第二讲2MATLAB符号计算

1、第3章MATLAB中的符号计算，2020年7月8日，本章内容，3.1符号计算基础3.2微分运算3.3积分运算3.4泰勒级数3.5求解方程3.6积分变换，3.1符号计算基础，3.1.1符号对象1。建立符号变量和符号常数(1)符号函数S=符号(A)符号函数用于建立单个符号变量，例如，定义符号常数，如pi=符号(pi)A=符号(3/4)。示例3.1检查了符号变量和数值变量之间的差异。在MATLAB命令窗口中，输入命令：a=符号(a)；b=符号(b)；c=符号(c)；d=符号(d)；%定义了4个符号变量w=10x=5；y=-8；z=11%定义了四个数值变量A=a，b；建立符号矩阵A，B=w，x；y，z

2、%建立数值矩阵B det(A)%计算符号矩阵a det(B)%计算数值矩阵B的行列式，例3.2比较代数运算中符号常数和数值变量之间的差异。在MATLAB命令窗口中，输入命令：pi1=符号(pi)；k1=sym(8)；k2=sym(2)；k3=sym(3)；%定义符号常数pi2=piR1=8；R2=2；R3=3；%定义数值变量sin(pi1/3)%计算符号表达式值sin(pi2/3)%计算符号表达式值sqrt(k1)%计算符号表达式值sqrt(r1)%计算数值表达式值sqrt(k3 sqrt(k2)%计算符号表达式值sqrt(r3 sqrt(r2)%计算数值表达式值，(2)syms函数的一般调用

3、格式为：syms var1 var2 varn函数定义符号变量var1、var2、varn等。以这种格式定义符号变量时，不要在变量名中添加字符分隔符()，并用空格而不是逗号分隔变量。2.建立符号表达式示例3.3以两种方式建立符号表达式。在MATLAB窗口中，输入命令：U=符号(3*x2 5*y 2*x*y 6)%，定义符号表达式U符号x y；%建立符号变量x，y V=3*x2 5*y 2*x*y 6%定义符号表达式V 2*U-V 6%计算符号表达式的值，并在例3.4中，计算三阶范德蒙矩阵的行列式。设A是由符号变量A、B和c确定的范德蒙矩阵。命令如下：U=a、b、c。A=1，1，1。u；U.2%

4、建立范德蒙符号矩阵det(A)%计算A的行列式值，示例3.5建立x和y的一般二进制函数。在MATLAB命令窗口中，输入命令：syms x y；f=sym(f(x，y)；3.1.2基本符号运算(1)符号表达式的代数运算与矩阵运算基本一致，详见P9596。(2)符号和值之间的转换：符号、数字、求值、符号2多、多符号数字、求值：将符号常数转换为数字或计算表达式的函数；符号多项式：将符号多项式转换成等价的系数向量。Poly2sym:要求用户指定变量(x、y等。)来表达。例3.6f=sym(2 * x27 * x9)n=sym 2 poly(f)f1=poly 2 sym(n，y)，(3)因式分解和展开

5、因子(S)因式分解S，S是符号表达式或符号矩阵。展开(S)展开S，这是一个符号表达式或符号矩阵。收集(S)将类似的项目与合并，其中S是符号表达式或符号矩阵。Collect(S，v)根据变量v将类似的项与S组合在一起，S是一个符号表达式或符号矩阵。例3.7分解符号矩阵a的每个元素。命令如下：a=2 * a2 * B3 * x2-4 * a * B4 * x3 10 * a * B6 * x4，3 * x * y-5 * x2；4，a3-B3；因子(A)%对每个元素进行因子分解，在示例3.8中，计算表达式的值。命令如下：s=sym(-7 * x2-8 * y2)*(-x2 3 * y2)；s2=展

6、开(s)%展开s2=收集(S，x)%根据变量x合并相似项(无相似项)因子(s2)%分解s2的因子，(4)表达式简化MATLAB提供以下简化符号表达式的函数：通过应用函数规则简化S。Simple调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合和简化，并显示简化过程。示例3.9简化命令如下：s=(x2 y2)2(x2-y2)2；MATLAB自动调用各种函数来简化S，并显示每一步的结果。(5)符号表达式中变量的确定符号在MATLAB中可以表示符号变量和符号常数。Findsym可以帮助用户在符号表达式中找到符号变量。此函数的调用格式为：findsym(S，n)返回符号表达式S中的n个符号变量，如果未指定n，

7、则返回S中的所有符号变量。在计算函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将根据缺省原理确定主变量并进行相应的微积分运算。您可以使用findsym(S，1)来查找系统的默认变量。实际上，MATLAB是根据最近字符X的原理来确定默认变量的.3.2微分运算，3.2.1极限运算的符号表达式极限函数的调用格式是：limit (f，x，a) limit (f，a)limit (f)limit (f)limit(f)limit函数的另一个函数是查找单侧极限，其调用格式是：limit(f，x，a，右)limit(f，x)在MATLAB命令窗口中，输入命令：syms a m x；f=(

8、x(1/m)-a(1/m)/(x-a)；极限(f，x，a)%(1)f=(sin(a-x)-sin(a-x)/x；极限(f)%求极限(2)极限(F，inf)%求函数在x处的极限(包括和)极限(F，x，inf，左)%求极限(3) F=(sqrt (x)-sqrt (a)-sqrt (x-a)极限(F，x，a，右)%求极限(4)，3.2.2符号函数的求导及其应用在MATLAB中的求导函数是：diff(f，x，n) diff函数求函数的n阶导数默认值与limit相同，默认值n为1。寻找函数的导数。命令如下：符号a b t x y z；f=sqrt(1 exp(x)；差异(f)% (1)。未指定导数变量

