§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程.ppt

1、7.3离散时间系统的数学模型差分方程，1，线性，时间不变离散系统2，差分方程3，离散时间系统模拟，返回，1，线性，时间不变离散系统，(1)线性系统，(2)时间不变系统，(3)因果系统即y(n)=Tx(n)，运算关系(a)线性系统，具有统一(齐次)性的嵌套系统称为线性系统。返回，(C1，C2为任意常数时)，例如，(2)无时间更改系统，整个序列向右移动n位，返回，Tx(n)=y(n)，Tx(n-)称为时变系统。(3)因果系统、返回、系统的输出y(n)取决于此时间和此时间之前的输入(x(n)、x(n-1)、x(n-2)。称为因果系统。y(n)取决于x(n 1)，x(n 2):系统的输出取决于将来的输

2、入，这在时间上不是因果关系，因此是郑智薰因果关系。因果系统的先决条件：h(n) 0，n0，h(n)为单位冲量响应。(4)产生稳定系统、后退、有限输入、有限输出的系统称为稳定系统。稳定系统的先决条件：单位冲激响应绝对可以相加。注：这只是系统稳定性的必要条件，不是足够的条件。第二，差分方程，返回，在连续时间系统中，系统内的数学运算关系可以归结为微分(积分)，乘法系数，加法关系，即微分方程。(a)数学模型的基本单位(2)差分方程(3)差分方程(4)差分方程的建立(5)差分方程的特性，离散时间系统中的基本运算关系是延迟(移位)、乘法系数、加法关系，即差分方程。这是因为系统的组成和处理的信号的特性不同，

3、说明系统的数学手段也不同。(a)数学模型的基本单位，返回，延迟，标量乘，或t、d、x2(n)=a时的标量乘，加法器：乘：(2)差，正向差Dx(n)为Dx中心差值dx(n)定义为：dx(n)=x(n h/2)-x(n- h/2)，在样式中，h(h0)为步长，常规步长h=1。1 .序列x(n)的正向差，Dx(n)=x(n 1)-x(n) (1阶差)，d2x(n)=dx (n 1)-dx (n)序列x(n)的后向差异，D3x(n)=x(n 3)-3x(n 2)3x(n 1)-x(n)(3阶差异)，(k阶差异)，3x返回常规序列的差值(向后)。U (n)=u (n)-u (n-1)=d (n)，n=n

4、-(n-1)=1，n2=N2-(n-1)差异的反向运算总和，一般序列的总和，(3)差异方程式，A0 (n) y(n) a1 (n) y (n-1).an(n)y(n-n)=B0(n)x(n)B1(n)x(n-1).BM (n) x (n-m)，1。一般差分方程式，表示式F(n，y(n)，y(n)，ky(n)=0或q (n，y (n-1)，y (n-k)，2 .线性差分方程。其中ai(n)、bj(n)、x(k)、i=0，1、N；J=0，1，M；如果K=n-M，n .返回，1)，则表达式为n阶差分方程。2)当ai(n)、bj(n)为常数(与n无关)时，方程式或所述系统保持不变。3)如果bj(n)=

5、0，j=0，1，M，则方程式为同差方程式。A0 (n) y (n) a1 (n-1).an(n)y(n-n)=B0(n)x(n)B1(n)x(n-1).BM (n) x (n-m)对应于微分方程的分类，差分方程可分为线性对非线性、常数系数对参数系数等。一般来说，线性，时间不变离散时间系统应描述为常数系数线性差分方程。这也是本课程中要讨论的内容。，(d)差分方程的建立，差分方程是处理离散变量函数关系的数学工具，应用于许多科学领域，方程的建立和变量的选择取决于具体问题，方法各不相同。以下是一些常用方法：返回，1在系统块列中构建差分方程。2微分方程是从微分方程导出的。3通过实际问题直接得到差分方程。

6、1由系统方块图中的栏建立差异方程式。解决方案：第一反向差分方程，第一正向差分方程，示例7-3-1方框图，构建差分方程，返回，y(n 1)，y(n-1)，2通过微分方程导出差分方程。如果时间间隔为：t，则为Y(t):输出，x(t):输入，对于以上微分方程：前面的差分格式为：t=从nT点获取样例值：n是序号、当前输出、前一输出、输入、返回，注意：差分方程的近似值间距t足够小，t越小，近似值越好。实际上，使用计算器解微分方程时，是在这个原理的基础上完成的。3差分方程是由实际问题直接得到的。范例7-3-2 y(n)为第N年国家的人口数a(常数):出生率b(常数):死亡率x(n)为外国移民的净增数，N第

