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文档简介
1、北京市西城区2012年高三一模试卷 数 学(理科) 2012.4第卷(选择题 共40分)8已知集合,其中,且.则中所有元素之和等于( )(A)(B)(C)(D)14. 在直角坐标系中,动点,分别在射线和上运动,且的面积为则点,的横坐标之积为_;周长的最小值是_18.(本小题满分13分)已知函数,其中.()当时,求曲线在点处的切线方程;()求的单调区间.19.(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,且.()求椭圆的方程;()设过点且斜率不为的直线交椭圆于,两点.试问轴上是否存在定点,使平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分13分)对于数列,定
2、义“变换”:将数列变换成数列,其中,且,这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束()试问和经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;()求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件; ()证明:一定能经过有限次“变换”后结束北京市西城区2012年高三一模试卷 数学(理科)参考答案及评分标准 2012.4 8. D . 14.,.18.(本小题满分13分)()解:当时, 2分由于,所以曲线在点处的切线方程是 4分()解:, 6分 当时,令,解得 的单调递减区间为;单调递增区间为,8分当时,令,解得 ,或
3、 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为, 10分 当时,为常值函数,不存在单调区间 11分 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为, 13分19.(本小题满分14分)()解:由 , 得 . 2分依题意是等腰直角三角形,从而,故. 4分所以椭圆的方程是. 5分()解:设,直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立,消去得 . 7分所以 ,. 8分若平分,则直线,的倾斜角互补,所以. 9分设,则有 .将 ,代入上式,整理得 ,所以 . 12分将 ,代入上式,整理得 . 13分由于上式对任意实数都成立,所以 . 综上,存在定点,使平分. 14分20.(本小题满分13分)()解:数列不能结束,
4、各数列依次为;从而以下重复出现,不会出现所有项均为的情形 2分数列能结束,各数列依次为; 3分()解:经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是4分若,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束 5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”当时,数列由数列为常数列得,解得,从而数列也为常数列其它情形同理,得证在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列 8分所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是()证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”证明:记数列中最大项为,则
5、令,其中因为, 所以,故,证毕 9分现将数列分为两类第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知, 第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列不妨令数列的第一项为,第二项最大()(其它情形同理) 当数列中只有一项为时,若(),则,此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;若,则;此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;若,则;,此数列各项均不为,为第一类数列 当数列中有两项为时,若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;若(),则,此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列 当数列中有三项为时,只能是,则,此数列各项均不为,为第一类数列总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数
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