高等数学BII复习题(附答案版)

1、高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 1页 共 20页 1 高等数学高等数学 BII 复习题（附答案）复习题（附答案） 考试时间：考场： 注：注：为重点题型，本复习题答案均为个人的拙见，可能存在 bug，仅供参考。 在原有复习题的基础上，添加了几道可能会考到的基础题，如有错误存在请与 发行人郭强联系，或自行纠正，祝考试愉快，禁止转载！ 重难点知识点汇总如下：重难点知识点汇总如下： 一、平面方程与直线方程 平面方程：0)()()( 000 zzCyyBxxA其中 （A,B,C） 为法向量， （ 00, 0 ,zyx） 为平面上一点。 直线方程： C zz B yy A xx 000 其中

2、（A,B,C）为方向向量， （ 00, 0 ,zyx）为直 线上一点。 性质： 数量及为零两个向量垂直 向量积为零两个向量平行 平面束方程： 已知直线一般方程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DCzyBxA 过该直线的平面束方程： 0)( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 二、二重积分与曲线积分： Ddxdy D 1 的面积 Lds L 1 的长度 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 2页 共 20页 2 格林公式：dxdy y P x Q dyyxQdxyxP D L )(),(),(其中 L 为闭曲线且取正 向 设函数),(yxf在分段光滑曲线 L 上连

3、续，曲线 L 的方程为 ),( ),( ty tx t，其中)(),(tt在,上具有一阶连续的导数，且0)()( 22 tt， 则有转换公式，dtttttfdsyxf L )()()(),(),( 22 将曲线积分转换为定积 分。 注意 1、用积分路径的参数方程去代换被积函数的自变量； 2、用dttt)()( 22 替换ds 3、 “换元的同时要换限”-将积分路径的两端点所对应的参数值分 别作为右边定积分的积分限（其中较小的作为积分下限） 。 三、无穷级数： 常见函数的收敛性： .111) 1( 1 i i ：发散 . 3 1 2 1 1 11 1 i i ：发散 1 1 i p i （P0）

4、 ：收敛 ：发散 ：发散 1 1 1 P P P 比较判别法： 1n n U 1n n V 11 11 nn nnnn nn nnnn VVUU VVUU 收敛收敛： 发散发散： 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 3页 共 20页 3 n U0 n V0 如果 n n n V U lim其中，0则 1n n U与 1n n V具有相同的敛散 性。 比值判别法： 1n n U n n n U U 1 lim 不确定 收敛 发散 :1 :1 :1 例： 1 1 ) 1( n n n ：发散 1 1 cos n n ：发散 1 1 n n ：发散 1 1 sin) 1( n n n ：收

5、敛 1 1 sin n n ：发散 1) 1( ) 1( n n nn ：绝对收敛 莱布尼茨判别法： 1 ) 1( n n nU 其中 n U0 如果 n U 1 n U0lim n n U则 1 ) 1( n n nU 收敛 幂级数： 定义： 0 0) ( n n n xxa，特殊形式，当0 0 x时， 0n n nx a 阿贝尔定理： 0n n nx a：如果 1 xx 时， 0n n nx a收敛 则当 1 xx 时， 0n n nx a绝对收敛，其中0 1 x ：如果 2 xx 时， 0n n nx a发散， 则当 2 xx 时， 0n n nx a发散 复习例题如下复习例题如下 高数

6、 BII 复习题 高数 BII 复习题第 4页 共 20页 4 一、单项选择题一、单项选择题 1、由两条抛物线xy 2 和 2 xy 所围成的图形的面积为（A） A、 1 2 0 ()xx dxB、 1 2 0 ()xx dxC、 1 2 -1( )xx dxD、 1 2 -1( )xx dx 2、由相交于点( 11, y x)及),( 22 yx(其中 21 xx )的两曲线0)(xfy，0)(xgy所 围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积V是（B） A、 2 1 2 ( )( ) x x f xg xdx ；B、dxxgxf x x 2 1 )()( 22 C、 22 11 22 ( )(

7、 ) xx xx f xdxg xdx ；D、 2 1 ( )( ) x x f xg x dx . 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 5页 共 20页 5 3、直线 37 4 2 3zyx 与平面3224zyx的关系是(A) A、平行，但直线不在平面上；B、直线在平面上； C、垂直相交；D、相交但不垂直. 解： 2 1 )2, 2, 4( )3 , 7, 2( n n 平面法向量： 直线方向向量： 又0)2(3)7()2(42 21 nn 直线上一点（-2，-7,3）带入平面中不成立，故其关系为平行。 4、设),( 00 yxfx存在，则 x yxxfyxxf x ) , ()

