电磁场导论之静电场.ppt

1、07:15:25,第二章静电场,1,第二章 静电场,2-1 基本方程及其微分形式,2-2 电位与电位梯度,2-3 静电场的边值问题,2-4 镜像法与电轴法,2-5 多导体系统的部分电容,2-6 电场能量和电场力,07:15:25,第二章静电场,2,2.1 基本方程及其微分形式,电磁场的普遍规律麦克斯韦方程组,静态情况下，D/ t=0, B/ t=0,电场和磁场分为 两个独立的部分,07:15:25,第二章静电场,3,静电场基本方程的积分形式,物理学积分形式场中大范围的特性,电磁场微分形式每个场点上的特性,07:15:25,第二章静电场,4,2.1.1 高斯通量定理的微分形式,将闭合面S缩小，使

2、其包围的体积V0,高斯通量定理的微分形式，表明静电场是有散场。,物理意义 D相当于单位体积散发的电通量，即电通量体密度,由,divD = ,07:15:25,第二章静电场,5,所以,这就是数学上的“高斯散度定理”,上式把D的体积分转换为D的闭合面积分,07:15:25,第二章静电场,6,在直角坐标系中,圆柱坐标系和球坐标系中，D的展开式见附录。,应用之一：特殊情况下，已知 分布，求D分布（例2-1）,应用之二：已知电场D分布，求体电荷密度 （例2-2）,07:15:25,第二章静电场,7,解：由于 的分布具有轴对称性， 因此 D 的分布也具有轴对称性， D只有 Dr 分量，且只与 r 有关。,

3、柱内（rR） ，有体电荷分布，满足D = ,柱外（rR），无体电荷=0，满足D = 0,应分两个区域分别求解,D 在柱坐标系下展开简化,07:15:25,第二章静电场,8,1）在柱内（rR时）,由不定积分求解,其中C1为积分常数，因r = 0处D = 0，故C1=0,07:15:25,第二章静电场,9,2）在柱外（rR）,其中积分常数C2由分界面边界条件确定,(rR),07:15:25,第二章静电场,10,可见，电荷只分布在r 2 的圆柱内，圆柱外无电荷分布。,例2.2 已知圆柱坐标系中r2时， ； r2时， ，求电场中的体电荷分布。,解：r2时：,r2时：,07:15:25,第二章静电场,1

4、1,2.1.2 环路定理的微分形式,将闭合环路l 缩小，其围成的面积S0,环路定理的微分形式，表明静电场是无旋场。,数学上定义为E的旋度rot E在面的正法线方向en上的投影分量(rot E)n,由于上式无论l为任何方位时均成立，则意味着在静电场中E的旋度本身为零。所以有,物理意义: E相当于围绕场点的小闭合回路所对应的单位面积上的E环量，即E环量面密度。,07:15:25,第二章静电场,12,由于E相当于围绕场点的小闭合回路所对应的单位面积上的E环量，即E环量面密度。,因此， 表示面积S上对应的E环量,它与沿闭合回路l的环量 是同一个量,所以,这就是数学上的“斯托克斯定理”,上式把E 的面积

5、分转换为E的闭合环路积分,07:15:25,第二章静电场,13,可根据场矢量的旋度是否总为零，判断其是否为静电场。,直角坐标系中,圆柱坐标系和球坐标系中的展开式见附录。,例2-3 试判断真空中的下列表达式是否可能是静电场？若可能，求相应的电荷密度,07:15:25,第二章静电场,14,解：,E1可能是静电场，其体电荷密度为,E2决不可能是静电场。,07:15:25,第二章静电场,15,2.1.3 电场量E和D的衔接条件,取两种电介质分界面上的P点为观察点，围绕P点作一个很小的矩形回路，它与分界面垂直的边长h0，分界面平行的上下两个边l分别在分界面的两侧。,E1 t = E2 t,可见，分界面两

