附录I 截面图形几何性质

1、附录I平面图形的几何性质(geometrical properties of an area )，1.1静力矩和心形1.2惯性矩惯性半径惯性积1.3平行位移轴式1.4旋转轴式和主惯性轴(Static Moment Centroid of Area ) 附加1.1静力矩和形心、形心、图1、图1所示厚度的均质薄板、厚度t、每体积的重量g、面积a、薄板重心的坐标yc和zc，分别对均质薄板，若考虑形心式，则上式为1.2静力矩，或定理：有平面图形的轴其中Syi是第I个简单图形对y轴的静力矩，Ai是对应图形的面积，zci是图形中心的z方向坐标。 1.3只要组合模式的静力矩和心形、组合模式的某轴的静力矩能够

2、分解成其各部分模式的相对于该轴的静力矩的代数和，即模式能够分解成n个规则模式的和，则组合模式的心形的公式另外，图案对y轴的静止力矩，质心坐标yc求右图的组合模式的静止力矩。 解：用右端填补原图，其中内部的蓝色矩形和外部的黑色矩形都是规则的图形，图形I事实上不存在，这里用负面积法。 对于图形I和图形II，把1.2惯性力矩惯性半径惯性积、inertial radius Product of inertia，分别称为图形的y轴和z轴的惯性力矩。 惯性力矩的维数是长度4，惯性力矩是常数正的量。 定义，转动惯量的国际单位为m4，常用单位为cm4、mm4。 惯性力矩的大小不仅与图形面积有关，还与图形面积相

3、对于坐标轴的分布有关。 面积越远离坐标轴，惯性力矩就越大，相反，面积越接近坐标轴，惯性力矩就越小。 iy和iz分别称为图表相对于y轴和z轴的惯性半径。 惯性半径为正值，其大小反映了图表面积聚集在坐标轴上的程度。 惯性半径的维度是长度，通常的单位是mm或m。 定义、1.2.2惯性半径或1.2.3极惯性力矩是相对于图表坐标原点o的极惯性力矩。 极惯性力矩总是正值，其维数为长度4，常用单位为m4和mm4。 为了定义、这个公式表示了极惯性矩和轴惯性矩的关系。 的双曲正切值。定义、1.2.4惯性积、惯性积的数值可以是正、负或零。 惯性积的维数为长度4，常用单位为m4和mm4。 定理：如果一个轴是图形的对

4、称轴，则图形对轴的惯性积一定为零。 1 .均质矩形板，质量m，长度l的均质棒，图示坐标系的话，带有1.2.5中常见的图形的惯性矩，惯性积，容易得到以下的结果：圆， 因为选择了直径为d的圆、图示的圆环状积分微元件，并以y轴为对称轴，所以圆环状对y (或z )轴的惯性力矩为圆环状，与1.2.6组合的图形的惯性力矩、惯性积，Iyi为第I个图形相对于y轴的惯性力矩，馀类的双曲正切值。 相对于具有连接图形的坐标轴的惯性力矩等于每个简单图形相对于相同坐标轴的惯性力矩之和。相对于一个垂直坐标轴的组合图案的惯性积等于每个简单图形相对于其坐标轴的惯性积之和，即，实际上，y超过图形的中心解：此组合图被视为三个矩形

5、、的组合。 然后，针对每个矩形的y轴的惯性力矩，针对整个图案的y轴的惯性力矩附属于1.3平行位移轴公式，其中针对平面图案定义了坐标系Oyz和基于质心c的坐标系Cyczc 用质心坐标系的坐标表示yc，因为yc是质心的轴，同样，在汇总位移轴公式中的两个平行轴中，至少一个轴必须通过质心的所有平行轴中，几何超出中心的轴的惯性力矩最小。 解：把图形看作两个矩形的结合。图心坐标是例题求出了图表相对于图心轴的惯性力矩和惯性积。 求出图案对y、z轴的惯性矩，由于z轴是对称轴，所以图案对两轴的惯性积为1.4旋转轴式和主惯性轴、transformationequationandprincipalcentroida

6、laxis、图案对的坐标轴y y轴和z轴称为主惯性轴。 相对于主惯性轴的模式惯性矩称为主惯性力矩。 主转动惯量的值是图形相对于通过同一点的所有坐标轴的转动惯量的极值。 主惯性轴通过向心轴时，该轴称为向心主惯性轴。 相对于质心主惯性轴的惯性力矩称为质心主惯性力矩。 附加基本概念、1.4.1旋转轴式、平面的任意图形和新旧坐标系，图示相对于平面图形的任意一对新坐标轴y轴z轴的惯性力矩和惯性积：将坐标轴绕坐标原点旋转a角时(规定a角逆时针旋转正，顺时针旋转负)。 得到一对新的坐标轴y1轴和z1轴。 相对于y1轴z1轴的模式的惯性力矩和惯性积：从图中的任意点取微小面积dA，新旧坐标(y1，z1 )和(y

7、， z )有以下关系，将该关系代入Iy1、Iz1和Iy1z1而得到，代入上式而得到，同样地，附加(a )、1.4.2主惯性轴和主惯性力矩(principal moment of inertia )，将式(a )代入a求出导数根据上式可以解90个不同的两个角度a0和a0 90，确定了相互垂直的坐标轴y0轴z0轴。 曲线对一对轴的惯性力矩取最大值Imax，另一个取最小值Imin，将a0和a0 90分别代入式(a )的第一式，简化了惯性力矩极值的计算式：将a0和a0 90代入式(a )的第三式，得到惯性积Iy0z00 因此，如果对某个坐标轴y0和z0取极值，则图表相对于该坐标轴的惯性积为零。 y0和

8、z0轴称为主惯性轴。 相对于主惯性轴的模式惯性矩称为主惯性力矩。 主转动惯量的值是图形相对于通过同一点的所有坐标轴的转动惯量的极值。 附加1.4.3形心主惯性轴和形心主惯性力矩，主惯性轴通过形心后，将该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis )。 相对于质心主惯性轴的惯性力矩称为质心主惯性力矩。 图形相对于对称轴的惯性积等于零，因为对称轴又超过形心，所以图形的对称轴是形心的主惯性轴。 形心主惯性轴的特征可以归纳为以下几点：形心主惯性轴通过形心，是以角取向的一对相互垂直的坐标轴。 质心相对于主惯性轴的主惯性力矩是质心相对于穿过质心的所有坐标轴的质心的惯性力矩的极值。 图形对心形主惯性轴的惯性积为零。 对称轴一定是图形的形心主惯性轴。 求出图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩。 另外，由于图形具有对称中心c，所以点c是图形的形状中心。 以图心c为坐标原点，以与图形边缘平行的y、z轴为参考坐标系，将图形看作三个矩形、和的组合图形。 解：决定形心的位置，矩形的形心c1