8、, ( lim 0000 0 =（C ）. A、),( 00 yxfx;B、),2( 00 yxfx;C、2),( 00 yxfx;D、),( 2 1 00 yxfx 解解： ),(2 ),() , (),() , ( lim ) , (),(),() , ( lim 00 00000000 0 00000000 0 yxf x yxfyxxf x yxfyxxf x yxxfyxfyxfyxxf x x x 5、函数),(yxfz 在点),(yx可微，是函数),(yxfz 在点),(yx各偏导数存在的 （A A ） A、充分但不必要条件;B、充分必要条件； C、必要但不充分条件；D、既非充分

9、也非必要条件. 解：可微偏导数存在， 但是偏导数存在，不一定可微 6、函数 xy yxu，则 x u （A ） A、 1 ln yx yxyy；B、yyxxlnln；C、 xy yx ；D、 11 xy xyyx. 解：yyyx x u xy ln 1 7、 yy dxyxdydxyxdyI 3 0 3 1 2 0 1 0 ),(),(交换次序后得（C ） A、 y y dyyxdx 3 2 2 0 ),( ;B、 x x dyyxdx 3 2 1 0 ),( ; 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 6页 共 20页 6 C、 2 0 3 2 ),( x x dyyxdx ;D、 2

10、 0 2 3 ),( x x dyyxdx . 解：积分区域前半部分由 y=1 和 x=2y 围成，后半部分有 1y3 和 x=3-y 围 成，总的区域面积 如图三角形部分，故其积分为 2 0 3 2 ),( x x dyyxdx 8、设l取圆周9 22 yx的正向，则曲线积分 l dyxxdxyxy 2 )4()22(（C） A、 2 ；B、 9 ；C、 18 ；D、 36 解：yxyp yx 22 ),( xxQ yx 4 2 ),( ),(yx P对 y 求偏导数得22 x y P ),(yx Q对 x 求偏导数得42 x x Q ， 则 DDD yx L yx dxdydxdydxdy

11、 y P x Q dyQdxP12)2()( ),(),( 原式 又圆的半径 R=3，圆面积 D= 2 R=9，故91 D dxdy1892 9、设L为左半圆周)0( 222 xRyx, 将曲线积分 22 (34) L xyds 化为定积分的正 确结果是(D D) A、 0 322 (3cos4sin)Rtt dt ；B、 0 322 (3cos4sin)Rtt dt ； C、 322 0 (3cos4sin)Rtt dt ；D、 3 322 2 2 (3cos4sin)Rtt dt . 解：圆的参数方程 tRy tRx sin cos 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 7页 共

12、20页 7 则 dtttR RdtttR dttRtRttR dtyxtRtR dsyx L 2 3 2 223 2 3 2 222 2222 2 3 2 222 22 2 3 2 2222 22 )sin4cos3( )sin4cos3( cossin)sin4cos3( )sin4cos3( )43( 10、闭区域D是由简单闭曲线L(正向)所围，下列积分不等于D面积的积分是 （C） A、 L ydxxdy 2 1 B、 L xdyC、 L ydxD、 L ydx 11、已知幂级数 0 ) 1( n n n xa在5x处发散，则下列结论正确的是(A A) A、在4x处级数发散；B、在3x处级

13、数绝对收敛； C、在4x处级数条件收敛；D、在4x处级数绝对收敛. 解：把 x-1 看成一整体， x=5 发散可以得出 x-1=4 发散 从而3541xxx或故得 A 正确 12、微分方程y dx dy 2的通解为(C ) A、Cey x 2 ；B、 2 x Cey ；C、 x Cey 2 ；D、Cey x 2 . 解： xcx eCeyCxydxdy y dxdy y y dx dy 22 2ln2 1 2 1 2 13、下列级数绝对收敛的是（B） A、 1 1 ) 1( n n n ；B、 1) 1( ) 1( n n nn ；C、 1 1 cos) 1( n n n ；D、 1 1 )

