第十七章 在无界区域上定义的函数_第1页
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1、第十七章 在无界区域上定义的函数,第十七章 在无界区域上定义的函数,1.无界集的测度,知行1301,第十七章 在无界区域上定义的函数,第十七章 在无界区域上定义的函数,有界集的测度,第十七章 在无界区域上定义的函数,定义1:区间(a,b)的测度，就是它的长b-a，记为 m(a,b)=b-a 显然总有 m(a,b)0 定义2:设G是不空的有界开集，则其一切构成区间之长的和称为G的测度。即 mG=mk,有界开集的测度,第十七章 在无界区域上定义的函数,定义3:设F是一不空的有界闭集，S=A,B是包含F的最小闭区间，则定义F的测度 mF=B-A-mCBF,有界闭集的测度,第十七章 在无界区域上定义的

2、函数,定义4:有界集E的内测度m*E是一切可能含在E中的闭集的测度的上确界，即 m*E=supmF,内测度,第十七章 在无界区域上定义的函数,定义5:有界集E的外测度m*E是一切可能包含E的有界开集的测度的上确界，即 m*E=infmG,外测度,第十七章 在无界区域上定义的函数,定义6:如果有界集E的外测度和内测度相等，则称E是一个可测集。这时E的外测度和内测度的数值就称作E的测度，记为mE： mE=m*E=m*E 特别的，对于一切有界开集和有界闭集，其外测度和内测度均相等 mF=m*F=m*F mG=m*G=m*G 即，一切有界开集和有界闭集都是可测集,可测集,第十七章 在无界区域上定义的函

3、数,设S=(a,b)是基本集(有界)，E,EiS(i=1,2.)均为有界可测集，则有CSE=S-E,E1E2,E1E2,E1-E2,和Ei,Ei均可测，且 1)mE0,且E=时，mE=0 (非负性) 2)若E1E2，则mE1mE2 (单调性) m(E2-E1)=mE2-mE1 3)m(Ei)mEi (不完全可加性) 4)若EiEj=(ij,i,j=1,2,3.)，则 m(Ei)=mEi (完全可加性),可测集的性质,第十七章 在无界区域上定义的函数,无界集的测度,设集E含在(-,+)中，如果对于任意的自然数n，集 E(n)=-n,nE 为可测，则称E是可测集。 极限 称为这个集的测度。 注：对于无界集，上述性质(非负性，单调性，不完全可加性，完全可加性)同样成立。 定理:设 为可测集而E为其交集。如果 ，则,第十七章 在无界区域上定义的函数,无界集完全可加性的证明,即证： （1） 设E1，E2，E3.是两两不相交的可测集又 那么 从而 及 （2）,第十七章 在无界区域上定义的函数,无界集完全可加性的证明,下证： 由（1）式推得，对于所有有限的N有： 令n，得 再令N，得 从而由（2）式得到,第十七章 在无界区域上

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