要说明什么是集合-有多种描述方法：“所要讨论的一类对

1、Peking University，1，第一章集合，Peking University，2，集合是数学中最基本的概念。 既然是最基本的概念，就没有太多的定义，一般只不过是说明。 解释什么是集合有好几种记述方法。 “讨论的对象种类的整体”“具有相同性质的尤针织面料的集合体”等。 讨论某种对象时，将该种对象的整体称为集合。 集合中的对象将成为集合中的元素。 Cantor意味着将我们无意识地或在思想中指定的、彼此完全不同的对象的总和作为一个整体来考虑。 把这些个的对象称为这个集合的要素。Peking University，3，1.2集合的概念和集合间的关系1.3集合的运算1.4基本集合常数式*1.5

2、集合列的界限、Peking University，4，1.2集合的概念和集合间的关系、集合的概念集合的表现集合间的关系例如xA、yA。 (1)列举法-列举集合中的所有要素，要素之间用逗号分隔，用大括号括起来。 例：设a为a、b、c、d为要素的集合，b为正的双位数集合，则通过说明A=a、b、c、d、b=2、4、6、8、(2)记述法-集合中的要素具有的共同性质来定义集合。 用谓语P(x )表示x具有性质p，用x | P(x )表示具有性质p的集合。 例如，P(x):x是英文字母，Q(y):y是十进制数。 C=x|P(x )和D=y|Q(y )分别表示关2.6字符的字母和1.0进制的集合。 (1)集

3、合中的元素是不同的；2 )集合中的元素没有规定顺序；3 )集合的两个表达方法，其中B=x|x N并且x为非零双位数，或8一些常用的集合及其符号： n (自然数) 3360 *是闭合的且逆运算不闭合的z (整数) 3360及其逆运算，*是闭合的而*逆运算不闭合的q (有理数集合) 3360，*是逆运算闭合并且在整个序列区域中稠密的空隙(不连通) 有c (多个集合)的Peking University，9、集合间的关系、子定径套、等价、真子定径套空集合、应全集的集合、n元集合、有限集合族、Peking University、1.0、定义1.1给定的集合，b中的各要素如果是a中的要素，则b 假设A=

4、a、b、c、B=a、b、c、d、C=a、b，则A B、C A、C B是由子定径套所定义的任何集合a、b、c、AA (自反射性) (AB)(BC)(AC ) (传递性)、封装通用或者在(2)a中找不到不属于b的要素。 或者(3)对xA有xB。 “a不是b的子定径套”意味着a的至少一个元素不属于b。 (xA，其中xB )记为A B。 1.2、证明： AB (x)(xA xB )证明： ab (ab ) (x ) (xaxb ) (x ) (xa ) (XB ) (x ) (xaxb )、封装通用、1.3、定义1.2个和，如果a包含b，b包含a，则为a 记作集合不相等。 假设A=B (x)(xAxB

5、) (A B) (B A )，例如，A=2，b=1，4，C=x|x2-5x 4=0，D=x| x是双位数素数，则A=D，B=C，封装统一，1.4，定义1.3给出的集合和，以及真实的假设AB (x)(xAxB)(x)(xBxA )是三个集合，c从定义来看，以下三个命题为真： a； (2)如果是ab的话，将ba (3)如果是ab和B C的话，将不包含A C、Peking University、1.5、空集合定义1.4要素的集合称为空集合，进行记述。 例如，x|P(x)P(x )和P(x )是任意谓词。 A=x|xRx210是空集合，在公式中表示实数集合。 全集定义1.5研究某个问题时，如果讨论的集

6、合都是某个集合的子定径套的话，就把这个集合称为全集，记下来。 也就是说，x|P(x)P(x )。 (P(x )是任意谓语)显然，全集的概念相当于论域，它是相对概念。 例如，讨论(a，b )的实数的话，(a，b )为全集。也可以将a、b )、(a、b、实数集r等作为全集。 Peking University、1.6、定理1.1空集是任意集合的子定径套。 证明：推理空集是唯一的。 证明：反证法、Peking University、1.7、定理1.1空集是任意集合的子定径套。 证明：任意集合为空集合。 (x)(xxA )永远是真的，因为条件等式的前件(x )永远是假的，所以这个条件等式都是真的。 在

7、子定径套的定义中，a为真。 #、推理空集是唯一的。 证明：证明：假设1和2是两个空集合。 定理2、1.2和2.1。 定理1，根据1.2。 #、Peking University、1.8、1.6集合的所有子定径套组成的集合应定义为P(A )。 在描述性方法中，P(A)=x | xA被表示出来。 性质(1) x P(A )只有x A。 (2)设a、b为两个集合，a、b仅为p (a )、p (b )。 Peking University，1.9，如a、b、c，则为0元子定径套： 一元子定径套： a、b、c； 假设在二维子定径套： a、b、a、c、b和c的三维子定径套：包括a、b、c、a、b、a、c、

8、b、c、a、b、c和n个元素体的集合是n维定径套(n1)、封装通用性、2.0和定理1.2中存在a个元素体在(x y)n的展开式中，x=y=1得到：此外，由于a，P(A )的要素的数量是：a的所有要素构成的子定径套的数量从要素中取要素的组合的数量： #，Peking University，2.1，定义1.7将a设为集团，将s设为集团，对于任意的s是唯一的当证明a的所有集合对应于s的某个要素时，a把s作为指标定径套的空集合族，集合族：由集合构成的集合，定义： a作为集合。 a的元素体都是集合时，将a称为集合族。 如果集合族a可以表示为A=Sd|d D，则d称为集合族a的指标定径套。 假设2.2、例