14、1( n n n 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 8页 共 20页 8 解： 1 2 3 11 11 ) 1( 1 nnn n nnnn 1 1 i p i (p0) 收敛 发散 发散 :1 :1 :1 p p p 14、xcysin(其中 c 是任意常数)是 x dx yd sin 2 2 的（B） A、通解B、是解，但非通解也非特解C、特解D、不是解 解：由 x dx yd sin 2 2 求原函数得 Cx dx dy cos CCxxxfsin)( 故原函数的通解为CCxxxfsin)(由 xcysin求两次导得 xysin 故xcysin是 x dx yd sin 2 2

15、 的解，但非通解也非特解 二、填空题二、填空题 1、设区域 D 是由 2 1 | , 2 1 |yx围成的图形，则二重积分 D dxdy1. 解：1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xdxdydxdxdy D 2、duxu ,siny 则设 ydyxydxcossin . 解：),(yxfu ydyxydxdy y u dx x u ducossin 3、曲面032xye z 在点），（0 1 1处的切平面方程为0422zyx 解：令32),(xyezyxF z ，分别对 x，y，z 求偏导数得 z e z F Fx y F Fy x F F 321 ,2,2(

16、1,1,0)处的法向量为(2,2,1) (1,1,0)处的切平面方程为0422zyx 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 9页 共 20页 9 4 、 设 平 面 曲 线L为 下 半 圆 周 2 4xy， 则 曲 线 积 分 L dsyx 22 ln= 2ln2. 解： 2 4xy44 2222 xyxy 故2ln212ln2lnln 22 LLL dsdsdsyx 5、设( , )f x y在 2 2 1 4 x y 具有二阶连续的偏导数，L是 2 2 1 4 x y顺时针方向，则 3( , )( , ) xy L yfx y dxfx y dy 的值等于6 解： xyxfx 2

17、1 ),(yyxfy2),( ydydxxy L 2) 2 1 3(原式 又 yxyxP3 2 1 ),(yyxQ2),( 3 y P 0 x Q DD dxdydxdy6133 6、若级数 1 1 1 n p n 收敛 , 则p应满足p0 解： p n p p n p p n n n n n n n 1 1 1 1 1 ) 1 (lim ) 1( lim 1 ) 1( 1 lim 若级数 1 1 1 n p n 收敛，则1) 1 ( 1 p n n 故得0 0 01 p p p 7、设幂级数 n n x n xxx 1 2 10 2 5 2 2 2 2 3 3 2 2 ，其收敛半径R= 2

18、1 解：原式= n n n x n 1 2 1 2 则 2 1 ) 1(2 1) 1( lim 1) 1( 2 1 2 lim 2 2 2 1 2 n n n n n n n n 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 10页 共 20页 10 8、若均匀薄片所占区域为1: 2 2 2 2 b y a x D,其密度1 ， 则其质量 mba 三、计算题 1、 三、计算题 1、求曲线 x y 4 与直线5 yx所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积 解： x y yx 4 5 先求交点得 （1 ，4） 、 （4，1） 4 1 22 ) 4 ()5(dx x xV 4 1 2 2 )

19、16 1025(dx x xx9 2、已知两点) 12 , 7(A和)10, 4 , 3(B，求一平面，使其通过点B，且垂直AB. 解：取)11, 2 ,10( ABn ，所求平面为0)10(11)4(2) 3(10zyx， 整理有014811210zyx. 3、过点) 3 , 2, 1 ( M作平面，使它与两已知平面03: 1 zyx和012: 2 zyx都垂 直. 解：法一：取kji kji n 32 112 111，由点法式有0)3()2( 3) 1(2zyx， 整理得0532zyx. 法 二 ： 设 所 求 平 面 为0) 3()2() 1(zcyBxA，则 有 02 0 CBA CB

20、A 解 得 ACAB 2 1 2 3 ， 代入方程有0)3()2( 3) 1(2zyx，即0532zyx. 4、求过直线 3210 23220 xyz xyz 且垂直于已知平面2350 xyz的平面方程. 解：作过已知直线的平面束方程 0)2232() 123(zyxzyx ，因所求平面与与 0532zyx 垂直，故有 0)21( 3)32(2)23(1 ，解得 2 ，代入平面束方 程得所求平面 0558zyx 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 11页 共 20页 11 5、计算二重积分 D dxdy x xcos1 ，D为由xxyx , , 1 轴围成的闭区域. 解： D dxd

21、y x xcos1 = dx x x dy y 11 0 cos1 = dy x x dx x 1 00 cos1 1 0 cos1 xdx x x = 1sin1 6.设),32(yxyxfz ，其中),(vuf具有二阶连续偏导数，求 yx z y z x z 2 , , 解 ：yxu32 yxv 21 2ff x v v f x u u f x z 21 3ff y v v f y u u f y z 2122121122211211 22211211 2 326)3()3(2 )()(2 ffffffff y v f y u f y v f y u f yx z 7、计算曲线积分 L d