9、和顺序，f=x*cos(x)根据默认规则进行处理；差异(f，x，2)%和(2)。求f到x的二阶导数差(f，x，3)%，然后求(2)。求f到x的三阶导数f1=a * cos(t)；F2=b * sin(t)；(3)对于diff(f2)/diff(f1)%。根据参数方程的导数公式，求出y对x的导数(diff (f1) * diff (f2，2)-diff (f1，2) * diff (f2)/(diff (f1) 3%，并求出(3)。得到y到x=x * exp (y)/y2的二阶导数f。差异(f，x)% (4)。z到x (4)的偏导数差(f，y)%。z到y的偏导数f=x2 y2 z2-a2；(5)

10、对于zx=-diff(f，x)/diff(f，z)%。根据隐函数的导数公式，求出z对x的偏导数zy=-diff(f，y)/diff(f，z)% (5)。根据隐函数的导数公式，求出Z到Y的偏导数，例如3.12，在曲线y=x3 3x-2上的点，切线平行于直线y=4x-1。命令如下：x=sym(x)；y=x33 * x-2；%定义曲线函数f=diff(y)；%取曲线g=f-4的导数；求解(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线的导数是4，3.3积分运算，3.3.1不定积分。在MATLAB中，不定积分的函数是int，它的调用格式是：int(f，x) int函数求变量x的不定积分。参数x可以默认，默认原则

11、与diff函数相同。例3.13不定积分。命令如下：x=sym(x)；f=(3-x2)3；不定积分(1)的int(f)% f=sqrt(x3 x4)；F1=int(f)%求不定积分(2) g=simple(f1)%调用简单函数简化结果，3.3.2定积分定积分在实际工作中被广泛使用。在MATLAB中，用函数int(f，x，a，b)例3.14计算定积分。命令如下：x=sym(x)；t=符号(t)。Int(abs(1-x)，1，2)%定积分(1)f=1/(1 x2)；Int(f，-inf，inf)%负无穷大到正无穷大(2) int(4*t*x，x，2，sin(t)%定积分(3)f=x3/(x-1)10

12、0；I=int(f，2，3)%使用符号积分法确定积分(4)双(I)%，将上述符号结果转换为数值，并计算示例3.15中椭球体的体积。命令如下：符号a b c z；f=pi * a * b *(C2-z2)/C2；V=int(f，z，-c，c) V=4/3*pi*a*b*c，示例3.16竖井长度为10m。如果轴的线密度计算公式为f(x)=6 0.3x kg/m(其中x是距轴端点的距离)，则计算轴的质量。(1)符号函数积分在MATLAB命令窗口中，输入命令：符号x；f=60.3 * x；首先，一个函数文件FX。m:为数值积分建立函数FX=FX(x)FX=60.3 * x；在MATLAB命令窗口中，输

13、入命令：m=四边形(fx，0，10，1e-6)，在示例3.17中，计算从点(0，0，0)到点(3，3，2)的空间曲线c的长度。求曲线长度的命令是曲线类型一，如下所示：x=3 * t；y=3 * t2z=2 * t3F=diff(x，y，z，t)%求x，y，z对参数t的导数g=sqrt(f*f)%计算I型积分公式的根部分l=int(g，t，0，1)%计算曲线c的长度，3.4泰勒级数，3.4.1泰勒级数的函数命令如下：x=sym(x)；f1=(1 x x2)/(1-x x2)；F2=sqrt(1-2 * x x3)-(1-3 * x x2)(1/3)；(1)的泰勒(f1，x，5)%。扩展到x泰勒的

14、4次方(f2，6)%，得到(2)。在3.19中，多项式被表示为x 1的幂的多项式。命令如下：x=sym(x)；p=1 3 * x 5 * x2-2 * x3；实例3.20的f=泰勒(p，x，-1，4)是由泰勒公式近似计算的。命令如下：x=sym(x)；f=(1-x)(1/12)；%定义函数，4000 (1/12)=2f (96/212) g=泰勒(f，4)%求泰勒展开式g的f，有4000(1/12)2g(96/212)b=96/212；a=1-b/12-11/288 * B2-253/10368 * B3 %计算g(b) 2*a%并得到4000(1/12)%的结果，该结果由MATLAB的幂运算

15、直接计算，3.5求解方程，3.5。Var1，Var2，varn) solve (p * sin (x)=r) x，y=solve(x2 x * y=3，x2-4 * x 3=0) p107108举个例子，请参考3.5.2求解常微分方程，函数dsolve的调用格式是dsolve(方程n1，条件，var)，它在初始条件下求解微分方程的特解方程n1。参数var描述了方程中自变量的符号。如果省略，将根据默认原则进行处理。如果没有给定初始条件，则得到方程的通解。解微分方程解算器的调用格式是：解算器(eqn1，eqn2，eqnN，condition1，conditionN，var1，varN)函数，在初始条件条件条件1，和条件n下解微分方程方程方程eqn1，eqnn，如果没有给定初始条件，将会找到方程的通解。解溶参数描述，(1)Eqn微分方程输入方法：示例：命令：y=解溶(d2y-2 * dy-3 * y=0，x) (2)条件初始条件y(a)=b；dy(a)=c；D2y(a)=d。最多可接受12个输入参数。例3.25求微分方程的通解。命令如下：y=dsolve(Dy-(x2 y2)/x2/2，x)% solution (1)。Y=脱溶(dy * x22 * x * y-exp (x)，x)%溶液(2) y=脱溶(dy-x/y/sqrt (1-x2)，x)%溶液(3)在等式右端为0时可以省略。