理解傅里叶级数

1、高等数学,第十章 无穷级数,10.5 傅里叶级数*,10.5.6 小结,10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性,10.5.2 以 为周期的函数的傅里叶级数,10.5.3 区间 上函数的傅里叶级数,10.5.4 正弦级数和余弦级数,10.5.5 以 为周期的函数的傅里叶级数,10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性,函数项级数,称为三角级数，,其中,是常数,称函数族,为三角函数系,三角函数系的正交性是指：,三角函数系中,任何两个不同的函数的乘积在区间,上,的积分等于零,即,10.5.2 以 为周期的函数的傅里叶级数,通常，由下述公式确定的,称为函数,的傅里叶系数,将傅里叶系数值代入 展开式

2、的右端,得到的三角级数,称为函数,的傅里叶级数,定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设,是周期为,的周期函数,如果它满足,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断,点 在一个周期内至多只有有限个极值点,则,的傅里叶级数收敛 并且：,(1) 当,是,的连续点时 级数收敛于,(2) 当,是,的间断点时 级数收敛于,例1 设,是周期为,的周期函数 它在,上的表达式为,将,展开成傅里叶级数,解 所给函数,满足收敛定理的条件，,函数在点,处不连续,在其它点处连续，,从而由收敛定理知道,的傅里叶级数收敛，并且当,时收敛于,当,时级数收敛于,傅里叶系数计算如下,于是,的傅里叶级数展开式为,10.5.3 区间

3、上函数的傅里叶级数,例2 将函数,展开成,傅里叶级数,解 将函数,延拓成以,为周期的函数,易知，函数,满足收敛定理的条,件，傅里叶系数为,所以，函数,的傅里叶级数展开式为,10.5.4 正弦级数和余弦级数,一、正弦级数和余弦级数,定理2 对于周期为,的奇函数,其傅里叶,级数为正弦级数，即傅里叶系数为,周期为,的偶函数,其傅里叶级数为,余弦级数，即傅里叶系数为,例3 将周期函数,展开成傅里叶,级数，其中,为正常数,解 不妨将,看成是,为周期的函数，,满足,收敛定理，先计算傅里叶系数,从而函数,的傅里叶级数是一个余弦级数,二、区间 上的函数的傅里叶级数,将一个定义在 上的函数,进行拓展,这样构造的

4、函数,在,上是一个奇,函数，按这种方式拓展函数定义域的过程,称为奇延拓。,同理，构造函数 为,按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓,例4 将函数,分别展开成,正弦级数和余弦级数,解 先展开成正弦级数,对函数,作奇延拓，,再作周期延拓，满足收敛定理的条件,按公式计算傅里叶系数,从而可得正弦级数,其中在端点,处，级数的和为0,再把函数展开成余弦级数,对函数,作奇,延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件,按公式计算傅里叶系数,从而可得余弦级数,10.5.5 以 为周期的函数的傅里叶级数,定理3 设周期为,的周期函数,满足收敛,定理条件，则它的傅里叶级数当,是,的连,续点时，有,其中,例5 设,是周期为4的周期函数 它在,上的表达式为,将,展开成傅里叶级数，其中,为非零,常数,解 这里,于是,且在点,处,的傅里叶级数,收敛于,例6 将函数,展开成,（1）正弦级数； （2）余弦级数,解 （1）将,先作奇延拓，再作周期,延拓，计算傅里叶系数得,从而可得正弦级数,（2）将,先作偶延拓，再作周期延拓，,计算傅里叶系数得,从而可得余弦级数,10.5.6 小结,1. 三角级数与三角