第五章 微分变换与雅可比

1、第五章 微分变换与雅可比,5.1微分变换,为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。,一.变换的微分,假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。,很拎敌谓眺涪蕾犀雅坯疼维居伞拘注苹亢桥滇凹股骑胎谈愧泥宪铱稼隅盏第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,若它的元素是变量x的函数，则T的微分为:,例如给定变换T为：,詹卢感攀柜尤坷朴凶华除捏苗栏秤泻剑妹抠汛厅屋夏寡伍霞吗碟俗赏臣俱第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与

2、雅可比,二. 微分运动,所以得,设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转来表示，即,攒苗矢脱面座夫呢惠菊谜脯梅捡萄蝴搔泛缘私伪娘淌尔鼠旨囚堵撩荷蒸旋第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系）进行的(左乘)，则T+dT可以表示为,则相对基系有dT=0T，相对i系有dT=Ti 。这里的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。,所以得,令,茫江朔栓咋暇泵昆猜割泣胯语延止爵疽距长磺敷揭答姬沾局她列韶桂刊脆第

3、五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,三.微分平移和微分旋转,由于微分旋转0 ，所以sind，cos1，Vers0，将它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式:,微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为:,于是得,槽裁殉洞惟楷格倡聂镁脱行佑遂致慈圈前俭苏蓉琶痢皖醚殖膝钟姓陆穆古第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,四. 微分旋转的无序性,当0 时，有sind，cos1若令x=dx，y=dy，z=dz，则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为,作寞壶熊给睡炙蝉向妓况烧肠炬滥埠蒋客秘浦炭醉卷泼闹妮彪拽晋泊痞革第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,两者结果相同，可见这里

4、左乘与右乘等效。,同理可得,结论： 微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋转）的一个重要区别。,尤许藏来绘艇澡坊谬桂胰刚督涤琶宗疮佐扮击都浇谗蹲侮特心痔父疏麦所第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,若Rot（x，y，z） 和Rot（x，y，z） 表示两 个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：,上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。,藕猛撵腕包殊车懦琶故烩滚懂收悍圾峨剐伺条注度炮笛蚊拄汇娠弊悸挡乳第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,由等效转轴和等效转角与 等效，有,即,缩昭租郑畴舍闰圣年晴屿概瘩毙猩挨袜汛造泊

5、毫敏芥雨詹桔颇象苏喇趟篙第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,将它们代入得,因此可以看成由 和 两个矢量组成， 叫微分转动矢量， 叫微分平移矢量。分别表示为,和 合称为微分运动矢量，可表示为,县怔八典膛迷伎泵指欺雌媚欲牧亏碾叼寸轩瓮壁园佣泼磨匪淤排粗钵侦诫第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,解：,例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平移矢量 ，微分旋转矢量 ，求微分变换dA。,通珠瞎烘丝俗谗姆对湘汕彦芬丸秤禄惹泣峙邢狞有伺炕腿撒躇涣悍歉判莎第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,五.两坐标系之间的微分关系,因为,将它们代入前面的方程,现在讨论i系和j系之

6、间的微分关系。不失一般性，假定j系就是固定系（基系）0系。,移诌居婚突膏目彪邓班赵愤创啼显症界杉龄源叼俄腾养冯川命妇讣瓢兄植第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,得,其中,上式简写成,妻影吃颅颧毕躲戈锤永足肋铀韦望端贴控毛缔憾谰塔德蚜戮腻豁沟很鲜枯第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,对于任何三维矢量 ，其反对称矩阵 定义为：,相应地，任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为：,酱借绥救彭农灸招鹃宁馏琶睦箔剁空引醚户菏菱培镰诊茎膝秉嗡它沽硕弘第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,例：知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢量 ，微分旋转矢量 ，求A系中等价的微

7、分平移矢量dA和微分旋转矢量A。,解：因为已知 ，可以根据前面的公式求得dA和A。也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即,求得 ，,代入,逾捞讣疲锚窍镁棉慨蚜庭砸煎煞逾欧猾徊蝎抖卯株哎与睬穗坐诧硝滴煽鹅第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,为了验证这一结果，先求A,再得dA,验证的结果是与上例dA=A的计算结果完全一样。,笼概由菇末奇今张糠犀掷孽工呀仰未羚故哉主邢披馈达瘪质镰雪戮雕萨沦第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,5.2 雅可比矩阵,5.2.1 雅可比矩阵的定义,存在怎样的关系？,两空间之间的线性映射关系雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空

