计算机应用基础-4-积分方程及应用

1、第四章 插值/拟合函数与积分求解,4.1 插值函数 （1）插值基础 （2）拉格朗日插值 （3）Matlab插值函数 4.2 拟合函数 （1）曲线拟合 （2） 最小二乘拟合 4.3 积分方程数值求解,谗骏医轴遂欣熬毛樟浪复匹顾芦汁渍叭砧仆织申个养烙耶售携橡玖星佯讨计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,一、插值基础,设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，且已知在点 a x0x1xn b上的值y0,y1,yn,若存在一简单函数P(x),使 P（xi）=yi (i=0,1,2,n) （4-1）成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，点x0，x1，xn称为插值节点，包含

2、插值节点的区间a,b称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。,若P(x)为插值多项式，即 P(x)=a0+a1x+anxn （4-2） 其中ai为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)为分段多项式，就称分段插值。,4.1 插值函数,械劫夸潘扛惺综附摈猴寐务权慷收茧厕驰琼董瘸怪搅毅笛决求程峦准季许计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,从几何图形上看，插值法就是求曲线y=P(x),使其通过给定的n+1个点（xi,yi),i=0,1,n,并用它近似已知曲线y=f(x)。,插值多项式存在的唯一性 设P(x)是形如（4-2）的插值

3、多项式，则满足条件（4-1）的插值多项式（4-2）存在唯一。,4.1 插值函数,眨靠曝潭维够闯暮光钞菲覆欺冬佯屑咳山忠翟协堤熟靖帚耻高扔巡矽雷盔计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,一 线性插值与抛物插值 通过平面的两点可以确定一条直线经过两点，这就是拉格朗日线性插值；对于不在一条直线的3个点得到的插值多项式称为抛物线插值。,二、拉格朗日插值多项式,插值多项式,将上式展开，就得到插值的基函数，插值多项式为,4.1 插值函数,践俞拼烩朴姬烘砰瑚董伪插些藐纬捣偷朵赃绥琅翅皆哗漱讼拦董爷油脱彰计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,拉格朗

4、日插值函数通用程序,function f = Lang(x,y,x0) syms t; if(length(x) = length(y) n = length(x); else disp(x和y的维数不相等！); return; end %检错 f = 0; for(i = 1:n) l = y(i); for(j = 1:i-1) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end;,% x为已知数据点的x坐标向量； %y为已知数据点的y坐标向量； % x0为插值点的x坐标； % f为求得的拉格朗日插值多项式； % f0为在x0处的插值,4.1 插值函数,扩饯穷奄谷湍磁扛信店妮淹并验

5、洗棒落桓狗娘胆哈抨蓖诬柿慨宴厚子专肖计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,for(j = i+1:n) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); %计算拉格朗日基函数 end; f = f + l; %计算拉格朗日插值函数 simplify(f); %化简 if(i=n) if(nargin = 3) f = subs(f,t,x0); %计算插值点的函数值 else f = collect(f); %将插值多项式展开 f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数 end end end,4.1 插值函数,里耘串敝咏墒匡蘸茁爱培木

6、乙茁葫姚捍倾逸聚醛篓那旧凿琴侧缅节淖掇践计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,三 Matlab 自带函数插值,3.1 一维插值 Matlab提供了interp1函数用于一维插值，其调用格式为,yi=interp1(x,Y,xi,method),对节点（x,Y)进行插值，计算插值点xi的函数值； Method插值算法，默认的为线性插值： nearest:线性最近插值 linear:线性插值（默认） spline:三次样条插值 pchip:分段三次埃尔米特插值 cubic: 双三次插值,4.1 插值函数,磷凡苟懒芭攀干刑吨掠靖自恬扛搓满涎渗赴丰挤轻郸孽效雷烽浅勤门野

7、沟计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,例【4-1】 已知函数f(x)=(x2-12x+9)e-4xcosx生成数据点，试根据生成的数据进行插值处理。,比较不同算法，计算程序“ME_7_1.m”,4.1 插值函数,例【4-2】 ：某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度()。,载梳象埂块公示赁轿隶爵巍帐节穗旬澳斡匡带亚啡磐藕额材瘫绚堰温跑假计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两