6、侧的电场强度E的切线分量连续。,07:15:25,第二章静电场,16,由于线性、各向同性电介质D = E，由衔接条件可知,得，静电场折射定律,由,分界面上没有面电荷时=0,包围分界面上的P点作一个很小的平扁闭合圆柱面,07:15:25,第二章静电场,17,前面已求得圆柱体内,圆柱体外的通解为,由于r = R处无面电荷，根据边界条件： D1n=D2n,则得,即,因此，圆柱体外的电场,07:15:25,第二章静电场,18,作 业,2-1 试判断以下的表达式是否可能为静电场？若可能，求相应的体电荷密度。 1）球坐标系中E=（r3+4r2）er 2）直角坐标系中E= 2y ex+3x ey,07:15

7、:25,第二章静电场,19,2.2 电位与电位梯度,2.2.1电位的定义,静电场E=0为无旋场，可以用标量电位来描述。,物理意义 将单位正电荷由P点移到参考点Q电场力所作的功,单位V,点电荷的电场,07:15:25,第二章静电场,20,参考点Q选在无限远处rQ时，表达式最简单,分布在有限范围内的任意电荷产生的电位可由叠加原理计算,参考点原则上可以任意选择，应使其表达简式单且有意义。实际工程中，常选大地或机壳为电位参考点。 理论计算时，如果电荷分布在无限长或无穷大区域，不能选无限远处为电位参考点。,07:15:25,第二章静电场,21,根据电位定义,例如：无限长线电荷的电场中,本例中不能选取无限

8、远处为参考点，否则 lnrQ，电位表达式无意义。,只能选有限远处为电位参考点,因此,07:15:25,第二章静电场,22,2.2.2 电位梯度, 先来推导：,表示对源点坐标(x,y,z)求偏导,其中,则,07:15:25,第二章静电场,23,表示对场点坐标(x,y,z) 求偏导,由于,得到,因此,07:15:25,第二章静电场,24,从而得到, 再来推导 E = ,故可改写为,其中,由于,交换求导、积分次序不影响结果，因此得,其中括号内为,07:15:25,第二章静电场,25,E 的大小电位 的最大空间变化率， E 的方向电位 减小最快的方向。,直角坐标系中,在圆柱坐标系和球坐标系中的展开式见

9、附录。,当已知电荷分布求电场分布时， 可先求得标量电位，然后再由电位梯度求得 E 矢量。,07:15:25,第二章静电场,26,例2-4：电偶极子：一对相距很近的等量异号电荷组成的整体。其特性用电偶极距 p=ql 表示,设电偶极子位于球坐标原点，电位参考点在无限远处。,由叠加原理可求得电偶极子产生的电位,07:15:25,第二章静电场,27,两电荷相距很近,场点P离q很远,由电位梯度运算,得电场强度,07:15:25,第二章静电场,28,2.2.3 电力线方程与等位面方程,为了使场形象化，通常绘制电力线图和等位面图。,电力线微分方程： E dl = 0,E 线上每一点的切线方向与该点的电场强度

10、方向一致。,因此E dl = 0可表示为,上式积分求解，便得到电力线方程（E线方程）,07:15:25,第二章静电场,29,静电场中电位数值相同的点构成等电位面。,由E= 可知： 等位面与电力线处处正交（垂直） 等电位面越密处，电场强度越大,式中 k 取不同数值可得到一族等位面,例：电偶极子的等位面方程（球坐标系表示）,即,取不同K值，对应不同的电位，可画出r 对 的曲线,07:15:25,第二章静电场,30,电偶极子的电力线微分方程,电偶极子没有E分量，故,积分得,即,其中积分常数c可改写为c=ln C，,C取不同数值，可画出相应的电力线。,则电力线方程为,07:15:25,第二章静电场,3

