数学模型(差分方程).ppt

1、1.1差分方程1.2蛛网模型在市场经济中1.3减肥计划饮食和锻炼1.4减速增长模型以差分的形式1.5人口增长按年龄分组，差分方程模型、1.1差分方程，给定一个级数，如果一个方程与级数中的几个项有关，在它的另一侧对大于某一整数的所有整数都有效，那么这个方程就叫做差分方程。(例1)汉诺塔问题：n个不同大小的圆盘按半径依次套在a桩上，大圆盘在底部，小圆盘在顶部。现在，有必要将这N块板移动到空堆B或C中，但要求一次只能移动一块板，在移动过程中，大板应始终保持向下，小板和板向上。移动过程中也可以使用桩a。假设移动N个磁盘的次数为，尝试建立关于的差分方程。解决方案：首先，根据问题的含义将A堆上的n-1个圆

2、盘移动到空的B堆或C堆，这需要移动，然后将A堆上最大的圆盘移动到空的C堆或B堆，这需要移动一次。最后，根据需要将B或C堆上的n-1个圆盘移动到C或B堆，这需要移动，然后得到差分方程：假设兔子将在两个月内成长为成年兔子，同时(即在第三个月)，一对雄性和雌性兔子将在每个月初出生，新加入的兔子将根据这一规则繁殖。让它在月底被分享。对于兔子，试着建立一个差分方程。解决方案：第n个月末的兔子包括两个部分，一个是上个月剩下的，另一个是当月出生的，从标题可知，当月出生的兔子的对数等于上个月兔子的对数。因此，1。常系数线性齐次差分方程的解法解析法，其形式为，称为K阶常系数线性齐次差分方程，其中它是常数和方程。

3、方程(2)的k根称为差分方程(1)的特征根。定理1如果差分方程的特征根互不相同，差分方程的通解是：其中是一个任意常数。在定理2中，如果它是差分方程的特征方程的不同根，并且它是特征方程的多个根，那么差分方程的一般解是：其中在定理3中，差分方程的特征根具有一对共轭复根和k-2个不同的实根，那么差分方程的一般解是：其中实例3，让初始值为，并且找到差分方程。代入初始条件，解是：所以初值问题的特解是：2。利用离散函数(级数)的Z变换，将常系数线性差分方程的Z变换解定义为，其中Z是复变量，因此级数的收敛域在圆之外。的z逆变换可写成：(1)单位脉冲函数的z变换为，1。几个常用的离散函数的变换，(2)单位阶跃

4、函数的变换是，(3)单边指数函数的变换是，2。z变换的性质，(1)线性，假设，那么，这里，是常数，收敛域是，(2)可译性，那么，a，特别是证明：b，特别是证明：例4。求齐次差分方程的解。解：让，改变差分方程得到：从上面的公式得到Z的逆变换得到：这是方程的解。第二，具有常数系数的线性非齐次差分方程的解，具有形状的差分方程，被称为具有常数系数的K阶线性非齐次差分方程，其中它是常数，并且定理4方程(3)的一般解等于其对应的齐次差分方程(1)的一般解，并且该解加上其自身的特殊解，即其中它是(1)的一般解， 注：要找到常系数线性非齐次差分方程的特解，可以参考求常系数线性非齐次微分方程特解的方法。 例5，

5、求非齐次差分方程的通解。解：对应的齐次差分方程的特征方程是，特征根是，所以对应的齐次差分方程的通解是，从给定的非齐次差分方程的右端，它的特解可以设置为，并代入原方程，所以方程的通解是，一些非齐次差分方程也可以转化为齐次方程来求解或通过观察找到特解。例6:解决汉诺威塔问题：解决方法：方法1是这样获得的：因此，一般的解决方法是，从，知道，替换，和获得，所以问题的解决方法是，对应于方法2的齐次差分方程的一般解决方法是，观察到有一个特殊的解决方法，所以一般的解决方法是，从初始条件，问题的解决方法是，在例7中，差分方程的一般解决方法。差分方程1的平衡点和稳定性。一阶常系数线性差分方程和一阶常系数线性差分

6、方程的平衡点和稳定性是稳定的，如果平衡点由解算，则不稳定。很容易知道，平衡点的稳定性问题(4)可以转化为平衡点的稳定性问题。方程(5)的解是，所以方程(2)的平衡点(因此方程(1)的平衡点)是稳定的，当且仅当。对于由N维向量和常数矩阵A组成的方程组，其平衡点稳定的条件是矩阵A，2的特征根。研究了二阶线性差分方程的平衡点和稳定性。(6)的通解是，其中常数由初始条件确定，由(7)得到，当且仅当方程(6)的平衡点是二阶线性非齐次差分方程平衡点的稳定性与方程(6)相同。二阶线性方程的上述结果可以推广到n阶线性方程，即n阶线性。方程平衡点的稳定条件是特征方程的根。一阶非线性差分方程的平衡点和稳定性，一阶

7、非线性差分方程的平衡点，用代数方程求解，现在分析，方程的稳定性。只取一次项，(9)是近似的，(10)是(9)的近似线性方程，也是(10)的平衡点。当等式(9)和(10)的平衡点的稳定性相同时，等式(9)也是稳定的。对于方程(9)，它是不稳定的。1.2蜘蛛网模型在市场经济中，提出了供大于求的问题，现在，在什么条件下商品数量和价格的振荡趋于稳定，当它不稳定时，政府可以采取什么干预措施使其稳定，并描述了商品数量和价格的变化规律，即第xk次振荡，蜘蛛网模型，商品数量；商品价格，消费者需求关系，生产者供给关系，递减函数，递增函数，f和g的交点P0(x0，y0)平衡点，一旦xk=x0，那么yk=y0，xk