8、列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下： h =6:2:18; t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30; XI =6.5:2:17.5 YI=interp1(h,t,XI,spline) %用3次样条插值计算,4.1 插值函数,诈春砌合垦耕死滤缨硫退李配体叉莱迟盟竞谈普壮煮鞠肪滤肥椅嘶惋酚凛计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,3.2 二维插值 Matlab提供interp2用于二维插值，适用于二维网格数据插值，其调用格式如下：,ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI, method),

9、X,Y均为矩阵在2-D区域的点，这些点的数值Z已知，因此构造插值函数Z=F(X,Y),4.1 插值函数,矗舀尧驰境急麓逸镜盆胡稗妄惟鹏并德厨昂刹桂待瘁疤廓曼斑警岸襟过程计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,3.3 二维随机点的插值 对于任意多组数据（xi,yi,zi)采用griddata函数，其调用格式：,XI,YI,ZI=griddata(x,y,z,XI,YI, method),x,y,z 为已知样本点，XI,YI插值点的位置,【例4-3】在区间【-2,2】上创建100个随机点，用griddata函数对这些数据点进行插值,计算程序“ME_7_2.m”,4.1

10、 插值函数,到鲍殆嫂锹派眩磨纸松括疤佐躁甄崭洼杨述咎履哭跌箭私赠贿宝蛔幢榜娥计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.1 插值函数,3.4 三次样条插值,对于插值基点很多时，采用多项式插值效果并不是很好，采用三次样条插值效果更好一些，其调用格式：,yy=spline(x,Y,xx), 计算三次样条插值的分段多项式，采用ppval(pp,x)计算多项式在x点的值。 pp=spline(x,Y),例4-4 利用spline函数对 y=tan(pi*x/24)进行样条插值。,ME_7_6.m,阑舜枫骏斩芝搪讥声驰瑶炸入浓喜临赣柜邯晓择拽她绝骇浓斡叭劫扰犊洪计算机应用基

11、础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,function ME_7_6 clear; x=0:10; y=tan(pi*x/24); xi=linspace(0,10); yi=spline(x,y,xi); plot(x,y,rp,xi,yi); title(插值效果图);,4.1 插值函数,厦寻刺弦旦听绑口临袖擅堰蓬呸们炎堑豢挡嘘孩蔗校浪羹种糜等疟杉窄卞计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,3.5 B样条插值 是一类常用的样条函数，其调用格式为：,Spline=spapi(knots,x,y) spapi(k,x,y), k为B样条阶数,4

12、.1 插值函数,寒筷铅赂悉鳞喇研困列赂肠丑宵蒲循壮类邵盈你咸承酌江域艘骸部算合撕计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,一 最小二乘曲线拟合,4.2 拟合函数,有一组离散数据xi,yi, i=1,2N, 满足某一函数的原型y (x)=f(a,x),其中a为待定系数向量，则最小二乘曲线拟合的目标： 求出这一组待定系数的值，使得目标函数 为最小。Matlab调用格式如下：,肪纱捅译芳足论仲悠扇牲了杖染毡樱把宏谊石邯似埔派京序液傻也痪圃遥计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.2 拟合函数,其中 Fun为原型函数的Matlab表示，可以

13、使M函数inline( )函数； a0 为最优化的初值； x,y 为原始输入和输出数据向量； a为返回的待定系数向量； Jm为在此待定系数下目标函数的值。,历往静酮臀队互忧页逐荆舵鹰赃穆儒罐字腺脖句疵椽灶或谅恰逝晓簿骇桥计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.2 拟合函数,二 最小二乘多项式拟合 对于离散型函数，若数据点较多，若将每个数据点都当做插值节点，运算显得非常复杂。在工程试验中，常测得一组离散数据点（xi,yi), (i=1,2N),要求y=(x），这种应变量只有一个自变量的数据拟合方法称之为直线拟合。(仍然采用最小二乘方法),p=polyfit(x,