11、1,例2-5 等量异号线电荷的几何轴相距为2b。 求：周围的电位和场强E。,解： 1）线电荷产生的电位,式中r+和r分别为场点P到正、负电荷的距离，r0+和r0-分别为参考点到正、负线电荷的距离。,07:15:25,第二章静电场,32,参考点选在y轴r0+=r0-，简化为,等位线方程用直角坐标系表示为,由叠加原理可得,整理可得,07:15:25,第二章静电场,33,可见： 的等位面为一族偏心圆柱面,圆柱面的几何轴线在y=0平面上，与z轴平行；,值不同，k值将不同，几何轴位置h和半径a随之不同。,07:15:25,第二章静电场,34,即,等位面与线电荷的相对位置具有如下关系 ：,07:15:25

12、,第二章静电场,35,2）由电位梯度或叠加原理，可求得电场强度,E线的微分方程,为积分求解需要，改写为,积分求解得,其中K=lnc为积分常数，最后的电力线方程,07:15:25,第二章静电场,36,圆心在x =0平面上，与z轴距离为y =C/2,可见：线电荷的电力线是一族圆；,圆周与z=0平面平行，过电轴，并被分为上下两段，均由+发出，在终止，与等位面正交；,若令c=2bctg C，则圆的方程可写为,对应不同C值，可以画出相应的电力线。,电力线方程,07:15:25,第二章静电场,37,线电荷的等电位线与电力线,等位面方程,电力线方程,07:15:25,第二章静电场,38,作 业,2-4 已知

13、电位= 8x+5y2+10 (V)， 求：场点（0，0，0）和（1，1，1）的电位与场强数值,2-6 已知同轴电缆外导体的半径为R2=2cm，电介质的击穿场强为200k/cm。内导体的半径R1为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压值。,07:15:25,第二章静电场,39,2.3 静电场的边值问题,2.3.1 泊松方程与拉普拉斯方程,D=(E)=E+E=E+()=,07:15:25,第二章静电场,40,在直角坐标系中,在圆柱坐标系和球坐标系中，2的展开式见附录。,当场域中的电介质不是完全均匀的，但能分成几个均匀的电介质子区域时，可按各个均匀的子区域分别写出泊松方程或拉普拉斯方程求解；然

14、后利用不同介质分界面上的衔接条件，来确定相应的积分常数。,07:15:25,第二章静电场,41,2.3.2 边值问题的定解条件,场域边界、自然边界、介质分界面衔接条件,1）场域（导体）的边界条件,第一类：已知场域边界面S上的电位值，称之为狄里赫利问题,第二类：已知场域边界面S上的电位法向导数值，称之为聂以曼问题,第三类：已知部分场域边界S1上的电位值和另一部分边界S2上的电位法向导数值，称之为混合问题,07:15:25,第二章静电场,42,2） 自然边界条件,当电荷分布在有限区域，场域延伸到无限远处时， 0。称为自然边界条件。,3） 介质分界面上的衔接条件,与E1t=E2t等效,与D2nD1n

15、= 等效,07:15:25,第二章静电场,43,2.3.3边值问题的不定积分法,理论计算方法,直接求解法: 不定积分法 分离变量法 格林函数法,间接求解法: 电轴法 镜象法 复位函数法 保角变换法,数值计算法： 有限差分法 有限元法 矩量法 模拟电荷法,07:15:25,第二章静电场,44,解：只与r有关，与无关、与z无关。,例2-6 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，电压为U，试由拉普拉斯方程2=0，求介质中的E分布。,介质中无电荷分布，满足2=0，在圆柱坐标系下展开简化为,不定积分求解得,通解为,07:15:25,第二章静电场,45,由场域边界的电位值确定积分常数C1和C2，,设外导体

16、r=R2处为电位参考点，,内导体r=R1处电位为U，则,联立求解得,07:15:25,第二章静电场,46,因而同轴电缆介质中,07:15:25,第二章静电场,47,因此和E的分布也具有对称性, 且只与x关。,在直角坐标系下展开，泊松方程简化为,( x 0),( x 0),07:15:25,第二章静电场,48,1）当x0时,通过一次不定积分，得,再次不定积分，得通解,设分界面x=0处为电位参考点，则,07:15:25,第二章静电场,49,由于对称于分界面x=0，x=0处，E=0即,则,2）由于x=0平面左右两侧的电荷分布对称, 由对称性，同理可得x0区域的电位解,(x0),07:15:25,第二

