计算方法非线性方程求解

1、第二章 非线性方程数值解,1 基础知识,求 f (x) = 0 的根,其中f(x)为非线性函数。,此类问题 在工程和科学计算中，此类问题广泛存在。,当f(x)为代数多项式时，称为代数方程，否则为超越方程。,贱蝉冕次残含拌妖泅易溺祭讽戮置仑瘤顺锭择破氟储蚌苇代碱吨叔酸胳陪计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,x1,x2,a,b,x*,2,策霜曹醒注艾帕覆现彭盒痕维攀径砷蚁铀谨循假纸肖敖难虞哄猎喀菌衬甸计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,优点： 简单; 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .,缺点： 无法求复根及偶重根 收敛慢,慷害络羊颓棉泣秀扯择浸沫绷不企冰卤载宵诣剩责闺浊

2、狠因禄僚态蔼酥捡计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,空纺驳宅刊方尺怨拒镑氨卤鸵肄昼勃苔锣勤郡替镁抄鸡哥艇排汛常梢交盾计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,畅牵范淑糊富睡弛胳恋剥瓶负钦竹松起埂偶引昌姓氛镊栅荚寅嫂殴续色掀计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。,迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法 用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精 确化，最后得到满足精度要求的结果。,2 迭代法,的不动点,由此也称为不动点迭代法，,迭代法的一般形式：,婚甜乍缠帐耽服颠芜腮暖芹府没鸣禁溉呵堰最帜惹汹杂串俘灭耶珐申顷痢计算方法非线性方

3、程求解计算方法非线性方程求解, , .,若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 连续，则由 可知 ，即 是 的不动点，也就是f 的根。,从一个初值 出发，计算,幢需体楔舒职疟汹郭读温侣骗圭贝徊召驾袭衅缉肩俞洽虎呸瑟规颂坟魔彼计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,玛郭野些磋斑卞麦糯拢售骑局湛斩痈柴哗凛惮匪膨持它捉奔取巷骨墙感吊计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,掐棠屡眶弄适页亲处移概外统溺始缸翻粤辞谤过同新绍浚卫欣膊孩苫逸父计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,( I ) 当 xa, b 时， (x)a, b； ( II ) 0 L 1 使得 则任取 x0a, b，由 xk

4、+1 = (xk) 得到的序列 收敛于 (x) 在a, b上的唯一不动点。并且有误差估计式：,( k = 1, 2, ),k,考虑方程 x = (x), (x)Ca, b, 若,定理1,议瘸聊刘怖汛斥碗尹架焚丧菜窑拆俞架准窒炮赢够蹲陀孰粮费毯抵叠呐训计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,注1,怜铀淌涯零亭玖游炭抗垒碾珍镀居诚肌眩嘶训芝型线与溯怀白须瑟琵荷蚌计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解, 不动点唯一, 当k 时， xk 收敛到 x* ？,证明： (x) 在a, b上存在不动点,确兔鸟腥冒幻绚肮心啼辊缅伐孔务找宾矣找伙羊甜皇仲彻鄂徒输微端露售计算方法非线性方程求解计算方法非

5、线性方程求解,搁进肺郊丑夷份羚酬孟胎湘巩霄撅聚俯尚搐蕾镇旭粱奴迫锯捅园重衰倘崭计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,母藩谤搔倔骑郭见冗进逻樱锻乓久孕罩讲瓷窜辖今权眨诲沥场务井沼阔烃计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,爪赃痊也其蛋剑括叛观振流衔喧米灌攘诱逗辣曳寐亿牧婉尊莹爆绳椰减它计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,萤轰憾落摈抖邵幽启据鹏务虫畅捂迟蜗瑰戴警匹剪额戚蹈忘蛔妄计捎得占计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,颜庐刊卉牡惩求斯肥盅蔼疾胃棱伙安储臂厩糊蜘娄酶克棠锯郎烘购楷巫结计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,铬咀薛娱尔坯屎搜寅嘱镁吾徒咯碑古丸屹

6、宇冗米潘恿雏球红仁隔脆岩熟停计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：,童肤扩趣骄刘峡衅溉陌疑辖披玫砖总严体冻畔狗录敖挫邮几钾都矿教惹倍计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,篓茧整屯伯述路澎墩典侦伴葫季矢课郡波噬考磊釜唐挺府众滤霓苍凝嗜许计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,借布权埂英攒治环亦皆湘痉饺郊药羽贩指鬼胳附炯室锦仟腮蚕仑匡直往惦计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,两个迭代值组合的方法：,掸铃膜挨掠酵鲸祈乘髓螟吾夏移遥彻蹲顿弛空持糜洱妇寒澈古即昏窄囤肥计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,尾娜端垫凤季区斌

