第2章逻辑代数.ppt

1、第2章 逻辑代数,2.1 逻辑代数,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,本章知识结构图,逻辑代数,基本定律,逻辑函数化简,代数化简,卡诺图化简,基本规则,0-1律、交换律、结合律、 分配律、反演律、吸收律,代入规则,反演规则,对偶规则,基本要求: 熟悉逻辑代数的基本定律、恒等式和规则； 掌握逻辑代数的变换与卡诺图化简.,重点：,卡诺图化简逻辑函数。,代数化简,2.1 逻辑代数,与： 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0 , 1 1 = 1,或： 0 + 1 = 1+ 0 = 1+ 1 = 1 , 0 + 0 = 0,一、0 - 1 律,2. 1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,常量的0-1律,即

2、与、或、非的逻辑运算法则,推论：,A + 1 = 1,A 0 = 0 A = 0,A 1 = A,A + 0 = A,A A = A,A + A = A,设 A 为任一逻辑变量,与：,或：,非：,变量的0-1律,二. 逻辑代数的基本定律,交换律： A + B = B + A A B = B A,结合律： A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A ( B C ) = ( A B ) C,分配律： A( B + C ) = A B + A C A + B C = ( A + B ) ( A + C ),- 最有效方法是用真值表检验。,例 证明,解: 按 A、B 取值情况列出真

3、值表,基本定律的证明,左边逻辑函数的真值表和右边的逻辑函数的真值表完全相同，说明逻辑等式成立。,2.1.2 逻辑代数的基本规则,任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现 A 的位 置都代于同一个逻辑函数 L ， 则等式依然 成立。,式中 A 用 A C 代替，则等式依然成立。,即：,代入规则,三变量的摩根定理,二变量的摩根定理,如果将逻辑函数表达式 L 中所有 变成 +，所有 + 变成 ， 1 变成 0，0 变成 1 ，原变量变成反变量，反变量变成原变量，则可得到原函数的非函数 L。,反演规则,（ A,+,D）,+,解:,）,如果将逻辑函数表达式 L 中所有 变成 + ，所有 + 变成 ，

4、 1 变成 0 ，0 变成 1 ，则可得到原函数的对偶式 L。,3. 对偶规则,对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，其对偶式 也成立。,注意事项：,变换时，要保持原函数中运算符号的优先顺序 不变，即要先括号，后与，再或。,(2) 对于单个反变量以外的非号应保留不变。,解：,对于反变量以外的非号应保留不变,E,1、逻辑函数的代数变换,“与或表达式”,“与非-与非表达式”,“与或非表达式”,同一逻辑函数可用不同的逻辑代数式表示,代数变换,2.1.3 逻辑函数的代数化简法,“或-与”表达式,“或非-或非” 表达式,2、逻辑函数的代数化简法,常用的逻辑函数的化简方式：1、公式法（代数法） 2、卡诺图,（

5、2）吸收法（利用 A + AB = A）,= AB + C,利用反演律,利用吸收律,（4）配项法（利用 A + A = 1，增加必要的乘积项）,公式法化至最简与或表达式的标准： 乘积项的个数最少。 每个乘积项中的变量数最少。,去括号,例2.1.7 已知逻辑函数表达式为,要求：1）最简的与-或逻辑函数表达式； 2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。,解：,对表达式取两次非，然后按摩根定理分开下面的取非线。,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,2.2.1 逻辑函数最小项,逻辑函数最小项 - 输入变量的乘积项,(1) 每个乘积项都包含了全部输入变量；,(2) 每个输入变量都以原变量或者反变量的形式 在乘

6、积项中出现，且仅出现一次。,如两变量 A、 B，共有 4 组取值组合,A、,A + B、,不是最小项,注意：,AB,- 4个最小项,n 个输入变量的逻辑函数有 2n个最小项。,2输入变量: 22 = 4个最小项,3输入变量: 23 = 8个最小项,4输入变量: 24 = 16个最小项,逻辑函数最小项个数：,最小项个数是逻辑函数输入变量的取值组合的个数,两变量最小项真值表,1 1,1 0,0 1,0 0,AB,A B,（1）最小项的性质,在输入变量的任一取值组合下,必有一个最小项, 而且仅有一个最小项取值为1;,1,0,0,0,1,c. 在输入变量的任一取值组合下,任意两个最小项的 乘积为0;,

7、d. 在输入变量的任一取值组合下,全体最小项之和为1。,（2）最小项编号,最小项编号：,两变量最小项：,m0,m1,m2,m3,00,01,10,11,变量取值组合：,把最小项中的原变量用 1 表示，反变量用 0 表示，对应2进制数用十进制数表示，即为该最小项的编号。,把最小项对应的变量取值组合转化为十进制数，作为该最小项的编号。,最小项与变量取值组合一一对应,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项的和，即最小项表达式，它是一个标准“与或”表达式，而且这种形式是唯一的。,= m6+ m3 + m7,= m（ 3 , 6, 7 ）,最小项表达式,（4）最小项

