高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值复习课件 新人教a版选修23

1、2.3.1 离散型随机变量的均值,1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义. 2.能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望),并能解决一些实际问题. 3.会求两点分布和二项分布的均值.,1.本课时的重点是离散型随机变量均值的概念、两点分布和二项分布的均值及离散型随机变量均值的应用. 2.本课时的难点是应用离散型随机变量解决实际问题.,1.离散型随机变量的均值或数学期望 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 (1)数学期望E(X)= _ (2)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的_.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn.,平均水平,2.均值的性质 若Y

2、=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量, (1)Y也是随机变量, (2)E(aX+b)=_. 3.两点分布、二项分布的均值 (1)两点分布:E(X)=_. (2)二项分布:若XB(n,p),则E(X)=_.,aE(X)+b,p,np,1.若某人投篮的命中率为0.8,那么他投篮10次命中的均值为8的含义是什么? 提示：某人投篮的命中率为0.8,是通过大量重复的试验推断出来的一个均值.由于每次试验是相互独立的,投一次可能成功,也可能失败.也就是说投篮10次可能一个球也没进,也可能进了几个球,只是从平均意义上讲10次投篮进8个球.,2.分布列为 的随机变量的均值为_ 【解析】 答案：,3.若随机

3、变量X服从二项分布B(4， )，则E(X)的值为_ 【解析】n4，p ，E(X)np 答案：,1.离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系,2.对均值概念的理解 (1)均值的含义：均值是离散型随机变量的一个特征数,反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)均值的来源：均值不是通过一次或几次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值. (3)均值与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数.,求离散型随机变量的均值 【技法点拨】 求离散型随机变量的均值的两个步骤 (1)列：列随机变量的分布列 理解随机变量X的意义,写出X的可能取得的全部值; 求X的

4、每个值的概率； 写出X的分布列. (2)求：由均值的定义求出E(X). 其中(1)是求解此类问题的关键所在.,【典例训练】 1.某射手射击所得环数的分布列如下： 已知的数学期望E()8.9，则y的值为_,2.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投 递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ， 得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面 试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)= ，则随机变量X的数学期望E(X)=_.,3.一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标

5、有数3，4，5，6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量=x+y，求的分布列和数学期望. 【解析】1.由分布列可得x0.6-y，且7x0.82.710y8.9，解得y0.4. 答案：0.4,2.由 可得 ,从而 所以E(X)= 答案：,3.依题意，随机变量=5，6，,11，则有 P(=5)= ,P(=6)= ,P(=7)= ,P(=8)= , P(=9)= ,P(=10)= ,P(=11)= 的分布列为,【互动探究】在题1题设不变的情况下，求E(2+5)的值. 【解析】E(2+5)=2E()+5=28.9+5=22.8.,【想一

6、想】求解题1中的未知量用到了什么知识？求解题2中事件“X=1”的含义是什么？ 提示：(1)解题1中的未知量用到分布列的性质及数学期望的定义. (2)事件“X=1”的含义是“该毕业生得到面试的公司有且仅有一个”.,【变式训练】已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设为取出的次数，求的分布列及E(). 【解题指南】求解本题注意两点：一是“取后不放回”； 二是“直到取出2个正品为止”.,【解析】P(=2)= P(=3)= P(=4)= 的分布列如下： E()=2P(=2)+3P(=3)+4P(=4)=,两点分布及二项分布

7、的均值 【技法点拨】 1.常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E(X)=p; (2)二项分布E(X)=np. 熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度.,2.两点分布与二项分布辨析 (1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点： 随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x=0,1,2,，n. 试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.,【典例训练】 1.(2012威海高二检测)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为

8、X，则X的数学期望为( ) (A)100 (B)200 (C)300 (D)400,2.若X的分布列为 则E(X)_.,3.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)X表示该地的100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望.,【解析】1.选B.由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二 项分布，即XB(1 000，0.2)，所以X的数学期望E(X)= 1 0000.2=200. 2.由题意知， a1， E(X) 答案：,3.设该车主购买乙

9、种保险的概率为p,由题意知p(1-0.5) =0.3，解得p=0.6. (1)设所求概率为P1，则P1=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. (2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (1-0.5)(1-0.6)=0.2. XB(100,0.2),E(X)=1000.2=20. 所以X的期望是20人.,【思考】题1的解答中XB(1 000,0.2)的原因及解题3(1)用的思想是什么？ 提示：(1)题1的解答中XB(1 000,0.2)的原因是“每粒需再补种2粒，且每粒不发芽的概率均为0.1”. (2)解题3(1)用了对立