22、yxydxyx )53()43(,其中L是从点)0 , 0(O沿上半圆周 2 2xxy到点)0 , 2(A的曲线段. 解：43),(yxyxP53),(xyyxQ 3 y P 1 x Q D D OAL dxdy dxdy y P x Q dyxydxyx 24 )( )53()43( 2 0 10)4( )4( )53()43( dxx dxx dyxydxyx OA AO 210 OAOALL 8、求微分方程 x x x y y cos 满足条件1 x y的特解 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 12页 共 20页 12 解：设 x Px 1 )( x x Q x cos )(

23、 则) cos ( 11 cdxe x x ey dx x dx x =) cos ( 1 ) cos ( lnln cxdx x x x cdxe x x e xx =)(sin 1 )cos( 1 cx x cxdx x 1)(sin 1 cx x y x 得).(sin 1 ,x x yc则 9、求幂级数 1 4 )1( n n n x 的收敛域及其和函数 解： x x x x S x 5 1 4 1 1 4 1 )( ，其中1 4 1 x 得53x 故其和函数 x x S x 5 1 )( ，收敛域为53x 10、已知曲线 )0(ay 2 ax 与 3 xy 所围图形面积为 8，则 a

24、=624 解：由 23 axx 得0 23 axx解得0 1 xax 2 又8 12 1 4 1 3 1 4 1 3 1 )(0 444 0 43 0 33 aaaxaxdxxaxs a a 得6296 4 4 a 11、由曲线 3 xy ，2y 和 x 轴所围平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为（ 7 128 ） ，绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为（ 5 64 ）. 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 13页 共 20页 13 解： 7 128 7 1 )( 2 0 7 2 0 6 2 0 23 xdxxdxxVx 5 64 2 5 3 32 5 3 32)(84 58 0 3

25、 5 2 8 0 3 ydyyVy 12、求由曲线 x y 3 和直线 x+y=4 所围平面图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积。 （ 3 8 ） 解： 4 3 yx x y 得dx x xxdx x xV 3 1 2 2 3 1 22 ) 9 816() 3 ()4( 3 8 9 3 1 416 3 1 32 x xxx 13、直线 37 4 2 3zyx 与平面322x4zy的关系是（A ） A、平行，但直线不在平面上；B、直线在平面上； C、垂直相交；D、相交但不垂直； 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 14页 共 20页 14 解：详见第一页第四题 14、设),(),(zvu

26、f x y yxf具有二阶连续偏导数，求 yx z 2 ， 解：yxU x y V )()(1 2 21 2 x y ff x y v f u f x v v f x u u f x z ) 1 ()( 2 2 2 22211211 2 x f x y y v f y u f y v f y u f yx z =) 1 ()( 1 ( 1 2 2 2 22211211 x f x y x ff x ff = 2 2 3 22 2 211211 11 x f x y f x y f x ff 15、设函数, 06 333 xyzzyx则 )1, 2, 1( z x =（C） A、 5 1 B、5

27、C、- 5 1 D、-5 解：设6 333 ),( xyzzyxF zyx 则yzxFx 2 3xyzFz 2 3 又 5 1 213 ) 1(23 3 3 2 2 xyz yzx F F x z z x 16、设函数 2234 2),(yxyxyxyxf， 则该函数在驻点(1,1)处， 有极小值, 其值为-2 解：yxxyxf224),( 3 0224) 1 , 1 ( f 驻点：0)( 0 x f 0212),( 2 xyxf：0)( 0 x f极小值:0)( 0 x f极大值 17、在“充分” “必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内 1） 、函数),(yxf在（x,y）

28、连续是),(yxf在该店可微分的既不充分也不必既不充分也不必要条件， 2） 、),(yxfz 在点（x,y）的偏导数存在是),(yxf在该店可微分的必要不充分必要不充分条 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 15页 共 20页 15 件 3） 、),(yxfz 在点（x,y）的偏导数存在且连续是),(yxf在该店可微分的充分不充分不 必要必要条件 4)、),(yxfz 的两个混合偏导数 yx z 2 ， yx z 2 在区域 D 内连续是这两个混合偏导 数在 D 内相等的充要充要条件。 5）、函数),(yxf在（x,y）可微分是该函数在点（x,y）沿任何方向等方向导数 存在的充分充分