8、表达式特点：,为“与或”逻辑表达式； “与或”式中的每个乘积项都是最小项； 任何一个逻辑函数最小项表达式是唯一的。,L,利用反演律去掉非号,去括号,将AB乘以,解：,利用反演律去掉非号,去括号,1. 卡诺图,0 1,0 1,AB,二变量卡诺图,将逻辑函数的最小项按相邻规律填入一个方框内，此方框称为卡诺图( 有2n 个小方格, n为输入变量个数 )。,变量 B 的可能取值,两变量卡诺图有 2 2= 4个方格,变量 A 的可能取值,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,BC,00 01 11 10,0 1,ABC,三变量卡诺图,变量 A 的可能取值,变量 BC 的可能取值,三变量卡诺图有 2 3= 8

9、个方格,注意: BC 的取值排列为 00 01 11 10 是为了使相邻最 小项只有一个变量取值不同, 以便化简.,00 01 11 10,00 01 11 10,ABCD,四变量卡诺图,变量 CD 的可能取值,变量 AB 的可能取值,卡诺图特点： 即两个相邻的方格单元其输入变量的 取值只有一位不同 - 逻辑相邻性.,00 01 11 10,00 01 11 10,ABCD,0 0 0 0 0,1）由逻辑表达式得到其卡诺图,2. 卡诺图的画法,1 1 1,方法：1. 将逻辑函数化为最小项表达式； 2. 填写卡诺图。,例：用卡诺图表示逻辑函数,表达式中出现的 最小项, 卡诺图对应 方格中填 1;

10、 其余方 格中填 0 .,L,101 111 110,- 任何逻辑函数表达式等于其对应卡诺图中为1的方格所对应最小项之和 .,卡诺图 逻辑函数表达式,画出下式的卡诺图,例,解：,1,1,1,1,1,L（A，B，C，D）,15 1111,13 1101,10 1010,6 0110,0 0000,2）由真值表得到其卡诺图,方法：1、找出真值表中输出为1对应的取值组合； 2、在卡诺图相应的格内填1，其余格填0。,1,0,1,0,卡诺图特点：,1、卡诺图与逻辑函数最小项表达式对应。,2、卡诺图中相邻1单元合并等同于相邻的最小项相 加（或）。,3、卡诺图中相邻1单元合并为一个乘积项，在乘积 项中将消去

11、取值不同的变量。,= AB,可实现对逻辑函数的化简。,0,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,根据相邻单元的特点，只要有两个相邻单元取值同为1，可以将这两个最小项合并成一乘积项，并消去一 个取值不同的变量，保留取值相同的变量（保留变量中取值1以原变量出现，取值0以非变量出现）。,1、卡诺图化简的依据：,0,如果是四个（22）几何相邻单元取值同为1，则可 以合并成一乘积项，并消去两个取值不同的变量, 保留取值相同的变量.,= C,1 1 1 1,1 1 1 1,如果是八个（23）相邻单元取值同为1，则可以合 并为一个乘积项，并消去三个取值不同的变量, 保留取值相同的变量,1 1 1 1,1 1 1

12、 1,L = 1,利用对称相邻性可以实现化简,1,1,1,1,左右边相邻,上下底相邻,1,1,1,1,1,四角相邻,左右边相邻,特别注意：包围圈内的方格数一定是2n个（1、2、 4、8、16等），且包围圈必须呈矩形。,1,1,1,1,2、用卡诺图化简逻辑函数的步骤：,(1) 写出最小项表达式；,(2) 画卡诺图；,(3) 合并最小项（1单元）。即将相邻的1单元圈成 一组（简称画矩形包围圈）。对每一个矩形包 围圈写成一个乘积项。,(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。,(5) 结果为最简“与或”表达式。,一般规则是：,如果有2n个最小项（1单元）相邻（n=0，1，2，3)，则它们定可圈成一个包围

13、圈合并为一个乘积项, 在该乘积项中消去n个因子（取值不同的变量）, 仅包含这些最小项的公共因子（取值相同的变量）。,合并后的乘积项中： 仅包含取值相同的变量，当变量取值为1时，以原变量形式出现，取值为0时，以反变量形式出现。,用卡诺图化简遵循的原则：,（1）每个包围圈应包含尽可能多的1单元；,（2）包围圈的数目应尽可能少；,（3）各 1 单元可以重复使用，即同一个单元可以被圈在不同 的包围圈内；,（4）所有等于1的单元都必须被圈过；,（5）每新增一个包围圈必须包围至少1个未被圈过的1单元。,错误的圈法 因为多余,1,1,1,1,1,1,1,1,1,例：用卡诺图化简,1,利用反演规则得：,解：,

14、(1) 什么叫无关项？,3、 具有无关项的逻辑函数及其化简,某些逻辑问题中，其真值表内对应于输入变量的某些取值下，输出可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值对应的最小项称为任意项或约束项。,例：有这样一个逻辑电路，功能为能够判 1 位 十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数 时，电路输出为 1，当十进制数为偶数时，电 路输出为 0。,(2) 无关项在逻辑函数化简中的应用,解：1）根据题意，列写真值表,用8421BCD码来表示十进制数,（1）输入变量：A,B,C,D,输出变量：L,（2）按题意对输入变量，输出变量进行赋值,1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1,0 0 0 0 0 0 0