数学逆向教学设计的探讨

1、数学逆向教学设计的探讨【关键词】数学逆向教学设计【中图分类号】G【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2012）09B-0029-02一、什么是数学逆向教学设计数学课程的显著特点在于其内容的连贯性和逻辑性。因此，学生的基础对学好数学至关重要，教学实际也清楚地表明了这一点。在数学教学中，如何通过加强学生的基础来使他们获得必要的数学知识，从而提高他们分析问题和解决问题的能力呢？为了解决这个问题，我们首先考察常规的教学步骤。常规的教学步骤是：第一步，复习引入；第二步，讲授新课；第三步，课堂小结；第四步，布置作业。在这四个教学步骤中，第二步是重点，是实现当节课教学目标的主要环节，而第一步是使

2、第二步能顺利展开的基础。因此，设计好第一步尤其重要。那么，第一步复习引入中问题的设计依据是什么呢？显然，主要依据第二步讲授新课的需要。这就是我们所要探讨的数学逆向教学设计。良好的开端等于成功的一半。要把第一步设计好，必须认真地钻研第二步的内容，把第二步中涉及的旧知识找出来，然后根据学生的具体情况，选择需要着重复习的旧知识，编制选择题、填空题、问答题、解答题等作为复习引入的问题。选择题包含较多的信息，要从四个选项中选出正确的项，容易激发学生对数学的兴趣。填空题也有较多的信息，由若干个条件项和填空（求答）项组成。其中的填空项的设计很重要，要选择那些与新课紧密相关的基础知识作为填空项。问答题应设计成

3、具有基础性和启发性的问题，这些问题要有利于复习旧知识，加强知识基础，同时对新课的学习有启发，便于引入新课。解答题综合性较强，涉及知识范围广，要求写出合理正确的解答过程，难度较大，可以全方位地训练学生的能力，一般用于课堂练习题。在引入复习时，也可以根据学生的具体情况适当使用。除设计复习问题外，在第一步复习引入中，教师还应通过创设问题情景，让学生明白为什么要学习新课，明确学习目的可以激发他们的学习积极性。二、数学逆向教学设计中的新授课教学逆向教学设计的教学重点是新课讲授，它是实现当节课教学目标的主要环节。“教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动的每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的

4、标准。”因此，对这一环节教学内容中包含的知识和能力因素及如何培养要有清楚的认识。下面从数学知识的形成、数学思维的特点、数学问题的解决等方面对这一环节教学的具体过程作进一步的剖析。数学知识主要包含数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法。数学概念一般在新课教学中会首先遇到。在教学中，教师要引导学生通过观察、分析、比较、抽象、概括等一系列思维活动找出事物的共同特征，并准确地给它们下定义，完成概念的形成。之后，选编一些选择题、填空题等，让学生对组成新概念的各个因素，特别是主要因素进行判断，用针对性的练习加深学生对新概念内涵与外延的理解。接着，通过新概念的运用，进一步加深对

5、它的认识，完成对新概念的理解。概念教学是否成功，在于教师引导学生形成概念的过程中，是否遵循概念教学的规律，创设问题情境，启发学生运用科学的手段（分析、比较、抽象、概括），找出事物的共同点。在数学概念的教学中，学生获得的不应只是数学知识，还有科学思维能力。因为概念的形成过程是在教师的引导下进行的观察、分析、比较、抽象、概括等思维活动的过程，这些思维活动是正确认识事物的基本方式。数学命题是由数学概念组成的，它是客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式的表达方式。数学中的法则、公式、性质、公理、定理、例题、习题都可以以数学命题的形式来呈现。探索未知，把未知转化为已知，是人类认识世界和改造世界的客观要

6、求在数学上的反映。数学教学是培养学生思维能力的活动，这种能力实际就是探索未知，把未知转化为已知的能力。数学命题的教学内容中在培养学生思维能力方面有十分丰富的材料，对此要有足够的重视。其中法则和公式的教学与性质、定理、例题、习题等的教学有些不同，因为法则和公式在命题形式上没有很明显的格式（如“如果那么”之类的格式）。法则是经过从特殊到一般、从具体到抽象的过程归纳总结得出的运算规则。这个过程有时要运用一些运算律（交换律、结合律、分配律）得出运算结果。运算法则本身是一种人为的规定，但是不能因为是人为的规定就可以随意而为。因此，在教学中要注意从实例中引出这些规定，让学生理解规定的合理性，进而在理解的基

7、础上进行记忆，并熟练运用这些规定进行运算。相对于初中，高中的数学运算法则比较少，主要应用在平面向量和复数的运算中。根据高中学生的年龄特点和知识水平，在法则教学中，要求学生对法则规定的合理性、运算结果的封闭性、与先前法则运算性质的一致性有较好的理解。数学公式是一些常用的、表示基本数量关系的等式。在公式教学中，一要让学生理解公式的推导过程，二要让学生会运用公式进行求值、化简、证明。公式的推导是从一些条件出发，通过分析、推理、运算，找到这些条件和结论之间的联系的过程。因此，公式教学可以训练学生的思维。公式的运用是在理解公式的基础上，以公式表示的数量关系为条件进行推算、推论。数学运算能力是学生能力要求