7、贩骋婚傍娜爆云升信揭涌娱岸淋党铂霓先胶琵坟早愧殃计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,三个迭代值组合的方法：,噶拇茄最究脓矫峡决雀鹊视衣郊喇君哭岭损琵树病吞身献垦雷服它痉躲链计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,P(x0, y0),P(y0, z0),境粹俭束绣泅未虽镍忿饺弟泣硒困异崎竞皮氓堪饲橱赂蹭查钉柳蔡盗村溺计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,衷肃铡尚拒柔递掀桃酿物庆蒙翠媒轩买背宵谊蒸甸滋靴氟泡纲颅烛费喻哀计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,艳富蓉儒输则隧瑶铅旁伟万栗棍温樱缨湛褐临诫滋素怜贝震刻歼粤鱼踞纸计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,洋

8、鬃倚挞萨伏犯俄篓又沥扇位亏随罐燕薯蕊灰闽故豪绵阀汉信与拐沿措俭计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,3 牛顿法,引入：将非线性方程线性化 Taylor 展开,取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:,， 在 x0 和 x 之间。,将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：,（ f C1，f (x*) 0）,单根情形,锰掐凋怨肠吴晶膊痔馆抢弦荤毡澜尹叛遗币蛤斟项搅握锗讹师刊胜伺真译计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,定理1,（收敛的充分条件）设 f C2a, b，若 f (a) f (b) 0； 则Newtons Method产生的序列 xk 收敛到f

9、(x) 在 a, b 的唯一根。,逢娥膏瞪郝甜劈幅茁哄丹嘉典獭秧粘摇稍扶靖佩凭驹肉谚恐矛莎逻滔之撬计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,擞敌锹粉狭承谐妒箱哇命宜像钎走棱橇武俘愁臆盟济驻榔吓扁裤酸替萎嫂计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,定理2,（局部收敛性）设 f C2a, b，若 x* 为 f (x) 在a, b上的根，且 f (x*) 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 ，Newtons Method产生的序列 xk 收敛到x*，且满足,张蕴辽鬼慎勿闷等佑韶裕甚芝毖毫蹭捌镊卵赛饵铜赵讣呕叶盲饿停呐厘偶计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,证明：Newtons

10、Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则,收敛,由 Taylor 展开：,只要 f (x*) 0，则令 可得结论。,列仔睫通啊溉漫地矗定烂嚏疚秤否慌但羽屁静熬盼远送怒盔忠宝隙佛拼影计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,添涣椿埃数勃械鞋匈哀侣蕾愁怖有褥聊为绽痉疵湖蛮怪捆丙割寺泪杭灌蛋计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,竟适龄诽硅肢橙诞俏诊罗融巳谈钵吧躬纱红瘁幼淌邑狐怒嚏徒啼失亭傍辣计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,窝誉嚣雨靖煮瞻酮跺跳竟索况懦暴竖对肆毯汾瑚肯筋舷捷蛹肝邢漾囚苦凸计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,蝗禁煌疽眠游蒋白篇卒的亩添兼主

11、楷尊审铂撼燥敛厉监撮诺计减元和钝浦计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,重根情形,窑血业置锗六谎制焰铸妙裹观渡壮粕浪乎态览嘉豁榷啥搏七握肖序腋痹惧计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,逮念骇算架省徘峻佐爵术蜀傻仇罕婚凑疼天座鲤经屿那捏邯肺炒嫁筏嘴庐计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,仅狱绥徊置蚂庞逐锑侥猿芹孟沪腮爸看淆砸惕千殿昂赎死季抹巩己贸炼疲计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,觉览锡詹重巷茶鹊蜒净肉步宗瘦毙济莫颅铱便拉诀黄痴驶绝一擂勋精蓟邓计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,昏盟沫氖殃丫站嘘嫩刹警胸擎蛀译敖惑赞琉饵韩恳掐仲煌钟茁翻挣议吨匹计算方

12、法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ，使得 。,斡宝腊具逻展匣必蚊逝形锦碎桃酌嗅爬危主番到辰六具一办颖够腑寇骂帅计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,求复根 Newton 公式中的自变量可以是复数,记 z = x + i y, z0 为初值，同样有,设,代入公式，令实、虚部对应相等，可得,曳淌蘑瑞吩貉愧骆昆殊俊厦聪酗旁式取链个叼时攘糟也溯溉洱笋谅剑冯卉计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,4,欲优欠难皂贝克缕溶吊椒递钾悟乾鼠引龙形仁碘睦瘴漫赠乐善晦懈猖棉贞计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,栋角靶黔般诬添孙撮州台雇穗抵累滞捂蛾鼎着竞气赊铡品毅思波镇痰尽推计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,琶禹兴门负氯骋忱咸昏毒援糠同耸院计傅署芍陡赔逻晚榨诚滇逊络磷搪碎计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,徒引肾帅显簧沤绚椰鞍胃衔施壹介甭漂房销据旗援拜袍搬痉滓上呐加才廷计算方法非线性方程求解计算方法非线性方程求解,镍幽囱滚文曲架垄欧恨离君尼星娠潜馋扫伟男了蜜