高等代数试卷

高等代数试卷一一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式的常数项为。2．设是方程的三个根，则。3．线性方程组有无穷多解的充要条件是______________________。4．设矩阵，则的秩为。5．设实二次型的矩阵是，则是正定二次型的充要条件是。二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式有一实根是在实数域上可约的（）。a)必要非充分条件b)充分必要条件c)充分非必要条件d)既非充分又非必要条件2．行列式，则（）。a)b)c)0d)不确定3．（），非齐次线性方程组有无穷多解。a)1b)2c)3d)4．若矩阵满足，则（）。a)b)c)d)5．矩阵（）合同与。a)b)c)d)三、判断题（每小题2分，共10分）1．若，则或。（）2．设为同级方阵，则行列式。（）3．若都是n级方阵，且，，则。（）4．如果向量组线性相关，且不能由线性表出，则向量和仅差一个数值因子。（）5．实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的主子式全大于零。（）四、计算题（每小题10分，共50分）1．计算下列行列式1)；2)。（3）求的逆矩阵2．讨论非齐次线性方程组何时有唯一解？有无穷多个解？无解？3．（1）设，计算；（2）计算；4．用非退化线性替换化二次型为标准形。五、证明题（每小题10分，共30分）1．设向量可由向量组线性表出，但不能由向量组线性表出。证明：秩与秩。2．元素全为整数的矩阵称为整数矩阵。对于一个级整数矩阵，如果存在一个级整数矩阵，使得，那么称是整数环上的可逆矩阵。证明：整数矩阵是上的可逆矩阵当且仅当。3．设，且，证明：（1）若，则；（2）若，则。高等代数试卷二一、填空题（共10题，每题2分，共20分）。1．多项式可整除任意多项式。2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。3．在阶行列式中，的个数多于个是。4．若是阶方阵，且秩，则秩。5．实数域上不可约多项式的类型有种。6．若不可约多项式是的重因式，则是的重因式。7．写出行列式展开定理及推论公式。8．当排列是奇排列时，则可经过数次对换变成。9．方程组，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。10．若，则，。二、判断题（共10题，每题1分，共10分）。1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（）2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（）3．设是中个向量，若，有线性相关，则线性相关。（）4.设是某一方程组的解向量，为某一常数，则也为该方程组的解向量。（）5．若一整系数多项式有有理根，则在有理数域上可约。（）6秩＝秩，当且仅当秩。（）7．向量线性相关它是任一向量组的线性组合。（）8．若，且，则。（）9．，且为本原多项式，若则。（）10．若，则。（）三、选择题（共5题，每题2分，共10分）。1．为方阵，则（）A.B.C.D.2.若既约分数是整系数多项式的根，则下面结论那个正确（）A.B.C.D.3.阶行列式，当取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（）A.或B.或C.或D.或4．含有个未知量个方程的线性方程组有解的（）条件是行列式。A.充要B.必要C.充分必要D.不充分不必要5．，若既约分数是的有理根，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.四、计算题（共4题，每题7分，共28分）。1．设，求，并求使。2．计算下列阶行列式3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。4．设，判断是否可逆，若可逆，求五、证明题（共4题，每题8分，共32分）。1．设为矩阵，如果，那么秩＋秩。2．如果是的一个重根，证明是的一个重根。3．证明：4．设向量组的秩分别为，证明。高等代数试卷二一、填空题（共10题，每题2分，共20分）1．只于自身合同的矩阵是矩阵。2．二次型的矩阵为__________________。3．设是实对称矩阵，则当实数_________________,是正定矩阵。4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。7．在中定义线性变换为：，写出在基下的矩阵_______________________________。8．设、都是线性空间的子空间，且，若，则_____________________。9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。10．向量在基（1）与基（2）下的坐标分别为、，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为，则与的关系为_____________________________。二、判断题（共10题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（）2．设为维线性空间上的线性变换，则。（）3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（）4．设与分别是齐次线性方程组与的解空间，则（）5．为正定二次型。（）6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（）7．把复数域看作复数域上的线性空间，，令，则是线性变换。（）8．若是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。（）9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（）10．若为()中的微分变换，则不可对角化。