9、如1是A1=x|xN x为奇数、A2=x|xN x为双位数，则以A1、A2是1、2为指示符定径套的集团2 P(A )是一个集团，A1、A2、A3、 是集合的系列，在两者之间是不同的这里，z是自然数定径套，是指标定径套。 3p是质数，Ak=x|x=k(mod p )，k=0，1， p-1，A1，A2， Ap-1是以0，1，2， p-1为指标定径套的集团， 当将2.3、多重集定径套设为集合体e时，e中的元素体不是在a中仅出现一次的集合a，而是称为多重集，当在e中元素体在a中出现k(k0 )次时，将a中的重复度称为k 集合可以看作是各要素的重复度在1以下的多重集。、Peking University

10、、2.4、1.3集合的运算定义了1.8，作为2个集合，将由and的所有要素构成的集合称为and之和，标记为和运算符，将AB的记述法表示为ABxxAxB，将A=x|x N 5 x 10、B=x| x N x 10 x表示为素数78，9，1.0，Peking University，2.5，集合的并行运算可扩展到有限个或数个集合，Peking University，2.6， 定义1.9是2个集合，将由和的公共要素构成的集合称为和的交点，将AB的记述法表示为ABxxAxB，如果作为A=x|x N 5 x 10的B=x| x N x 10 x是素数，则ab=5， 7、集合的正交运算可扩展为有限或数个集合

11、，封装通用，2.7，定义1.10为两个集合，如果=，a，b不相交，A1，A2，数个集合，对于任何ij，iAj=，A1， A2 .不相交的Peking University，2.8定义了1.11，作为2个集合，将不属于的全部要素构成的集合称为b对的相对补充集合，称为相对补充运算符，AB的记述法是将ABxxAxB定义1.13定义为e全集，将AE，a对e的相对补充集合称为a的绝对补充集合EA简称为a，称为绝对互补算子，a的描述表示为A=xxExA，Peking University，2.9，定义1.12，作为两个集合，由不属于b或不属于a的所有元素构成的集合表示为与b的对称差， AB的描述符称为“对

12、称差算符”，其中abx (xaxb ) ab=(ab ) (ba ) (ab ) (ab ) (ab ) (ab ) (ab ) (ab ) (ab )表达式，其中A=x|x R 0 x 2，B=x| x R 1 x 3，则ab=x|xrr0x1=0 设ab=0，1 ) 2，3 ) r为全集，则在A=(-，0) 2)、Peking University、3.0、文氏图中，集合可以表示为：abxxaxbabxaxab (ab ) (ba ) a=xx exa、文氏图注意：文氏图只是直观且形象地表现某集合间的关系和运算结果，不能用于证明集合方程式和包含关系。 粘贴通用性，3.1，例子2求出a、b、

13、c、d、Aa、c、Ba、b、c、d、c、a、b、c。 解：例1设为a1、2、3、b1、4、C3。 求出AB、BA AB、BA、AB、AB、CA、BC。 获得关3.2字，例如2a、b、c、d、Aa、c、Ba、b、c、d、c、a、b和c。 理解： A b、d、b、C a、b、c、dE。 例1设为a1、2、3、b1、4、C3。 求出AB、BA AB、BA、AB、AB、CA、BC。 将： ab1、2、3、4 baa b1b aab 2、3ab 2、3、4c a3、BC、Peking University、3.3、定义1.14作为集团，将a中的全部元素体的集合称为a的广义和，标记为a，称为广义和算子，称

14、为“大和”的a 如果设d、e、f，则将A=a、b、c、d、e、f、定义1.15设为非空的集合，将由a中的全部要素的共同要素构成的集合设为a，将广义的交叉设为a，读为“大交”，将a的记述法表示为A xz(z A xz )的例子： a=1，2，3 Peking University，3.4，广义上的交涉例，Peking University，3.5， 第一类运算：绝对补全，求幂集合，广义的交例从右向左的顺序是第二类运算：然后，交例，相对补全，对称差从左到右的顺序是由括号决定的，运算的优先级，Peking University，3.6，穷集合的计算包含排斥原理该定理包含排斥原理，简称排斥原理，Pek

15、ing University、3.7、Peking University、3.8、排斥原理的应用，例1.1是介于1到10000之间的整数的平方，也不是某整数的立方数吗？ Peking University，3.9，例1.2对2.4名科技人员进行了外语情况调查，统计资料如下：英、日、德意志、法语人数分别为1.3，5，1.0，9。其中会说英语和日语的有2人，会说英语和德意志语的有4人，会说云同步、英语和法语的有4人，会说日语的有法语和德意志语的有4人，只会一种语言的有多少人会说英语、德意志、 法语也会说云同步的人数有多少呢？将已知代入“Peking University”、“4.0”|“a|=|b| c|-|ab|-|AC|-|BC|-|BD|-|CD| Abd| ACD|-|ABCD|中在只说一英日法语的人数分别为x1、x2、x3的x4中，x1=|a| (