17、章静电场,50,两个区域中场强解可合并为,3）电场强度可通过电位梯度运算得到,两个区域中场强解可合并为,07:15:25,第二章静电场,51,2.3.4 静电场的唯一性定理,静电场问题通常难以通过泊松方程或拉普拉斯方程求解，须采用其他方法求解。,静电场的唯一性定理：在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的解，是给定静电场的唯一正确解。,注意：应同时满足以下三个条件,1）多区域时，应分别满足各自场域的微分方程,2）在场域的边界面上，应满足给定的边界条件,3）不同介质分界面上，应符合分界面衔接条件,07:15:25,第二章静电场,52,解：判断依据唯一性定理： 既满足泊松方程,又满足边值 d0

18、=U0,例2-8 试判断以下表达式哪个是图示问题的正确解？,07:15:25,第二章静电场,53,2是正确解,3也是正确解?,4也不是解,1绝不是解,思考：为何 两个正确解？,E= 唯一,07:15:25,第二章静电场,54,例2-9 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，中间为两种介质，介电常数分别为1和2，分界面过直径，电压为U 。试说明两种介质中的E相同。,1中满足21=0,2中满足22=0,解：,1内外边界 电位差为U,2内外边界 电位差为U,且分界面两侧场强切线分量 E1t= E2t,因此，根据唯一性定理，可知 E1= E2,07:15:25,第二章静电场,55,作 业,07:15:

19、25,第二章静电场,56,2.4 镜像法与电轴法,2.4.1 导电平面镜像,接地导电平面存在感应电荷 合成场强E不再具有球对称性,无限大接地导电平面上方有一个点电荷q，,既无法由高斯通量定理求解， 也无法由拉普拉斯方程求解。,07:15:25,第二章静电场,57,对照q在无限大空间产生的电场：,根据唯一性定理，可以判定这两个问题的上半空间电场解答是相同的。,07:15:25,第二章静电场,58,上半空间的电位和场强可由叠加原理得到,07:15:25,第二章静电场,59,解：地面和墙壁均为零等位面，场域中除点电荷所在位置之外，其它场点均满足拉普拉斯方程。,07:15:25,第二章静电场,60,一

20、般来说，若两导电平面夹角为，,可用镜象法求解,否则，镜像电荷必会落在求解区之内，不能用镜像法求解。,07:15:25,第二章静电场,61,2.4.2 介质平面镜象,分界面存在极化电荷，影响两侧的电场分布。,（1）1中，除q所在位置外，满21=0；,（2）2中，处处满足22=0；,边值问题, P ,07:15:25,第二章静电场,62,对于分界面上的P点，r1=r2=r=rP，由衔接条件,确定镜像电荷,联立求解，得,07:15:25,第二章静电场,63,镜 像 法 小 结,实质等效电荷代替不均匀面电荷,依据静电场解答的“唯一性定理”,关键确定等效电荷的大小和位置,注意镜像电荷必须在求解区之外,计

21、算多个点（线）电荷电场叠加,07:15:25,第二章静电场,64,2.4.3 球面镜象, 除q位置外，满足2 =0, 无限远处（r）=0,1. 点电荷q在接地导体球外, 导体球接地，球面R=0, 球面存在不均匀面电荷,确定镜像电荷,球面电位,等位面方程,即,07:15:25,第二章静电场,65,2.点电荷q在不接地导体球外, 除q所处位置外，空间中满足2=0；, 电荷分布在有限范围内,无限远处（r），0；, 导体球面等电位，但R0；, 导体球面上有等量异号感应电荷；,07:15:25,第二章静电场,66,q/的大小分三种情况讨论,1）若球面原来带电Q ，,由 q= q+ q= Q,2）若球面原

