弹性力学电子教案第二章

1、27.圣维南原理(局部性原理),一.圣维南原理的叙述,在求解弹性力学问题时，要使应力分量、形变分量、位移分量满足基本方程并不困难，但要完全、精确地满足边界条件，却往往发生很大困难。,圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面力变换成分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著的变化，但远处所受的影响可以忽略。(P21),另外，在工程计算中经常碰到这样的情况：在物体的部分边界上，只知道物体所受面力的合力，面力的分布方式并不明确。,二. 圣维南原理的应用条件,1、必须用等效力系代替。 2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上),举例,静力等效边界条件：,对于严格要求的条件在局部放松,线性

2、分布的边界力所形 成的力偶等于M,由材力弯曲公式：,等效面力,右端等效条件,边界的积分式,自由端边界条件：,注意：,（1）用圣维南原理必须满足静力等效条件，若不满足，则计算结果不能用于不同的情况。,（2）在静力等效的前提下，若位移条件不满足，也可以用圣维南原理。,2.9 按应力求解平面问题相容方程,2、变形相容（协调）方程（同一平面内间的关系）,基本未知量,基本方程：用应力分量表示,1.平衡微分方程,（2-2）,由几何方程：,按应力求解：以应力分量为基本函数，由只含应力分量的平衡微分方程和相容方程及边界条件求出应力分量后，再求其他未知量。,将,求两阶导数,相加,注：（2-9）用应变表示的相容方

3、程。表示同一平面内 一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形不 发生开裂或相互嵌入（位移连续），位移存在且是x，y 的连续函数。,开裂,嵌入,连续,用应力分量表示相容方程：,由物理方程,代入（2-19）式得到,(2-20),由平衡方程,两式相加,代入（2-20）式：,化简（2-2）和（2-20）式,化简（2-2）和（2-20）式,（2-21a）为用应力表示的相容方程,结论：,整理、化简：,注：对于平面应变问题用,代换,（221b）,1、按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-2）平及（2-21）容）求出应力分量，并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边，及位移单值条件。,(

4、2-21a),2-10 应力函数常体积力,一. 简化相容方程,当体力为常量时，fx=C,fy=C,（2-21）容简化为：,拉普拉斯算子,（222）,二.应力函数,为非齐次偏微分方程组,结论,1.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-2）平及（2-22）容求出应力分量,并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边及位移单值条件。,研究（2-2）平及（2-22）容的求解,由（22）平式,1.对应的齐次偏微分方程的通解,所以存在一个具有全微分的函数A（x，y）,根据微分方程解的理论， （22）平的解由两部分组成：对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。,由第一式有,全微分

5、的充要条件,同理：将第二式写为,根据全微分充要条件，同样也存在另一个函数B（x，y）,（a）,（b）,(d),（c）,比较（ a）（ c ）两式,由剪应力互等定理,齐次偏微分方程的通解,平面应力函数（Airy应力函数）,同理可以找到一个函数 （x，y），有,2.平衡方程特解,3.平衡方程的通解,（2-23）,若体力为0时，将（2-23）代入（2-22）容,（2-22）容,可记为：,这里（x，y）为双调和函数,展开后：,（224）,结论：,1.当应力函数为满足双调和方程的双调和函数时 （223）可以同时满足（2-2）平及（2-22）容，故 （223）为（2-2）平及（2-22）容的解。,（224

6、）为用应力函数表示的相容方程,2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-24）容求出应力函数 ，然后根据（223）求出应力分量并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边，及位移单值条件（多连体时）。,多连体的位移单值条件,单连体：具有一个连续的边界。,多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。,位移单值条件：一点处的位移是单值的。,*按应力求解时，要利用位移单值条件，才能完全确立应力分量,例题习题23（略）,解：1.验证是否满足平衡微分方程,将x=y=-q,xy=0代入,故满足,将x=y=-q,xy=0代入，自然满足,三.满足边界条件：,由：,由：,二.满足相容方程,三.满足边界条件：,将x=y=-q,xy=0代入，自然满足,由：,由：,四.位移单值条件：,2）求位移：,满足,1）求应变：,代入（3）得,于是有 ：,