最大奇异值,最小奇异值,2. 最小奇异值,操作臂形位具有各向同性,操作臂终端对于关节运动的响应越快。,3可操作性(可操作度),小节,计算雅克比 速度映射 力映射,作业： 4.4, 4.5, 4.15,4.7 刚度和变形,机械臂在外力作用下发生变形，与操作臂刚度和作用力矢量有关。 刚度是影响动态特性和定位精度的主要因素。 主要来源：连杆变形、连杆支撑和关节驱动装置。,机器人关节变形的一个直接影响