8、中的重要组成部分，是思维能力和运算技能的结合。而进行正确运算、等式变形和数据处理的依据是法则和公式。法则和公式的教学要加强算理和算法的运用，在运算中利用运算律和运算性质设计合理、简捷的运算途径，并进行充分的习题训练，以提高学生的运算技能。在数学命题的教学中，性质、定理、例题、习题的教学占有重要的地位。这部分内容所占比例较大，命题的表达形式比较固定，题设（已知）与结论（未知）分明。数学教学常通过问题解决来培养学生的逻辑思维能力。问题解决的实质就是通过一系列正确推理的步骤实现命题中已知与未知的“接通”，把未知转化为已知。解决问题的复杂程度要看已知到未知之间的“距离”有多远及已知和未知的联系有多隐蔽

9、。解决问题常运用演绎推理和合情推理。这两种推理有不同的数学思维过程和方式。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得出结论的推理过程。合情推理是在已有事实和正确结论（包括定义、公理、定理等）的基础上，根据实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结论的推理过程。上面所说的把已知与未知“接通”，实际上就是演绎推理。解决问题以演绎推理为主，合情推理为辅。分析法与综合法是“接通”时普遍采用的思维方法。分析法是从未知出发，寻找使未知成立所需要的若干条件，一直追寻到这些条件就是题目的已知条件。综合法是从已知条件出发，借助有关的性质和定理，经过逐步的逻辑推理

10、，最后达到待证结论或需求问题，其思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，与分析法是相反的。在教学实际中，有时用分析法，有时用综合法，还有时同时使用两种方法，两面“夹攻”，找到一个结合点，从而实现“接通”，使问题得到解决。其中，分析法运用得比较多，它可以比如为：在寻找使未知成立的过程中，学生的大脑是储存相关知识的“仓库”和供解决问题使用的“工具箱”，学生从中选择（通过归纳与类比等）使未知成立的最密切相关的“工具”。【例】如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，B1、B2分别是该椭圆的上、下顶点。证明：当点P与B1或B2重合时，F1PF2的值最大。解

11、本题时运用分析法。要使F1PF2的值最大（未知），需先求F1PF2的值，而要求F1PF2的值，需先求F1PF2的三角函数值（正弦或余弦等）。在求F1PF2的三角函数值的几种选择中，求F1PF2的余弦值是最好的，因为求F1PF2的余弦值要用到余弦定理，与题目的已知条件联系最紧密。由cosF1PF2=知道0F1PF2能否找到使未知成立的条件与学生的基础密切相关，而要解决学生的基础问题，需要运用逆向教学设计，即对讲授新课需要用到的旧知识先进行复习。在数学命题教学中，要使学生“知其然，更要知其所以然”，体现思维的深刻性、理解的完整性。具体做法是：第一，让学生明白是这样做（知其然）；第二，让学生进一步明

12、白为什么这样做（知其所以然）。分析法在这里可以发挥很好的作用。因为使用分析法可以促使学生自觉、地寻找命题的证明途径，并自觉地理解每一个步骤及其目的，从而促进学生逻辑思维的发展。在实际教学中，往往只重视“知其然”的教学，而对“知其所以然”的教学重视不够。这样容易导致学生只知道问题的结果，而不知道产生这个结果的原因，对问题的理解只停留在较浅的层面上，没有掌握解决问题的思想方法及如何将其迁移到新问题的解决中，分析问题和解决问题能力的提高受到影响。学生在教师的引导下对问题“知其然，更要知其所以然”，就实现了认识的飞跃。因此，分析法是发展学生理性思维的有效方法。三、数学逆向教学设计与“最近发展区”理论根

13、据维果茨基的“最近发展区”理论，学生的发展有两种水平：一种是已经达到的发展水平；另一种是学生可能达到的发展水平，表现为“学生还不能地完成任务，但在成人的帮助下，在集体活动中，通过模仿能够完成这些任务”。这两种水平之间的区域，就是最近发展区。把握最近发展区，并从最近发展区出发设计教学，能加速学生的发展。教学实践表明，最近发展区与学生的年龄、能力、知识水平等有紧密的联系，要通过对具体情况的具体分析来确定。教师对学生最近发展区的把握与研究，直接影响到教学效率的高低，影响学生的学习积极性，从而对学生能力的形成有着重要的影响。用最近发展区理论可以很好地解释数学逆向教学设计的合理性。在数学逆向教学设计中，第一步是复习与第二步的新课内容密切相关的旧知识、旧方法，夯实学生的基础，即学生“已经达到的发展水平”；第二步的讲授新课要求学生掌握的新知识、新方法，是学生“可能达到的发展水平”，是教学目标