22、来不带电,3）若已知球面电位 R,得,由,得,07:15:25,第二章静电场,67,由库仑定律可求得点电荷之间的作用力,F = F + F = 20+13.5 = 6.5 牛顿,思考:本例中点电荷q与导体球电荷Q带同号为何相吸？,07:15:25,第二章静电场,68,3）由叠加原理计算A点的最大场强,07:15:26,第二章静电场,69,2.4.4 电轴法,电气和通信工程中常遇到两根长直、平行、圆柱导体的电场边值问题,（1）两根圆柱导体外的空间，处处满足2=0； （2）两根圆柱导体表面分别为等电位面； （3）两根圆柱导体表面分别有等量异号电荷。,例2-5曾讨论过，线电荷的等位面是一族偏心园，且

23、有以下关系,07:15:26,第二章静电场,70,电轴法解题步骤,3）根据圆柱导体的半径a和位置h，确定电轴位置,07:15:26,第二章静电场,71,例2-13 半径分别为R1和R2的两长直圆柱导线几何轴间距为d，分别带等量异号电荷，求导线外的电位分布及A、B两点的场强。,解：标明等效电轴的位置，取其中间为坐标原点,由,联立求解得,求等效电轴到原点的距离,则圆柱导体外电位分布为,07:15:26,第二章静电场,72,由E= 或叠加原理求得场强,07:15:26,第二章静电场,73,作 业,07:15:26,第二章静电场,74,2.5 多导体系统的部分电容,2.5.1 两导体间的电容,单位：F

24、,电容的大小只与两导体的形状、尺寸、相对位置及导体间的介质性质有关，而与是否带电及电量大小无关。,孤立导体的电容 看为另一导体在无限远处,电容计算,07:15:26,第二章静电场,75,解：设等效电轴到坐标原点距离为b。,由电轴法可确定,两导线间电压,一般来说 ha，bh，传输线向单位长度的电容可简化为,07:15:26,第二章静电场,76,2.5.2 多导体系统的部分电容,静电独立系统：,（n+1）个导体构成的静电独立系统q=0,电场分布只与系统内各带电体的形状、尺寸、相互位置及电介质性质有关，而与系统外带电体无关；,所有电位移D线全部从系统内带电体发出，全部终止于系统内带电体。,07:15

25、:26,第二章静电场,77,1）各带电体电位与各导体电荷之间的关系, 称为电位系数：下标相同的ii 称为自有电位系数； 下标不同的 ij称为互有电位系数。,只与各导体自身的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介电常数有关；,所有电位系数都是正值；,自有电位系数ii大于与它有关的互有电位系数ij,互有电位系数具有互易性ij=ji,07:15:26,第二章静电场,78,例2-16 图示地面附近有两个半径为R1的带电小球，电量分别为q1和q2，可看为集中在球心上。选地面为0号参考导体，求：该系统的电位系数。,解：考虑到地面感应电荷的影响，应看作是由三个导体组成的静电独立系统。将地面影响用镜像电荷代替，则

26、有,其中,07:15:26,第二章静电场,79,2）各带电体的电荷与各导体电位的函数关系式, 称为静电感应系数:下标相同的ii称为自有感应系数， 下标不同的 ij（ij）称为互有感应系数。,只与导体的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介电常数有关；,自有感应系数ii都是正值；互有感应系数ij都是负值；,自有感应系数ii大于与它有关的互有感应系数的绝对值ij 。,互有感应系数具有互易性ij=ji,07:15:26,第二章静电场,80,3）各导体与其它导体之间的电压Ukj,分析实际问题时，常将中的电位改写为各导体之间的电压Ukj来表示。,例如,因此，方程组改写为,C 称为部分电容:主对角线元素Cii

27、称为自有部分电容，非对角线元素Cij（ij）称为互有部分电容。,07:15:26,第二章静电场,81,C只与导体的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介电常数有关；,部分电容具有以下性质：,n+1个导体的独立系统，共有n（n+1）/ 2个部分电容。 自有部分电容代表各导体与0号导体之间的部分电容； 互有部分电容代表非参考导体之间的部分电容。,三相电缆与外壳组成四导体系统，共有个部分电容。,所有部分电容都是正值；,互有部分电容具有互易性Cij=Cji,07:15:26,第二章静电场,82,你能根据方程组设计测量部分电容的实验方法吗？,07:15:26,第二章静电场,83,等效电容的概念,从两个导体看