8、 1，xk 2，=x0，yk 1，yk 2，=y0，让x1偏离x0。蛛网模型，P0点附近近似曲线为直线，P0稳定，P0不稳定，方程模型与蛛网模型一致，商品数量减少1个单位，价格上升1个单位，供给增量(下一周期)，调查意义，消费者对需求的敏感性和生产者对价格的敏感性都很小，这对经济稳定有利。使其尽可能小，如=0，以行政手段控制价格不变，2。尽可能小，如=0，以控制数量不变的经济实力，结果解释，模型推广，生产者决定下一个时期的产量根据价格的当期和前期。生产者管理水平提高。假设供给函数不变，需求函数不变，二阶常系数线性差分方程，x0为平衡点。平衡点是稳定的，即k，xkx0的条件，即方程的通解，(c1

9、，c2由初始条件决定)，1，2个特征根，即方程的根，而平衡点是稳定的，即k，xkx0的条件是360。1.3饮食计划和运动模式的推广背景，大多数减肥食品不能达到减肥的目的，或者不能保持。通过控制饮食和适当的锻炼，减肥和保持体重的目标可以在不伤害身体的情况下实现。分析表明，体重变化是由体内能量守恒的破坏引起的，饮食(吸收热量)导致体重增加，新陈代谢和运动(消耗热量)导致体重减轻，体重指数=W(体重指数)。BMI30属于肥胖，模型假设1)体重增加与每8000千卡热量吸收1千克的体重增加成比例；2)新陈代谢导致的体重减轻与每周每公斤体重消耗200千卡和320千卡的体重成正比(因人而异)，相当于70公斤

10、人每天消耗2000千卡和3200千卡；3)运动减肥与体重成正比，与运动形式有关；4)为了安全和健康，每周的体重减轻不应超过1.5公斤，每周的热量吸收不应少于10000千卡。某一装甲重100公斤，目前每周吸收20，000千卡热量，其重量保持不变。现在我想减肥到75公斤。第一阶段：每周减少1公斤，逐渐减少每周吸收的热量，直至达到下限(10，000千卡)；第二阶段：每周保持热量吸收下限，减肥达到目标；2)如果你想加速这个过程，在第二阶段增加锻炼，试着安排一个计划。1)安排一个不锻炼的两阶段计划。3)给出达到目标后保持体重的计划。为了确定某一盔甲的代谢消耗系数，即20000/100=200千卡/千克体

11、重/周，基本模型，w(k)在K周结束时的体重，c(k)在K周时的热量吸收，以及代谢消耗系数(因人而异)，1)在不锻炼的情况下的两阶段减肥计划， 每周吸收20000千卡，W=C(k)降至10000千卡的下限，第一阶段为10周，每周体重减轻1公斤，第十周末体重为90公斤。 热量吸收是：1)不锻炼的两阶段减肥计划，第二阶段：c(k)每周保持厘米，W (k)减少到75公斤，1)不锻炼的两阶段减肥计划，基本模式。锻炼t=24(每周跳舞8小时或骑自行车10小时)，持续14周。2)第二阶段增加锻炼的减肥计划，t为每周锻炼时间(小时)，3)达到75公斤目标体重后保持不变的计划，保持每周吸热c(k)不变，保持体

12、重w不变，不锻炼，锻炼(内容与以前相同)，1.4微分块增长模型，连续块增长模型(逻辑模型)，X=N为稳定平衡点(与r的大小无关)， 在离散形式中，x(t)某一群在时间t(总体)的数目，yk是某一群(总体)的第k代的数目，如果yk=N，那么yk 1，yk 2，=N，讨论平衡点的稳定性，即k，ykN？ Y*=N是平衡点，平衡点及其稳定性的离散增长模型，一阶(非线性)差分方程，平衡点y*=N的(1)，稳定性的x*，变量代换，(1)平衡点的根x*代数方程x=f(x)，稳定性判断，以及近似线性方程(1)。X*是(2)和(1)的不稳定平衡点，该平衡点及其稳定性的补充知识，该平衡点及其稳定性的另一个平衡点是

13、x=0，不稳定，及其稳定性，初始值x0=0.2，数值计算结果，b 3，x，b=3.3，x两个极限点，进一步讨论x*不稳定的倍周期收敛，单周期不收敛，倍周期收敛，平衡点的(*)，x*不稳定，x1*的稳定性，x2*倍周期收敛，进一步讨论周期有四个收敛子序列x4k，x4k 1，x4k 2，x4k 3，平衡点及其稳定性需要研究2n次周期收敛，n=1，2，bn 2n次周期收敛，B0=3，B1=3.449，B2=3.544，n，bn 3.57，b3.57，不存在收敛子序列，收敛，分岔和混沌，b，1.5人口增长按年龄分组，不同年龄组，本文讨论了稳定条件下人口的增长规律。 在假设和建模的基础上，将种群按年龄分为N个年龄组，i=1，2，N，时间离散为时间间隔，长度等于年龄组间隔，k=1，2，以女性个体数为对象，第一年龄组女性个体的繁殖率为bi，第一年龄组女性个体的死亡率和存活率分别为di和Di假设和建模， xi(k)期内我年