协方差和相关系数

1、1,一、协方差 二、相关系数,4.3 协方差和相关系数,2,对于随机变量(X,Y)而言: E(X)、E(Y)反映分量X、Y各自的 平均值 D(X)、D(Y)反映分量X、Y各自的 平均偏离程度,并未反映X、Y之间的相互关系,3,定义:,一、协方差,称EXE(X)YE(Y)为X与Y 的 协方差,记为Cov(X,Y) ,即,Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),4,若X取值比较大(XE(X),Y也较大 (YE(Y),若X取值比较小(XE(X),Y也较小 (YE(Y),若X取值较小,Y取值较大或若X取 值较大,Y取值较小,这时Cov(X,Y)0,这时Cov(X,Y)0,则Cov(X,Y)0,协方差

2、可了解两个变量之间变化 的关系(变化趋势在平均意义上而言):,5,正的协方差表示两个随机变量倾 向于同时取较大值或同时取较小值,负 的协方差反映两个随机变量有相反方 向变化的趋势,6,Cov(X,Y),连续型随机变量的协方差:,Cov(X,Y),离散型随机变量的协方差:,7,协方差的性质:,1. Cov(X,X)=D(X); Cov(Y,Y)=D(Y),2. Cov(X,Y)=Cov(Y,X),3. Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y) 其中a1,a2,b1,b2为常数,4. Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),8,5. Cov(X, Y

3、)=E(XY)E(X)E(Y),若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0,还可推得:,D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),6. Cov(X, Y)2D(X)D(Y),9,二、相关系数,定义:,若D(X)0,D(Y)0,则称,为X,Y的相关系数或标准协方差,记为 XY ,即,10,关于XY的符号: 当 XY 0时,称X与Y为正相关. 当 XY 0时,称X与Y为负相关. 相关系数和协方差具有相同的符号,因此,前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里. 即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势. 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.,11,相关系数的性质：,证: 由方

4、差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有,0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ),D(Y- bX)=,12,当且仅当X与Y之间有线性关系时, 等号成立,即 |=1a,b,使PY=aX+b=1,说明: XY刻划X,Y之间的线性相关程度,|XY|1,则X,Y越接近线性关系,|XY|=1,则X,Y存在线性关系,当XY=0时,称X与Y不相关,则X,Y没 有线性关系,13,2. X和Y独立时， =0，但其逆不真.,由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.,请看下例.,14,证明:,例 1,设(X,Y)服从单位圆域x2+y21 上的均匀分布,证明: XY =0。,15, Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,同样得E(Y)=0,可易得 Var(X)0, Var(Y)0.,XY =0, 故 X与Y不相关.,但是在第三章计算过:X和Y不相互独立.,16,例2 设(X,Y)的概率密度为,求Cov(X,Y)、XY,解:,同理,得:,17,有: Cov(X, Y)=E(XY)E(X)E(Y),D(X)=E(X2)E2(X),同理,得:,18,有:,19,但对下述情形