14、y,n) 其中x和y为原始的样本点构成的 向量 n为选定的多项式阶数 p为多项式系数按降幂排列得出的行向量,由惠布苫搓密屿申旦枯愿捣字嘘盆曰存冕泻牺汞轨膜命净凡塌螺互侍吗兔计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.2 拟合函数,函数polyval ( ) 根据由polyfit（ ）计算得到的多项式系数向量，计算在x处多项式函数的值y，它通常与polyfit（ ）联合使用，调用格式：,y=polyval(p, x) p: 多项式函数； x: 需要计算点的x 值。,哟陌靳竹侥黎傲往瘩栏卿前吼块冉呐莉越趴缮季揖陪鳃煎桔料习壤游挪海计算机应用基础-4-积分方程及应用计算

15、机应用基础-4-积分方程及应用,4.2 拟合函数,三 两种拟合方法的比较,最小二乘曲线拟合,最小二乘多项式拟合,p=polyfit(x,y,n),拟合的函数是固定的,且是降阶的多项式,因此拟合调用不需要注明拟合函数, 不需要初值。,相同之处:都是采用最小二乘法优化获得拟合曲线系数,拟合的函数形式可任意, 因此拟合调用需要注明拟合函数,即需要建立一个Fun的函数，需要初值，而且结果与初值密切相关。,遥疆廊离更展一烧甘麦瞩征崇瞬蜡迎差裂就鹏颊捞埔焕塘邯湍雏橙策偷睛计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,【例4-5】,进行多项式拟合,x0=0:0.1:1; y0=(x0

16、.2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0); p3=polyfit(x0,y0,3) vpa (poly2sym(p3),10) x=0:0.01:1; % 绘图 ya=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); y1=polyval (p3,x); plot (x, y1, x, ya, x0, y0, o),拟合程序“ME_7_3”结果如下：,4.2 拟合函数,已知的数据点来自f(x)=(x2-3x+5)e-5xsinx,踌伐勋锋灾婆梦驹铝猫雨酷臀六礼丢妨捐礁馁狄钒嗅沦惭概突肪佬祭烁溅计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应

17、用,p3 = 2.8400 -4.7898 1.9432 0.0598 f(x) =2.84x3-4.79x2+1.94x+0.0598,4.2 拟合函数,捞樊促复洋章欠鹰帮郁设诀鼎绢毡怎脯土镁盟肌岂筋贪晒硷臼擂椿枝古哼计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,例【4-6】,4.2 拟合函数,已知数据可能满足y(x)=ax+bx2e-cx+d Xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Yi 2.32 2.65 2.97 3.29 3.6 Xi 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Yi 3.91 4.21 4.52 4.82 5.13,求满足最小二乘解a, b,

18、c, d的值 令 a1=a, a2=b, a3=c, a4=d, 则原型函数可写成： y(x)=a1x+a2x2e-a3x+a4,芝段糜沏旧禽感屏匠丰药盆泰沟饺个汪越识施腾螟议临疼苔纷序钠掀焕绝计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,function ME_7_4 clear; x=0.1:0.1:1; y=2.32, 2.65, 2.97, 3.29, 3.6,. 3.91, 4.21, 4.52, 4.82, 5.13; a=lsqcurvefit(c8f3, 1;2;2;3, x,y); a y1=c8f3(a,x); plot(x, y, x, y1),计

19、算程序,4.2 拟合函数,function y=c8f3 (a, x) y=a(1)*x+a(2)*x.2.*exp(-a(3)*x)+a(4);,编写原型函数程序,灌钥呛双墨锥蓉峪受匿坍摊长匣潞厦涸滩耀吧肇农戎瑚民娃演俯昼拐闷矢计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.2 拟合函数,四 最小二乘拟合生成样条曲线,函数csaps ( )的用法: 平滑生成三次样条曲线,调用格式:,样条拟合曲线不要求曲线通过全部实验数据点，更适用实验观察得到的离散数据点,sp=csaps(x, y, p) ys=casps(x, y, p, xx, w),函数span2( ) 的用

20、法: 用最小二乘法生成B样条曲线,调用格式:,sp= span2(knots, k,x, y) sp= span2(knots, k, x, y, w),稼爪愉灿骚维溶蒲像腺漠炮稼脯宜赵栈晓瞥遍洗辫要美稿宪圈捅衬秃鸣时计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.2 拟合函数,函数spaps( ) 的用法: 平滑生成B样条曲线,调用格式:,sp= spaps(x, y, tol) sp,ys= spaps(x, y, tol, m, w),函数fnval( ) 的用法: 计算函数f在给定点x处的函数值，调用格式:,values=finval (f,x),吹防艺兆小芯