（）三、计算题（共3题，每题10分，共30分）1．设线性变换在基下的矩阵为，求的特征值与特征向量，并判断是否可对角化？2．取什么值时，下列二次型是正定的？3．设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为：,求在基，下的矩阵。四、证明题（共4题，每题10分，共40分）1．证明：与相似，其中是的一个排列。2．证明：和是直和的充要条件为：。3．设是级实对称矩阵，且，证明：存在正交矩阵，使得：4．证明：与合同，其中是的一个排列。高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、实二次型正定的充要条件是它的符号差为。（）2、是线性空间的一个子空间。（）3、数域上的每一个线性空间都有基和维数。（）4、两个元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（）5、零变换和单位变换都是数乘变换。（）6、线性变换的属于特征根的特征向量只有有限个。（）7、欧氏空间上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（）8、若是欧氏空间的标准正交基，且，那么。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设为元实二次型，则负定的充要条件为（）①负惯性指数=的秩；②正惯性指数=0；③符号差=；④的秩=。2、设是线性空间的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（）①任一组不全为零的数，都有；②任一组数，有；③当时，有；④任一组不全为零的数，都有。3、若都是维线性空间的子空间，那么（）①维+维=维+维；②维=维+维；③维+维=维+维；④维-维=维-维。4、设是维线性空间的线性变换，那么下列错误的说法是（）①是单射的亏=0；②是满射的秩=；③是可逆的核=；④是双射是单位变换。8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）①合同的；②相似的；③相等的；④正交的。9、设是维欧氏空间，那么中的元素具有如下性质（）①若；②若；③若；④若>。10、欧氏空间中的标准正交基是（）①；②；③；④。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空2分，共20分）1、多项式在实数域上的标准分解为。2、利用行列式的性质可知四阶行列式的值为。3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于。4、在线性空间中，定义（其中是中一个固定向量），那么当时，是的一个线性变换。5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的。。6、阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为类。7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为，而向量关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为和，那么着两个坐标的关系是。8、设是线性空间的非空子集，若对的加法和数乘，则称为的子空间。9、若线性变换关于基的矩阵为，那么关于基的矩阵为。10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果是的导数的重因式，那么就是的重因式。2、若线性方程组相应的齐次线性方程组有无穷多解，那么也有无穷多解。3、设是一个矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相当对施行了一次“的第三列乘5加到第四列”的初等变换。4、若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取也是的属于的特征向量。5、设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充分必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。五、计算题（每小题10分，共40分）1、计算阶行列式2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解3、解矩阵方程4、设是的一个基，而是另一组基，求由到的过渡矩阵，并求向量在下的坐标。六、证明题设是三维欧氏空间的一个标准正交基，试证：也是的一个标准正交基。高等代数试卷参考解答一、判断题12345678910××√√×√√×√√二、单项选择题12345678910②①④③①④④②③①三、填空题1、；2、；3、4；4、0；5、正交；6、；7、；8、封闭；9、；10、相同的维数。四、改错题1、如果是的导数的重因式，那么就是的重因式。是的因式且是的重因式2、若线性方程组相应的齐次线性方程组有无穷多解，那么也有无穷多解。当AX=B有解时，AX=B也有无穷多解3、设是一个矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相当对施行了一次“A的第三列乘5加到第四列”的初等变换。A的第4列乘5加到第3列4、若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取也是的属于的特征向量。当时时，是的属于的特征向量5、设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充分必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。必要条件答案一．1．零次2.充分3.4.15.26.单7．8.奇9.互不相同10.二．1－56－10三．四．1．；2．3．一般解为，为自由未知量。基础解系为，。4．可逆，且五．1．证：令，是的解。