高中数学选修4-4 2.1曲线的参数方程.ppt

1、第二讲参数方程,一曲线的参数方程,1.参数方程的概念 (1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某 个变数t的函数 ,并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. (2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有几何意义或物理意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.,做一做1以下表示x轴的参数方程的是(),答案：D,2.圆的参数方程 (1)如果在时刻t,圆周上某点M转过的角度是,坐标是(x,y),

2、那么=t(为角速度).设|OM|=r,那么由三角函数的定义,有cos t= (t为参数).这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点做匀速圆周运动的时刻). (2)若取为参数,因为=t,于是圆心在原点O,半径为r的圆的参 数方程为 (为参数).其中参数的几何意义是OM0(M0为t=0时点M的位置)绕点O逆时针旋转到 OM 的位置时,OM0转过的角度.,3.参数方程与普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. (2)一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通

3、方程, 求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么 就是曲线的参数方程. (3)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.,做一做3(1)将参数方程 (为参数)化为普通方程是; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是.,解析：(1)由于sin2+cos2=1, 所以x+y=1,并且0 x1. (2)设t为参数,令x=t,则y=2t,答案：(1)x+y=1(0 x1),思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)参数方程是通过参数反映坐标变量x,y之间的间接联系. () (2)参数方程中的参数没有任何意义. (),探究一,探究二,探究三

4、,思维辨析,参数方程的概念 【例1】 已知曲线C的参数方程为 (t为参数). (1)点M(0,4)是否在曲线C上? (2)若点(a+2,4a)在曲线C上,求实数a的值. 分析：(1)通过参数t的值进行判断;(2)建立实数a的等式求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知某条曲线C的参数方程为 (其中t为参数,aR).点M(5,4)在该曲线上,求常数a.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,圆的参数方程及其应用 【例2】 导学号73760020圆的直径AB上有两点C,D,且|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点,求|PC|+|PD|的最

5、大值. 分析：先建立平面直角坐标系,将点P的坐标用圆的参数方程的形式表示出来,为参数,那么|PC|+|PD|就可以用只含有的式子来表示,再利用三角函数等相关知识计算出最大值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：以AB所在直线为x轴,以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系(如图),则点C(-1,0),D(1,0). 因为点P在圆上,所以可设点P的坐标为(5cos ,5sin ).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2如图所示,已知点Q是圆x2+y2=4上的动点,定点P(4,0),若点M满足 ,求点M的轨迹的参数方程.,解：设点M的坐标为(x,y),

6、xOQ=,则点Q的坐标为(2cos ,2sin ).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,参数方程与普通方程的互化 【例3】 (1)将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的曲线. (2)设x=2cos ,为参数,求曲线4x2+y2=16的参数方程. 分析：对于(1),只需消去参数,建立x,y的等式即可;对于(2),将x=2cos 代入曲线方程进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：(1)由已知得t= ,将其代入y=4t中,得4x+3y-4=0. 故所求的普通方程为4x+3y-4=0,它表示的是一条直线. 由y=-1+cos 2可得y=-2sin2,把sin2=x-2代入y=-2si

7、n2可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0.因为2x=2+sin23,所以所求的普通方程是2x+y-4=0(2x3),它表示的是一条线段.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视参数的取值范围致误,正解由于0t,则-1cos t1,0sin t1, 所以-3x5,-2y2,于是(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16.因此普通方程为(x-1)2+(y+2)2=16(-3x5,-2y2),它表示的曲线是以

8、(1,-2)为圆心,半径为4的上半圆.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练将方程 (t为参数)化为普通方程,并说明方程表示什么曲线.,1 2 3 4 5,1.当参数变化时,由点P(2cos ,3sin )所确定的曲线过点(),解析：令2cos =2,得cos =1,从而sin =0,即3sin =0,所以曲线过点(2,0). 答案：D,1 2 3 4 5,2.圆(x-1)2+y2=4上的点可以表示为() A.(-1+cos ,sin )(为参数) B.(1+sin ,cos )(为参数) C.(-1+2cos ,2sin )(为参数) D.(1+2cos ,2sin )(为参数),答案：D,1 2 3 4 5,3.将参数方程 (为参数)化为普通方程是() A.y=x-2B.y=x+2 C.y=x-2(2x3)D.y=x+2(0y1) 解析：由于0sin21,所以x=2+sin22,3,故普通方程为y=x-2(2x3). 答案：C,1 2 3 4 5,4.将参数方程 (为参数)化成普通方程为. 解析：因为 cos2+sin2=1, 所以x2+(y-1)2=1. 因为