上海高中数学辅导班 上海高中数学秋季辅导班

1、,双曲线的几何性质,一、知识再现 前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率. 我们来共同回顾一下椭圆 x2/a2+y2/b2=1(ab0) 几何性质的具体内容及其研究方法.,|x |a 、|y | b,x2/ a2 1 、y 2/ b2 1,中心对称，轴对称,-x代x、-y代y,A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b),分别令x=0，y=0,a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2,焦距与长轴长的比 e=c/a 0e1,如何得到的？,二、想一想？ 我们能否用研究椭圆的几何性质的方法来研究双曲线的几何性质呢？

2、,x2 /a2 1 、y 2/ b2 1,-x代x、-y代y,分别令x=0，y=0,x a 或 x -a,中心对称，轴对称,A1(-a,0 ) 、A2(a,0),a （实半轴长）c （半焦距长） b （虚半轴长） a2=c2-b2,焦距与实轴长的比 e=c/a e1,a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2,焦距与长轴长的比 e=c/a 0e1,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,x=a,x=-a,三、请思考？ 我们已经研究了焦点在x轴上的双曲线的几何性质，那么当焦点在y轴上的双曲线的几何性质又如何呢？,y a 或 y -a,中心对称，轴对称,A1(0,-

3、a ) , A2(0,a),A1(- a, 0) , A2(a, 0),a（实半轴长） c（半焦距长） b（虚半轴长） a2=c2-b2,a （实半轴长） c（半焦距长） b （虚半轴长） a2=c2-b2,焦距与实轴长的比 e=c/a e1,y,x,o,A2,A1,B1,B2,F1,F2,y,F2,A2,A1,B2,0,x,F1,x=a,x=-a,y=a,y=-a,B1,四、让我们来讨论 双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？讨论并给出答案.,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,五、让我们共同分析 例1、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标

4、、离心率.,分析： 化为标准方程： y2/16-x2/9=1,确定焦点位置：在y轴上,找出a、b的值：a=4,b=3,代入关系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4,写出结果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4.,六、练一练 求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标. (1)x2-4y2=16 (2) x2/49-y2/25=-1,解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5),请思考：如若求半焦距长和离心率呢？,小结：关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长，然后代入关系式c2=a2+b2

5、、e=c/a求半焦距c的长及离心率.,七、让我们继续研究,请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？,双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.,请思考：结论正确吗?,F2,y,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,（一）、我们共同来设计一个方案：,八、我们一起来证明,1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；,2、如何说明双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交呢？,M(x,y),Q,（2）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢？,0,x,y,b,a,L,N(x,Y),（3）如何证

6、明|MN|逐渐减小且不等于0呢？我们可用方程的思想解决： |MN|=Y- y，求出M、N点坐标即可.,为此我们过点M作一条直线L与y轴平行，交矩形对角线与N点，坐标记为N（ x ，Y）.我们需证明N点在M点上方，即证y Y.又|MQ| |MN| ，所只需证明|MN|逐渐减小且不等于0即可.,（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x, y ），过M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为Q点。我们只需说明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.,（二）、我们来证明,先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为,0,x,y,N(x,Y),Q,M(x,y),在该式子中x (xa)逐渐增

7、大时， |MN|逐渐减小且不等于0. 又|MQ| |MN|，所以|MQ|逐渐减小且不等于0.即双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在其它象限内，我们可类似证明.,y,N(x,Y),M(x,y),（三）、请注意：,1、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质；,2、我们把两条直线 y =bx /a 叫做双曲线的渐近线.,3、当焦点在x轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐 近线方程为y =bx /a ； 当焦点在y轴上时，方程为y2/a2- x2/b2=1(a0,b0)，渐近 线方程为y =ax /b .,九、动脑筋,1、

8、如何求双曲线的渐近线？ 例：求下列双曲线 的渐近线 （1） 9y2-16x2=144； （2） 9y2-16x2= -144 .,规律总结： （1）求矩形对角线所在的直线方程；,解答：（1）y=4x/3 ， （2）y=4x/3,0,y,b,a,（2）化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为0.,2、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系？,例：当渐近线方程为y=bx/a时，双曲线的标准方 程一定是x2/a2-y2/b2=1吗？为什么？,x,y=bx/a,y=-bx/a,3、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出双曲线的图形？,例：画出下列双曲线的图形 （1） 9y2-16x2=144； （2） x2 -y2= 4 .,注:实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线.,M,- 3,3,4,- 4,十、让我们来共同回顾 本节课我们共同学习了那些内容：,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,X=a,X=-a,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,X=a,X=-a,y,x,o,A2,A1,B1,B2,F1,F2,双曲线的渐近线,当焦点在x轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐 近线方程为y =bx /a ； 当焦点在y轴上时，方程为 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近 线方程为y =ax /b .,B1,A2,A1,B2