29、条件。 18、设),(yxf在点 （a,b） 处的偏导数存在， 则 x bxafbxaf x ),(),( lim 0 =),(2ba f 解： ),(2 ),(),(),(),( lim ),(),(),(),( lim 0 0 baf x bafbxaf x bafbxaf x bxafbafbafbxaf x x 19、设 D 由 y=x 及xy4 2 围成，则积分 D dryxfI),(化为先 y 后 x 的二次积分是 解： xy xy 4 2 得)0 , 0( 1 x)4 , 4( 2 x 故有 4 40 2 y x yx y 故得dxyxfdyI y y 4 4 0 2),( 高数

30、 BII 复习题 高数 BII 复习题第 16页 共 20页 16 20、dyyxfdxI xx x 2 2 2 2 1 ),(，则交换积分次序后，得B A、 1 0 11 2 2 ;),( y y dxyxfdyB、 1 0 11 2 2 ),( y y dxyxfdy C、 1 0 11 2 2 ),( y y dxyxfdyD、 1 0 11 2 2 ),( y dxyxfdy y 解：有 I 得 xy xxy x 2 2 21 2 画图得 故答案为 1 0 11 2 2 ),( y y dxyxfdy 21、计算dxyx D )( 22 ，D 为由 y=2,y=x 及 y=2x 围成的

31、闭区域。 dxdyd 6 13 1 6 19 8 1 ) 4 1 24 19 ( ) 8 3 24 19 ( 2 1 3 1 2 0 34 2 0 23 2 2 0 223 2 22 2 0 yy dyyy dyxxyx dxxyxdy y y y y 原式 22、计算积分dx x x dy y 1 0 1 2 sin 解： 1 0 0 1 0 2 1 00 2 1cos1sin sin sin 2 2 xdxdx x x dy x x dx x x 原式 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 17页 共 20页 17 23、设平面曲线 L 为下半圆周， 2 1xy曲线积分dsyx L

32、 )( 22 = 解：111 22222 yxxyxy故圆的周长为22rL 又 2 2 1 1)( 22 LL dsdsyx 24、设 L 为下半圆周)0( 222 yRyx，将曲线积分dsyxI L )2(化为定积分的正 确结果是D A、dtttR)sin2(cos 0 2 B、dtttR)sin2(cos 0 2 C、dtttR)cos2(sin 0 2 D、dtttR)cos2(sin 2 3 2 2 解：设圆的参数方程为 tdtRdytRy tdtRdxtRx cos,sin sincos ， 有： Rdt dttRtR dydxds 2222 22 cossin )()( 下半圆因为

33、 y0 2 3 2 : t dtttR RdttRtRdsyxI L 2 3 2 2 2 3 2 )sin2(cos )sin2cos()2( 25、dsyx L )( 22 ，其中 L 为曲线)sin(costttax，)cos(sintttay(20 t) 解：)cossin(tttax)sin(costttay 2 0 22222222 )()()cos(sin)sin(cos)(dtyxtttattadsyx L dttta )1 ()1 ( 2 2 0 23 26、求dyxdxy L 22 ，其中 L 是 tby tax sin cos 的上半部沿顺时针方向 解：因为 L 为 tby

34、 tax sin cos 上半部得0: t 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 18页 共 20页 18 dttbatab dttbtatatbdyxdxy L 0 3232 222 0 222 )cossin( )cos(cos)sin(sin 27、计算dyxyedxyye x L x )cos()3sin( ，其中 L 是由点(0,0)到点（0,2） yyx2 22 的右半圆周。 解：yyeyxP x 3sin),(xyeyxQ x cos),( 3cos ye y P x 1cos ye x Q x D xx D dxdyyeye dxdy y P x Q ) 3cos1co

35、s( )(原式 2 0 2sin2cos cos0)3(sin 214 ydy ydydyyL dxdy L OA D OAL 28、 1 !2 n n n n n 判别级数敛散性 解： en n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n 2 ) 1 (2lim ) 1( 2 lim ) 1( ) 1(2 lim !2 ) 1( )!1(2 lim 1 1 1 又1 2 e 故级数 1 !2 n n n n n 收敛（注： n n n u u 1 lim 不确定 收敛 发散 :1 :1 :1 ） 29、已知幂级数 0n n nx a在 x=3 处收敛，则下列结论正确的是（A