7、1年国家的人口总数y (n 1)=y (n)写出第n个节点电压v(n)的差分方程。解决方案：解决方案：1)这不难用KCL以任意节点n-1的逆序形式编写，如下图所示。您可以使用v(n)-3v(n-1) v(n-2)=0，边界电压条件v(0)=E，v(n)=0来取得v(N)。2)增加任意节点n 1的顺序，如下图所示：使用KCL编写不难。使用v(n 2)-3v(n 1) v(n)=0，边界电压条件v(0)=E，v(n)=0获取v(n)。我们可以看到这两者在本质上是相同的。差分方程不管采用什么形式，都可以徐璐轻松转换。例7-3-4，假设每对兔子一个月可以生一对孩子，新生兔子一个月可以生一次，第一次的话

8、，寻找月亮上一对新生兔子，第n对月亮兔子的数量。光明：根据y(n)，第n对月亮兔子的数量=第n-1对月亮兔子的数量=第n对月亮兔子的数量，第n对月亮兔子的n对月亮兔子的数量应该等于n-2个月兔子的数量。y(n)=y(n-1) y(n-2)，已知y(0)=0，y(1)=1，y(2)=1，可以推断示例7-3-5，乒乓球在h米的高度自由下落到地面。每次求解：y(n)表示第n次跳跃的最高值，每个反弹的最高值是前一个最高值的三分之二。问题：最高反弹值是前一最高值的三分之二。如果用y(n)表示第n次跳跃的最高值，请写一个描述这个过程的差分方程。示例：7-3-6，如果在第n个月初存入银行，则使用x(n)元，

9、月利息为a，每月不除去利息，使用差分方程创建n月初的本息和y(n)。解决方案：n月初本李和总构成：本月存款，上个月余额，上个月利息三部分。即，返回(5)差分方程的特性，1，输出序列中的第n个值不仅与同一时刻的输入示例值相关，而且与每个输出值必须连续保持的以前的输出值相关。2，差分方程的阶：在差分方程中，变量的最高和最低阶是阶。如果系统的第n个输出由几个以前的输入值和输入值确定，则说明这一点的差分方程是几个顺序。反向顺序：或(顺序A0=1):y(n)a1 y(n-1)a2 y(n-2)an y(n-n)=B0 x(n)B0，3，微分方程可以用差分方程近似，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，

10、两者有很多相似之处。返回，附加：或(n=1):y(n)an-1y(n-1)A0 y(n)=BM x(n m)BM-1 x(n m)，除了加法机、标量乘法器和乘法器用于模拟连续时间系统的相同外，模拟离散时间系统的计算单元中的核心单元是扩展器。延迟器是在时间上充当反向序列的设备，它将输入信号延迟到时间间隔(t)。延迟器是基于内存的系统，存储输入数据，并在时间间隔t结束后从输出中释放。延迟器用于离散时间系统，与用于模拟连续时间系统的积分器相对应。仿真方法类似于连续系统。例如：描述n阶离散时间系统的差分方程(顺序增加)为：y(n)an-1y(n-1)A0 y(n)=BM x(n m)BM-1 x(n

11、m-1)B0 x(n)，n次分散式时间系统的模拟图是第n次连续时间系统的模拟图唯一的不同是，使用延长器代替后一个乘积分数器。(n)n(n)n-1 q(n-1)a0q(n)=x(n)y(n)=bmq(n m)BM-1 q(n m-)为此，引入了辅助函数q(n)，如连续时间系统的模拟。显示的模拟方块图假设N=M。延迟器描述t，E-1，相等，顺序模拟块，n阶离散时间系统的差分方程(减法顺序)为y (n) a1 y (n-1) a2 y (n-2) an y (n-n)辅助函数s(n)。创建：s(N)a1 s(N-1)a2 s(N-2)an s(N-N)=x(N)y(N)=b0s(N)bs最简单的示例是在没有功耗的容器中使用此电压e(t)时，响应电流为：其中N=0，M=1，对于离散时间系统，否则在差分方程中不能存在M N。例如，建立简