第2讲多元函数的极限连续

1、, 多元微积分学,大 学 数 学（三）,脚本编写：彭亚新,课件制作：彭亚新,第二讲 多元函数的极限、连续性,主讲教师：彭亚新,第一章 多元函数微分学,第二节 多元函数的极限与连续性,正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念。 了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系。 掌握极限的运算法则。 正确理解多元函数连续性的概念。 掌握多元连续函数的运算法则。 掌握有界闭区域上连续函数的性质。,本节教学要求：, 重极限, 累次极限, 连续性, 极限的运算法则,本节关键概念和理论, 有界闭区域上连续函数的性质,第二节 多元函数的极限与连续性,一. 多元函数的极限及极限的运算,二. 多元函数的连续性,三.

2、 多元函数的间断点,1. 回忆与推广,一、多元函数的极限及其运算,2.二元函数极限的定义,3.多元函数极限的性质、定理,4. 累次极限,形式上,1.回忆与推广,x0,x,y,(,),.,.,(,),a,.,x,O,.,.,x0,x,y,(,),.,.,(,),a,.,x,O,.,.,x0,x,y,(,),.,.,(,),a,.,x,O,.,.,回忆一元函数极限的概念,现在进行形式上的推广,回忆一元函数极限的概念,现在进行形式上的推广,进行整理,我们完成了极限概念的推广工作.,时的极限(二重极限), 记为,2.二元函数极限的定义,几点注意,多元函数的极限如果存在, 则必唯一.,3.多元函数极限的

3、性质、定理,例(夹逼定理),由于,怎么办?,怎么办?,而,故由夹逼定理, 得,解,例(无穷小性质),又,(有界量),(无穷小量),由于,解,例(有理化),解,例(等价无穷小),解,似曾相识,例(重要极限),解,例(极限不存在),解,故原极限不存在.,该例还说明一个问题,对此你有什么想法 ?,多元函数的极限不存在.,“无穷多个方向”不等于“任意方向”.,可利用方向性来判别,累次极限是指的下列极限,一般说来, 这两个极限不一定相等.,在高等数学中, 运算顺序不能随便交换.,4. 累次极限,若两个累次极限存在, 但不相等：,定理,例,由于两个累次极限不相等, 故,解,例,二重极限存在不一定能推出累次

4、极限存在.,但,二.多元函数的连续性,1.二元函数连续性的定义,2.二元连续函数的运算,3.多元初等函数,4.有界闭区域上连续函数的性质,1.二元函数连续性的定义,数中讨论区间端点处连续性的情形.,与一元函数类似：,连续的多元函数的和、差、积、 商(分母不能为零)仍是连续函数；,可以参考以下两本书,连续的多元函数的复合函数仍连续.,在一定的条件下,2.二元连续函数的运算,1.分析中的反例 美 B.R.盖尔鲍姆, J. M. H. 奥姆斯特德, 上海科学出版社, 1980.,参考书：,2.高等数学是非300例分析 计幕然等, 北京航空学院出版社, 1985.,与一元函数类似,3.多元初等函数,一

5、元连续函数在闭区间上的性质, 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.,4.有界闭区域上连续函数的性质,性质1 (最大、最小值定理),性质2(介值定理),从定理可看出：,若取,由连续性,该定理实际上是介值定理的推论.,性质3(根存在定理),通常说：,三.多元函数的间断点,寻找间断点的方法,与一元函数的情况类似,函数无定义的点;,极限存在但不等于函数,例如：,极限不存在的点;,在该点的函数值的点等等.,例,由分母不能为零,的一切点均为函,数的间断点.,解,多元函数间断点,多元函数的间断点可以构成,直线、曲线、曲面等, 也可以是,某些点的集合.,情形比较复杂,例,由分母不能为零,解,例,由三角函数知