第六节空间直角坐标系

1、第六节 空间直角坐标系,分析解答本题可根据长方体的特征，建立适当的空间直角坐标系，然后对特殊点，可直接写出坐标，对于非特殊点，可找出它在xOy平面上的射影以确定其横、纵坐标，再找出它在z轴上的射影以确定其竖坐标,解如图所示，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系 长方体的棱长AD3，DCAB5，DD1AA14， 显然D(0,0,0)，A在x轴上，A(3,0,0)； C在y轴上，C(0,5,0)；D1在z轴上，D1(0,0,4)； B在xOy平面内，B(3,5,0)； A1在xOz平面内，A1(3,0,4)； C1在yOz平面内，C1(0,5,4)

2、 由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)， B1的横坐标为3，纵坐标为5. B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)， B1的竖坐标为4，B1的坐标为(3,5,4),规律总结(1)建立空间直角坐标系时，应遵循以下原则： 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； 充分利用几何图形的对称性 (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标,变式训练1 右图为一个正方体截下的一角PABC， |PA|a，|PB|b，|PC|c，建立如图坐标系，则 ABC的重心G的坐标为_,【解析】,【答案】,

3、空间点的对称问题,求点A(1,2，1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B、C的坐标，以及B、C两点间的距离,分析通过点A向x轴及平面xOy作垂线，然后再写坐标,解过A作ANx轴于N，并延长到点B，使NBAN，则A与B关于x轴对称且B(1，2,1) 过A作AMxOy交平面于M，并延长到C，使CMAM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1) A(1,2，1)关于x轴的对称点为B(1，2,1)， A(1,2，1)关于坐标平面xOy的对称点为C(1,2,1)，,规律总结(1)关于哪条轴对称，则哪个坐标不变；另两个坐标变为原来坐标的相反数； (2)关于原点对称，三个坐标都变为原坐标的相反数,变

4、式训练在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,5,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为() A(4,0,6) B(4,5，6) C(4,0，6) D(4,5,0),【答案】C,【解析】点关于y轴的对称点应该是x、z坐标与原坐标互为相反数， y坐标不变，点在平面xOz上的射影应该是x、z坐标不变，y坐标变为0.,空间两点间的距离公式的简单应用,(12分)如图所示，已知点A(1,1,0)，对于z轴正半轴上任意一点P， 在y轴上是否存在一点B，使得PAAB恒成立？ 若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由,分析假设存在满足题设条件的点依据PAAB，得到PA2AB2PB2；再由

5、两点间距离公式，得关于待求量的方程；解方程，若有解，则存在，若无解，则不存在,解设P(0,0，c)，B(0，b,0)，对于z轴正半轴上任意一点P，假设在y轴上存在一点B，使得PAAB恒成立，则|PA|2|AB|2|PB|2，3分 (01)2(01)2(c0)2(10)2(1b)2(00)2(00)2(0b)2(c0)2，6分 即3(b1)2b2，8分 解得b2，10分 存在这样的点B，当点B坐标为(0,2,0)时，PAAB恒成立12分,规律总结在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹其核心就是利用两点间的距离公式，建立等量关系或方程,

6、变式训练已知三点A(1,1,2)，B(1,2，1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由,【解析】 |BC|AB|，若A，B，C三点共线，有|BC|AC|AB|或|AC|BC|AB|， 若|BC|AC|AB|，整理得5a218a190，此方程无解； 若|AC|BC|AB|，整理得5a218a190，此方程无解 不存在实数a，使A、B、C共线,1空间直角坐标系(右手直角坐标系) (1)右手直角坐标系的建立规则： x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指 (2)已知点的坐标P(x，y，z)作点的方法与步骤： 沿x轴正方向(x0时

7、)或负方向(x0时)或负方向(y0时)或负方向(z0时)移动|z|个单位，即可作出点 (3)已知点的位置求坐标的方法： 过点P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a，b，c，则(a，b，c)就是点P的坐标,2一些特殊点的坐标表示 在x，y，z轴上的点分别可以表示为(a,0,0)，(0，b,0)，(0,0，c) 在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为(a，b,0)，(a,0，c)，(0，b，c),3关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标的关系 点P(a，b，c)关于x轴的对称点的坐标为(a，b，c)； 点P(a，b，c)关于y轴的

8、对称点的坐标为(a，b，c)； 点P(a，b，c)关于z轴的对称点的坐标为(a，b，c)； 点P(a，b，c)关于坐标平面xOy的对称点为(a，b，c)； 点P(a，b，c)关于坐标平面xOz的对称点为(a，b，c)； 点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为(a，b，c)； 点P(a，b，c)关于原点的对称点(a，b，c),4中点坐标公式 已知空间两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则线段PQ的中点坐标为 . 5利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 (1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线 (3)得到一些简单的空间轨迹方程,已知点A(3，1,1)，点B(2,2,3)，在x、y、z轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离,错解设L点的坐标为(x，y，z)，由题意得LALB.由两点间的距离公式得： (x3)2(y1)2(z1)2(x2)2(y2)2(z3)2， 即x3y2z30，有无数解， 故L有无数个位置，同理M、N也有无数个位置,错解分析对于坐标轴上点的坐标特征不明确，没有充分利用坐标轴上点的特征事实上，设x轴上的点L的坐标为(x,0,0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值类似可求得点M、N的坐标,正解设L、M、N的坐