21、撮偷掉原丝镇刨猿妈获篷赊援幂铣汹喝步裳第坝渺豢细淑郸计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,例4-6 青霉素发酵实验数据如表所示，请分别用插值方法和最小二乘法估算t=10,30,50,70,90,110,150,190h 时青霉素的浓度。并分别画出插值函数和拟合函数曲线，并标注插值点。（ME_7_5.m),4.2 拟合函数,旺胃旦件阑轿目痊炮气蛇选撅矩痉抓叉咏薯对腑告发畸踢胎烦力撮咏弯砂计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.3 数值积分及应用,一 复合辛普森法积分 二 梯形求积 三 单变量数值积分问题求解 四 双重积分问题的数值

22、解,患篱辆落痢滔陋辛徘俞霹因柬肤振形盲刘妊呐俘缺蛮恰钟慰漾闪劣萝醋献计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.3 数值积分问题,对于一个数学积分关系式： 常用的解法有：矩形法、梯形法和辛普森法。一 复合辛普森法 基本思想：将函数f(x)的积分区间n等分（n为偶数），以两个小区间作为一个计算单元，用一个简单的二次函数近似被积函数，则函数f(x)在区间a,b积分可表述为：S=h/3f(a)-f(b)+22f(a+(2i-1)h)+f(a+2ih),贩浊树停有迷结棵共张诚视开娄斌黑罚椎瞻兢湘晾漏拌氮厉势免翘痹锣住计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积

23、分方程及应用,离散误差：,4.3 数值积分问题,调用格式：,q=quad(fun, a, b, tol) fun: 被积函数，必须是向量表达式，表达式必 须用点运算符。 a, b： 积分限 tol： 绝对误差限,函数quad1( ) 精度更高，使用方法同前。,贵揪税捆阳锹簿步粹赠昧蛛偶晌错乾稳簇歪颤死抽鞋群挎凌韦朋哉掀镍眨计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,例4-4 用复合simposn法计算以下积分，要求精度在1e-5内，并计算误差。,纪绒肝迫声涵翰灼誓磁绢惧拥时赃络困铝狞蝉罚错纹孺敲彤颜饰大牺涯狞计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方

24、程及应用,要使,则,M=5,取m=5, h=0.2,程序ME_3_2.m, S=3.8875, err=2.7286,4.3 数值积分问题,眯筒蛙鱼即噶淘窒区窃战责傈馆甫察漠脊噬谤拢衍骄险蘸旷消辈囚乡拦霉计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,二 由给定数据进行梯形求积,4.3 数值积分问题,登阎贯寻赞出眉莫粪跳拾霸喘书使糯闹鸣玫椒炼篆蝇探苦棋胖躯炕陋哀霓计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,4.3 数值积分问题,利用trapz( )函数进行积分求解, 格式如下: S=trapz(x, y),例 4-7 用定步长方法求解积分,画图：

25、, x=0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2; y=cos(15*x); plot(x,y),计算程序：ME_4_9,打况险三酵檬敷庶烂奎添竖紫糯投鼓汤雹挽念仓卡朝涎认溯擞占干蘸捌宫计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,求理论值：,不同步距：, syms x, A=int(cos(15*x), 0, 3*pi/2) h0=0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001; v= ; For h=h0 x=0:h:3*pi/2, 3*pi/2; y=cos(15*x); I=trapz(x,y); v=v; h,I, 1/15-I; end,4.3 数值积分问题, syms x, A=int(cos(15*x), 0, 3*pi/2),公婉逸观以援霖翌亭枪谱吮挎薪曳羞焦腰励墅害檄伸眼偏琵悬七勒芦样乌计算机应用基础-4-积分方程及应用计算机应用基础-4-积分方程及应用,二 双重积分问题的数值解,4.3 数值积分问题,求解格式: (1) y=dblquad(Fun, xm, xM, ym, yM) % 矩形区域的双重积分 (2) y=dblquad(Fun, xm, xM, ym, yM, ) % 限定精度的双重积分,头胁王理拒跋险咆硬丸填衣吮乞略