高数空间曲线及其方程

1、,第七章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,空间曲线圆柱螺线,P,同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。,圆柱面,a,x = y = z =,acos t,bt,M(x,y,z),asin t,t,M,螺线从点P Q,当 t 从 0

2、2，,叫螺距,N,.,Q,（移动及转动都是等速进 行，所以z与t成正比。),点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转；,例1. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,1,.,解,得交线L：,由,1,解,L,.,.,.,得交线L：,.,投影柱面,由,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影

3、区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域 .,L:,( ),消去z,y2 = 4x,y2 = 4x,例 空间曲线作为投影柱面的交线,L:,( ),消去z,(消去x ),.,y2+(z 2)2 = 4,y2+(z 2)2 = 4,y2 = 4x,y2 = 4x,例 空间曲线作为投影柱面的交线,L：,L:,L,转动坐标系，有下页图,( ),转动坐标系，有下页图,.,消去z,(消去x ),.,y2+(z 2)2 = 4,y2 = 4x,y2+(z 2)2 = 4,y2 = 4x,例 空间曲线作为投影柱面的交线,L：,L,

4、y2+(z 2)2 = 4,y2 = 4x (消去z),y 2 + (z 2)2 = 4 (消去x),y2 = 4x,例 空间曲线作为投影柱面的交线,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,作图练习,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,作图练习,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y

5、+z =6所围成的立体图,作图练习,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,作图练习,4,2,x+y+z=6,.,6,6,6,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,作图练习,4,2,.,6,6,6,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,作图练习,a,a,作图练习,a,a,作图练习,.,a,a,学画草图,作图练习,.,a,1,1,1,y,x,0,作图练习,备用题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交