高校(理工类)数学第4节罗伦级数教学(课堂讲义)

1、4.4 罗伦/洛朗级数,1、问题的引入 2、罗伦级数的概念 3、函数的罗伦展开式 4、典型例题 5、小结与思考,一、问题的引入,问题:,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,问题的引入,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,问题的引入,结论:,常见的特殊圆环域:,问题的引入,例如，,都不解析,而,2、问题：在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?,问题的引入,所以,也可以展开成级数：,二、罗伦级数的概念,讨论下列形式的级数： （4.4.1） 其中，z0和cn(n=0,1,2,)都是常数。 把级数(4.4.1)分成两部分来考虑，即

2、正幂项（包括常数项）部分： （4.4.2） 与负幂项部分 （4.4.3）,罗伦级数,级数(4.4.2)是一个通常的幂级数，它的收敛范围是一个圆域。 设它的收敛半径为R2，那么当|zz0|R2时，级数发散。,罗伦级数,级数(4.4.3)是一个新型的级数。如果令=(zz0)-1，那么就得到 （4.4.4） 对变数来说，级数(4.4.4)是一个通常的幂级数。设它的收敛半径为R，那么当|R时，级数发散。因此，如果我们要判定级数(4.4.3)的收敛范围，只需把用(zz0)-1代回去就可以了，如果令1/R=R1，那么当且仅当|R1；当且仅当|R时，|zz0|R1时收敛；当|zz0|R1时发散。,罗伦级数,

3、规定：当且仅当级数(4.4.2)与(4.4.3)都收敛时，级数(4.4.1)收敛，并把级数(4.4.1)看这做级数(4.4.2)与(4.4.3)的和。,因此，当时R1R2（如图(a)），级数(4.4.2)与(4.4.3)没有公共的收敛范围。所以，级数(4.4.1)处处发散；,罗伦级数,当R1R2时（如图(b)），级数(4.4.2)与(4.4.3)的共公收敛范围是圆环R1|zz0|R2。所以，级数(4.4.1)在这圆环内收敛，在这圆环外发散。,在圆环的边界|zz0|=R1及|zz0|=R2上可能有些点收敛，有些点发散。 这就是说，级数(4.4.1)的收敛区域是圆环：R1|zz0|R2。在特殊情形

4、，圆环的内半径R1可能等于零，外半径R2可能是无穷大。,罗伦级数,幂级数在收敛圆内具有的许多性质，级数(4.4.1)在收敛圆环内也具有。例如，可以证明，级数(4.4.1)在收敛圆环内其和函数是解析的，而且可以逐项积分和逐项求导。 由上节可知，在以为中心的圆域内解析的函数可用泰勒级数来表示。如果函数在以为中心的圆环内解析，那末它是否能用级数来表示呢？,罗伦级数,试先看下例。 函数f(z)=1/(z(1z)在z=0及z=1都不解析，但在圆环0|z|1及0|z1|1内都是处处解析的。 先研究在圆环：0|z|1内的情形。我们有 f(z)=1/(z(1z)=1/z+1/(1z) 上节例4-2-1中的，当

5、|z|1时，有 所以 由此可见，f(z)在0|z|1内是可以展开为级数的。,罗伦级数,其次，在圆环：0|z1|1内也可以展开为级数： 从以上的讨论看来，函数f(z)=1/(z(1z)是可以展开为级数的，不过这时的级数，含有负幂的项罢了。据此推想起来，在圆环域R1|zz0|R2内处处解析的函数f(z)，可能展开形如(4.4.1)的级数。,罗伦级数,定理4-4-1 设f(z)在圆环域R1|zz0|R2内处处解析，那么 其中， 这里C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。,cn为洛朗系数。,定理4-4-1,证明 设z为圆环域内的任一点，在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2，K2的半径R

6、大于K1的半径r，且使z在K1与K2之间（ 如图）,由柯西积分公式（第3章习题18）得 对于上式右端第一个积分来说，积分变量取在圆周K2上，点z在K2的内部，所以 。,定理4-4-1,又由于|f()|在K2上连续，因此存在一个常数M，使得|f()|M。跟第3节中泰勒展开式的证明完全一祥，可以推得：,应当指出， 并不等于f(n)(z0)/n!，因为这时函数f(z)在K2内不是处处解析的。,定理4-4-1,再来考虑第2个积分 。由于积分变量取在K1上，点z在K1的外部，所以 。因此就有,定理4-4-1,所以 其中，,定理4-4-1,现在我们要证明 在K1外部成立。令 显然q是与积分变量无关的量，而

7、且0q1，因为z在K1的外部，由于|f()|在K1上连续，因此存在一个常数M1，使得|f()|M，于是有：,定理4-4-1,因为 ，所以 ，从而有 综上所述，我们有 其中，,（4.4.5）,（4.4.7）,（4.4.6）,定理4-4-1,级数(4.4.5)的系数由不同的式子(4.4.6)与(4.4.7)表出。如果在圆环域内取绕z0的任何一条简单的闭曲线C，那末根据闭路变形定理，这两个式子可用一个式子来表示： （4.4.8） 证毕,定理4-4-1说明,在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.,1),2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数.