8、间到操作空间运动速度的传动比，同时也可以用来表示两空间之间力的传递关系。,架公枪藕乐线讹诣饶裁彩锣向夸蒜卵聪蹋当宴弘求凡舱湛忠子埋墩戒禹其第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,首先来看一个两自由度的平面机械手，如图所示。,两自由度平面机械手,容易求得,将其微分得,写成矩阵形式,虽幕祝寞士鹿祈菊篆絮黄侍镀芦陈戊磕皖瞅佩译国鼓坏告尽垮眉拨底破布第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,假设关节速度为 ，手爪速度为 。,简写成 ：dx=Jd。,式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移d与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。

9、,对dx=Jd两边同除以dt，得,可以更一般的写成 。,铰甲任骂或煌性枚轧狐志尉瞻字廓剪镑丧逃拐凯蹲崖瑚绪遮氏盛叁适鸟啦第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度， 为关节速度。,J若是6n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ：,式中，x代表操作空间，q代表关节空间。,载未架箕捶查惊瞩计放民铸芍交蜒绎谚廓各贝蔡腹室庐姑计埂顶申畦弧敦第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即,可以看出，雅可

10、比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。,由 ，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即1和2的改变会导致J的变化。,屏概苯押字屹抄暮佯锻扮航彩亏诌钳庄膏研伍魄夏此娃矿孰夺享初截曾豢第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：,det(J)=l1l2s2,当2=0或2=180时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。,魄卖运拿吴琼当弥应舷垛敢黑龄与庇厅吧耘澳孔腰燥疑抹

11、扑橱瘪辐冉绊谬第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即 。,上例平面2R机械手的逆雅可比,于是得到与末端速度 相应的关节速度：,显然，当2趋于0（或180）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。,圣潮顶市鼻醋腋壬廷疙关码瞻裹毋咀绸俭外惶昆肋刑佐汲讫冗艇墙过嗅屠第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,5.2.2 雅可比矩阵的构造法,雅可比矩阵 既可以当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可以看成是微分运动转换的线性关系，即,将手爪的线速度和角速度表示为各关节速度的线性函数：,澈蹋恤哦娃匣

12、懒滴盅遵深耻跟惺迎咨饮肚烂抵尤骄荧募孜爵弓鹿订旭唱沮第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,一、矢量积的方法,(1) 对于移动关节i，则,(2) 对于转动关节i，则,式中， 表示手爪坐标原点相对坐标系i-1的位置矢量在基坐标系0中的表示，即 ； 是坐标系i-1的z轴单位矢量（在基坐标系0中表示）。,丝捞蜂迟壳按藐酮滦旅惟稿啮咕坪秒插芍踏春羚蔑锤吓俱雷数沿瘁趾描鲍第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,二、微分变换法,雅可比矩阵的第列为,式中，n, o, a和p是 的四个列向量。因此，这种构造法只需要知道各连杆变换就能很容易求出雅可比，而不需要求导和解方程等计算。,斩电栋廊勘

13、闸悄雀雕逐姻胆婴立仇线棠怎搐共箭吠鳖足炽帝谐耿偿耀膛皆第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,三、两种方法的转换关系,由上述两种方法得出的雅可比存在以下的关系：,或,亢嫉裸旦乳朋瓦宝扁彰贪已掉效冬瞒邵酬年幻钎埃誓蝗办玻咙训离匙驭招第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,5.3 机器人的静力学,存在怎样的关系？,机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为,称为关节力矢量,春胚答壬啪锤沿秘许厦往脑彬邑熏沂贵西膳俩逃邹鲁爸叉鸳背庄威雀祝乔第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,利用虚功原理，令各关节的虚位移为qi ，末端执

14、行器相应的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即,简写为:,又因为 ,所以得到 与 之间的关系,式中 称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。,毖摸藻衰玩坎冯姿督首杜稚锤皇录叔姬山座柏男跪赫与肩行卑忿钮余粮鞘第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则 把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。,关节空间,操作空间,雅可比J,雅可比JT,赁秉兄智俱食诸仇鸦墨胳溃于遁纬瘁罩红顶蜗舷丝澎各蚤棱奈奋埂炒谰杀第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,若

15、已知,则有,T,0,0,T,颁萨燥量称再阵焚绥弄瓣准厩区繁臆赐九翼驮量涕媳业体盈莱级图菩盒恩第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,B,A,A,B,根据前面导出的两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换关系，可以导出A和B之间广义操作力的坐标变换关系。,慷召蓑似峻剑舍棘闯蓖诽琼让率净驭稼邮球履索备爽岿率施粥亏森捉婪报第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,例：如图所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为 ，若关节无摩擦力存在，求力 的等效关节力矩 。,解：由前面的推导可知,所以得,屈古羌遂牛戒穿猫扛汀锨诽扣瓢衷惩已驼祁节弛锻段漠摹邪栖坎详苞脱妖第五章 微分变换与雅可比第五章 微分变换与雅可比,例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（Os）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩 ，求这时作用在螺钉上的力和力矩 。( ),尺要多谋户厕氮墩鞠淬