高考数学导数零点与极值点专题

1、导数中的导数中的零点零点与与极值点极值点 教学目标：教学目标： 1.掌握函数零点、极值点问题中的常见处理方法，掌握函数零点、极值点问题中的常见处理方法， 2.学会用估计范围、消元、换元等方法解决学会用估计范围、消元、换元等方法解决多变量的变形多变量的变形问题问题 典型例题典型例题 一、估计范围一、估计范围 例 1.已知函数 f（x）ax 2bx+lnx， （a，bR R） （1）若 a1，b3，求函数 f（x）的单调增区间； （2）若 b0 时，不等式 f（x）0 在1，+）上恒成立，求实数 a取值范围； （3）当 a1，b 9 2 时，记函数 f（x）的导函数 f （x）的两个零点是 x1和

2、 x2（x1x2） ， 求证：f（x1）f（x2） 63 16 3ln2 【解析】 （1）由题意得：x0，a1，b3 时，f（x）x 23x+lnx， 1(21)(1) ( )23 xx fxx xx ，令 f（x）0，解得：0 x 1 2 或 x1， 故 f（x）在（0， 1 2 ） ， （1，+）递增； （2）b0 时，f（x）ax 2+lnx，不等式 f（x）0 在1，+）恒成立， 即 a 2 ln x x 在区间1，+）恒成立，令 h（x） 2 ln x x ，则 3 2lnx 1 h (x) x ， 令 h （x）0，解得：x e，令 h （x）0，解得：1x e， 故 f（x）在（

3、1，e）递减，在（e，+）递增，故 h（x）minh（e） e2 1 ， 故 a e2 1 ； （3）a1 时，f（x）x 2bx+lnx， 2 21 ( ) xbx fx x ， （x0） ， 由题意得 x1，x2（x1x2）是方程 2x 2bx+10 的两个根，记 g（x）2x2bx+1，则 2 12911 9 0,0 244 2 gbgb bb ，g（2）92b0， x1（ b 1 ， 1 4 ） ，x2（2，+） ，且 f（x）在x1，x2递减， 故 f（x1）f（x2）f（ 1 4 ）f（2） 763 416 b 3ln2， b 9 2 ，f（x1）f（x2） 796363 31 2

4、 421616 n3ln2 二、换元法的使用二、换元法的使用 例 2.已知函数 2 1 ( )ln 2 f xaxx，( )g xbx ，设( )( )( )h xf xg x. （1）若( )f x在 2 2 x 处取得极值，且(1)( 1)2fg，求函数( )h x的单调区间； （2）若0a 时函数( )h x有两个不同的零点 12 ,x x. 求b的取值范围；求证： 12 2 1 x x e . 解：(1)因为 1 ( )fxax x ，所以(1)1fa, 由(1)( 1)2fg可得 a=b-3. 又因为( )f x在 2 2 x 处取得极值， 所以 22 ()20 22 fa， 所以

5、a= -2,b=1 . 所以 2 ( )lnh xxxx ，其定义域为（0，+） 2 121(21)(1) ( )21= xxxx h xx xxx 令( )0h x得 12 1 ,1 2 xx ， 当x（0,1）时，( )0h x，当x（1,+）( )0h x， 所以函数 h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. （2）当0a 时，( )lnh xxbx，其定义域为（0，+）. 1 ( )h xb x ,当0b ,则 ( ) 0h x ，( )h x在(0,)上单调递增，不合题意。 当0b时，( )h x在 1 (0,) b 上单调递增，在 1 (,) b 上单调递减。

6、因为( )h x有 2 个不同零点，所以 1 ()0h b ，即 1 (,0)b e . 此时存在 2 14 1 bb 使得 2 4 (1)0, ()0hbh b ， 又( )h x在 1 (0,) b 和 1 (,) b 都连续， 所以( )h x在 1 (0,) b 和 1 (,) b 各有一个零点 由题意得 1122 ln0,ln0 xbxxbx, 所以 12122121 ln()0,lnln()0 x xb xxxxb xx, 所以 1212 2121 ln lnln x xxx xxxx ，不妨设 x13 时，记函数 f(x)的导函数 f(x)的两个零点 是 x1和 x2 (x1x2

7、)，求证：f(x1)f(x2)3 4ln2. 解（1）b2a+1 时，f（x）ax2（2a+1）x+lnx，定义域为（0，+） ， f（x） ） 、a0 时，f（x）， 由 f（x）0，得 0 x1；由 f（x）0，得 x1， 故 yf（x）的单调增区间为（0，1） ，单调减区间为（1，+） ） 、a0 时，f（x）， a0 时，由 f（x）0，得 x1；由 f（x）0，得 0 x1， 故 yf（x）的单调增区间为（0，1） ，单调减区间为（1，+） ； 0a时， 由 f（x）0，得 0 x1，或 x；由 f（x）0，得 1x， 故 yf（x）的单调增区间为（0，1） ， （，+） ，单调减区间为（1，） ； a时，f（x）0 恒成立， 故 yf（x）的单调增区间为（0，+） ，无单调递减区间； 时， 由 f（x）0，得 0 x，或 x1；由 f（x）0，得， 故 yf（x）的单调增区间为（0，） ， （1，+） ，单调减区间为（，1） （2）a1 时，f（x）x2bx+lnx，f（x）2xb+， 由题意知，x1，x2是方程 2x2bx+10 得两个根，故， 记 g（x）2x2bx+1，因为 b3，所以，g（1）3