8、,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.,罗伦级数,在许多应用中，往往需要把在某点z0不解析但在z0的邻域内解析的函数f(z)展开成级数，那末就利用罗伦级数来展开。 象泰勒级数一样，罗伦级数在它的收敛圆环域内可逐项求导或积分。 另外，一个在某一圆环内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的罗伦级数。,级数(4.4.5)叫做函数f(z)在z0以为中心的圆环：R1|zz0|R2内的罗伦（laurent）级数。,罗伦级数,事实上，假定f(z)在圆环域R1|zz0|R2内不论用何种方法已展成了由正、负幂项组成的级数： ，并设C为圆环域内任何一条正向简单闭曲线

9、，为C上任一点，那末 以(z0)-p-1去乘上式两边，这里p为任一整数，并沿C的正向积分，得,罗伦级数,从而 这就是(4.4.8)。,三、函数的罗伦级数展开式,罗伦展开式的系数cn用公式去计算是很繁重的。根据含正、负幂项级数的唯一性，我们可以用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法去展开，这样往往比较便利。,常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法,1、直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点: 计算往往很麻烦.,2、间接展开法,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .,优点 : 简捷 , 快速 .,在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐

10、项求导； 在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项积分； 在收敛圆环域内的罗伦级数的和函数是解析函数。,级数展开举例,例4-4-1 函数f(z)=1/(z1)(z2)在圆环域（1）0|z|1；（2）1|z|2；（3）2|z|内是处处解析的。试把f(z)在这些域内展开成罗伦级数。,解 先把f(z)用部分分式来表示 f(z)=1/(1z)+1/(2z) 然后利用第2节例4-2-1的结果：,例4-4-1,（1）在0|z|1内（如图(a），由于|z|1，从而|z/2|1。所以 （4.4.9） （4.4.10）,例4-4-1,因此，我们有 结果中不含有z的负幂项，原因在于f(z)=1/(z1)(z2)在z=0处

11、是解析的。,例4-4-1,（2）在11，所以(4.4.9)不成立，但此时|1/z|1，因此把1/(1z)另行展开如下 （4.4.11） 并由于此时|z|2，从而|z/2|1。所以(4.4.10)仍然有效。因此我们有,例4-4-1,（3）在22，所以(4.4.10)不成立，但此时|2/z|1，因此把1/(2z)另行展开如下 并因此时|1/z|2/z|1，所以(4.4.11)仍然有效。因此，我们有：,级数展开举例,例4-4-2 把函数 在0|z|内展开成罗伦级数。,解 函数 在0|z|内是处处解析的。我们知道，ez在复平面被的展开式是 而1/z在0|z|解析，所以把上式中的z代换成1/z，两边同时

12、乘z3以，即得到所求的罗伦展开式,例4-4-2,级数展开举例,例4-4-3 求积分 的值。,解 函数1/z(z+1)(z+4)在1|z|4内处处解析，把它在圆环域内展开成罗伦级数：,例4-4-3,所以)c1=1/12。由于z=3在圆环域1|z|4内，根据（4.3.5）有,罗伦级数,应当注意，给定了函数f(z)与平面内一点z0以后，由于这个函数可以在以z0为中心的（由奇点隔开）不同圆环域内解析，因而在各个不同的圆环域中有不同的罗伦展开式（包括泰勒展开式作为它的特例）。但不要把这种情形与罗伦展开式的唯一性相混淆。我们知道，所谓罗伦展开式的唯一性，是指函数在某一个给定的圆环域内的罗伦展开水展开式是唯

13、一的。另外，在展开式的收敛圆环域的内圆周上有f(z)的奇点，外圆周上也有f(z)的奇点，或者外圆周的半径为无穷大。,罗伦级数,例如函数 有两个奇点z=0与z=i，分别在以i为中心的圆周：|zi|=1与|zi|=2上（如图）。因此，f(z)在以i为中心的展开式有3个： （1）在|zi|1中的泰勒展开式； （2）在1|zi|2中的罗伦展开式； （3）在2|zi|中的罗伦展开式。,四、典型例题,例1,解,由定理知:,其中,例1,故由柯西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,例1,另解,本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,典型例题,例2,内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.,解,例2,例2,由,且仍有,例2,此时,例2,仍有,例2,说明:,例2,回答：不矛盾 .,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性 : 指函数在某一个给