10、事件的概率，即“正难则反”的思想.,【变式训练】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18， 19，20层可以停靠若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘 客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用表示这5位乘 客在第20层下电梯的人数，求： (1)随机变量的分布列； (2)随机变量的数学期望,【解题指南】(1)表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则的所有可能值为0，1，2，3，4，5结合变量对应的事件和等可能性事件的概率公式得到变量的概率，写出分布列 (2)根据上一问得到的随机变量的分布列，代入数学期望的计算公式，得到随机变量的数学期望,【解析】(1)的所有可能值为0，1，2，3，4，5. 由等可

11、能性事件的概率公式得 P(=0)= P(=1)= P(=2)= P(=3)= P(=4)= P(=5)=,从而，的分布列为 (2)由(1)得的数学期望为 E()=,均值的应用 【技法点拨】 1.实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.(关键词：均值的应用),2.概率模型的三个解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值. (3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示

12、的结论.,【典例训练】 1.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( ),(A)A1 (B)A2 (C)A3 (D)A4,方案,盈利,概率,2.(2012福建四地六校联考)张先生家住H小区，他在C科技园 区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，L1路 线上有A1,A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ；L2 路线上有B1,B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为,(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望； (3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从 上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明

13、理由. 【解析】1.选C.A1的均值为500.25650.30260.4543.7； A2的均值为700.25260.30160.4532.5； A3的均值为-200.25520.30780.4545.7； A4的均值为980.25820.30-100.4544.6. 选方案A3.,2.(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则 P(A)= 所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为 (2)依题意，X的可能取值为0,1,2. P(X=0) P(X=1) P(X=2)=,随机变量X的分布列为： E(X)= (3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布， YB(3, )， 所以E

14、(Y) 因为E(X)E(Y),所以选择L2路线上班最好.,【想一想】影响题1选择的标准是什么？ 提示：影响题1选择的标准是盈利均值的多与少.,【变式训练】已知一台机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作一周五天工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元这台机器在一周内平均获利多少？ 【解析】以表示一周内机器发生故障的次数，则 B(5，0.2). P(=k)=,以表示一周内获得的利润，令=g()， 而g(0)=10，g(1)=5，g(2)=0，g(3)=-2, P(=10)=P(=0)=0.85=0.3

15、27 68， P(=5)=P(=1)=0.409 6， P(=0)=P(=2)=0.204 8， P(=-2)=P(3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)=0.057 92， E()=100.327 68+50.409 6-20.057 92 =5.208 96. 故这台机器在一周内平均获利5.208 96元.,【规范解答】综合应用分布列知识求数学期望 【典例】(12分)(2012临沂模拟)某同学参加3门课程的考试. 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 第二、三门 课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否 取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数， 其分

16、布列为,(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p，q的值； (3)求数学期望E().,【解题指导】,【规范解答】事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知 P(A1)= ，P(A2)=p，P(A3)=q 2分 (1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩 的概率是1-P(=0)=1- 5分,(2)由题意知P(=0)= P(=3)=P(A1A2A3)= 整理得pq= ,p+q=1. 由pq,可得p= 8分 (3)由题意知 a=P(=1)=,= b=P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(

17、=3)=E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3) = 12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)(2012山东高考)现有甲、乙两个靶，某 射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得1分，没有命 中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一 次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假 设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).,【解题设问】射手恰好命中一次的含义是什么？ _. 【规范答题】

18、(1)由于射手每次射击的结果相互独立, 所次)= 3分,分三类：中、不中、不中；不中、中、不中；不中、不中、中,(2)由题意知总得分X的可能取值为0,1,2,3,4,5， P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)= 9分,因此随机变量X的分布列为 10分 所以E(X)= 12分,1.随机变量X的分布列为 则其数学期望E(X)等于( ) (A)1 (B) (C)4.5 (D)2.4 【解析】选D.E(X)=10.5+30.3+50.2=2.4.,2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分X的均值是( ) (A)0.70 (B)6 (C)4.2 (D)0.42 【解析】选C.总得分XB(6,0.7)，E(X)60.74.2.,3.将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)_. 【解析】这是100次独立重复试验，XB(100, )， E(X) 答案：,4.已知E