28、进去的入端等效电容,可通过Y变换和串并联化简得到, 一般来说,C10= C20= C30，C12= C23= C31；,Y 变换时C = CY/3； Y变换时CY=3C,07:15:26,第二章静电场,84,2.5.3 静电屏蔽,对于三导体组成的静电独立系统,若外导体带电，仅在0#导体外表面感应电荷q0=q2，不会在内部产生电场，因此对内导体实现静电屏蔽。,若内导体带电，则在0#导体内外分别产生q0，内外电场都会受到影响，外导体的电位U20和电荷q2都会改变，不会产生屏蔽效果。,虽然q1使0#导体内表面产生感应电荷q0，但外表面没有+q0，不会改变外导体的电位U20和电荷q2 ，从而对内外导体

29、均实现屏蔽。,07:15:26,第二章静电场,85,作 业,07:15:26,第二章静电场,86,2.6 电场能量和电场力,静电场中储存着能量，它在电场建立过程中，由外源做功转化而来。,2.6.1外源做功转化为电场储能,对于线性介质，使电荷达到最后的分布需要做的功是一定的，与实现这一分布的方式和过程无关。,充电方式之一：假设所有电荷密度都按同一比例m增加。 充电开始时m=0，各处都没有电荷， (0)=0； 充电终了时m=1，各处都达到电荷密度最终值 ； 在充电过程中0m1，各处都按同一比例增加(t)= m,07:15:26,第二章静电场,87,因此, 将q移至电场内，外源作功为,由于/ = m

30、 表示某一时刻移动单位电荷所作的功,充电全过程，外源作功转化的静电场能量为,考虑到可能存在面电荷，则电场能量积分公式为,A=q=(m) (mdV),任一瞬时，电荷密度增量 mm,07:15:26,第二章静电场,88,注意：正确理解公式中各 项的含义,表示体电荷单独产生的电能？,表示面电荷单独产生的电能？,表示储存在体积V中的电能？,表示储存在面积S上的电能？,导体系统的储能,由于电荷只分布在导体表面，每个导体表面是等位面,07:15:26,第二章静电场,89,解：双线传输线电场蔓延至无界场域,因此，单位长度储能为,07:15:26,第二章静电场,90,2.6.2电场能量分布及其密度,因此电场储

31、能,07:15:26,第二章静电场,91,对于线性、各向同性介质,由此，既可求整个场域中的能量， 也可求得局部场域中的静电能量。,可见，电场能量是分布在场域中每个场点上的,解法一：由电荷积分公式计算,（rR时）,07:15:26,第二章静电场,92,球外：,球内外电场总储能：,解法二：由电场积分公式计算,球内：,可见，两种解法结果相同，但后者可计算局部场域储能,07:15:26,第二章静电场,93,2.6.3 点电荷系统的互有能量,E = E1 + E2 + En,假设点电荷q1、q2、qn单独存在时产生的场强分别为E1、E2En ，则合成场强,利用 求解点电荷系统的能量时，其中k应不含自身产生的电位,07:15:26,第二章静电场,94,2.6.4虚位移法求电场力,虚位移法基于虚功原理求电场力的方法。,1）广义坐标和广义力,广义坐标确定系统中各导体的形状、尺寸和相互位置的一组独立几何量。,广义力企图改变某一广义坐标的力。,力与能量具有密切联系。,广义力的物理含义与所选用的广义坐标有关， 两者的乘积应等于功（能）。,广义坐标 广义力 乘 积 长度L（m） 一般的力（N） Fdl=dA（Nm） 面积S（m2） 表面张力（N/m） Tds= dA（Nm） 体积V（m3） 压强（N/m2） PdV=dA（Nm） 角度（无量纲） 力矩（Nm