常微分方程ppt (19)

1、5.6二维自主微分方程的周期解和极限环，本节讨论了二维自主微分方程的周期解。5.6.1周期解决方案和极限周期，系统，出发解决方案，中，解决方案(5.6.2)是系统(5.6.1)的周期解决方案，在相位平面中，周期解决方案轨道是闭合曲线。线性系统、中的轨道是在原点(0，0)为中心时围绕原点的一组闭合曲线。此时方程被解释为周期解。非线性系统，周期解决方案，除了从原点(0，0)开始的解决方案以外，其他轨道解决方案时间流，无限周期解决方案，Maple过程(中心)，with(DEtools)；Deplot (diff (x (t)，t)=-y (t)-x (t) * (x (t) 2 y (t) 2-1)

2、，diff.10，x (0)=0，y (0)=1，x (0)=0，y (0)=2，x (0)=0，y (0)=.8，y=-8.8，stepsize=0.01，line color=blue)；Maple程序(稳定极限环)，with(de tools): deplot(diff(x(t)，t)=-y (t)-x (t) *).10，X (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=-0.5，y (0)=0，X (0)=0，y (0).4，stepsize=0.01，line color=blue)；Maple程序(不稳定的极限环)，with(de tools)3360 deplot(diff(x(

3、t)，t)=-y (t) x (t) *().10，X (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=-0.5，y (0)=0，X (0)=0，y (0).4，stepsize=0.01，line color=blue)；Maple程序(半稳定极限环)，with(de tools)3360 deplot(diff(x(t)，t)=-y (t)-x (t).10，X (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=-0.5，y (0)=0，X (0)=0，y (0).2，stepsize=0.01，line color=blue)；这表明在(5.6.1)中，情况更加复杂。示例5.6.1，讨论非线性方程

4、，(5.6.4)，相位平面上轨道的分布。是引入极坐标的非线性函数，系统(5.6.4)，是等效系统，系统(5.6.5)有三个特殊解决方案，解决方案(5.6.6)是原点，解决方案(5.6.7)和(5.6.8)除了这三种特殊解决方案外，其余导轨的形式如何？拓扑平面中的(0，0)中心、半径、圆的检查，轨道在任意点的方向。显示时，样式(5.6.5)中指示。换句话说，轨道线顺时针从圆进入圆内。等样式(5.6.5)。换句话说，轨道线顺时针从圆中跳出圆。表示轨道线顺时针从圆进入圆。其馀的解决方案分别在前面三个周期中的正向或负向解决，而其本身不是周期解决方案，使用Maple绘制的轨道和向量场如图5.24，示例5

5、.5.1中的周期解决方案，解决方案(奇点)中所示。很周期性的解决方案，但有没有奇点或其他闭合轨道的小邻居。也就是说，它本身就是一条孤立的闭合轨道线。在拓扑平面中，这种孤立的闭合轨道称为极限环。，与中心不同的周期解决方案，Maple程序(两个极限环也为5.24)，with(de tools): deplot(diff(x(T)，t)=y (t)-).10，x (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=-1.5，y (0)=0，x (0)=0，x (0).4，stepsize=0.01，linecolor=4，y=0.01，极限环在许多物理现象中起着重要作用。线性系统没有极限环，因此只出现在复杂

6、的、杂的非线性问题上。非线性项目产生了极限环，相位平面上的极限环对应于一类空间的周期解。周期解决方案存在稳定性问题，因此极限环也存在稳定性问题。的出现。设置，系统(5.6.1)的界限。存在的话，一个，邻居，所以在这附近，所有其他的解决方案都称为正向，接近，接近，稳定极限环。如果其他解决方案都是负数且接近于负数，则称为不稳定极限环。因为，邻居中的一些在内部，有些在外部，所以可以提供半稳定极限环的定义。例如，从，从，从，邻，到，从，到，从，到，从，从，到，从，到，正接近，从，到，从，到，极限周期的稳定性状态如图5.25所示。图5.25(极限环的稳定性状态)，对于微分方程组，讨论上平面上的轨道结构，

7、除了明确奇点和稳定性状态外，还必须确定： (1)极限环的存在问题。(2)极限环的稳定性；(3)极限环的数目和相对位置。5.6.2极限环的存在极限环的存在一般不作为解法进行讨论。相反，通过几种不同的方法进行研究，最经典的方法是通过几何学创造满足特定条件的缓冲区，证明必须有闭合轨道。也可以使用分支理论(隐式函数定理)得到。清理5.9 Poincare-Bendixson缓冲区清理区域由两个简单闭合曲线和闭合环形域组成，(1)及其边界没有奇点。(2)从边界各点出发的轨道线不能离开(或进入)；(3)并非都是封闭的轨道。至少有一条外部稳定闭合轨道和一条内部稳定闭合轨道(外部不稳定闭合轨道和内部不稳定闭合

8、轨道)，如果是唯一的闭合轨道，则必须是稳定(不稳定)极限环。需要说明的一点是，环定理保证了中间闭合轨道的存在，但不一定是极限环。但是，如果是分析函数，则中的所有闭合轨道都是孤立的，因此是极限环。在应用缓冲区清理时，关键是配置缓冲区的两个边界、和(分别称为缓冲区的内部和外部区域线)。示例5.6.2证明了至少有一个周期解的方程。证明极坐标的引入，如(5.6.9)，(5.6.10)的第一个方程所示，圆，因此(5.6.9)的轨迹在增加时，从的内部向外运行。圆，向上，因此(5.6.9)的轨道由增加，由外部增加。圆、和构成缓冲区。(5.6.9)中的滑轨进入的内部。(5.6.9)，因为内没有奇点，所以定理，

9、5.9，稳定的废轨道，即(5.6.9)，内至少有一个，内至少有一个外部稳定和一个内，周期解。如下图所示，Maple过程(稳定极限环)，with(de tools): deplot(diff(x(T)，t)=-y (t)-x().10，x (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=-0.5，y (0)=0，x (0)=0.5，x (0).4，y=-4.4，stepsize=0.01，line color=blue)；讨论了方程周期解存在的实例。引入极坐标，(5.6.20)到(5.6.20)或(5.6.21)中的方程更复杂，需要更高的技术来证明刚才环形区域不能满足要求并且周期解决方案(极限环)的

10、存在。在此，我们使用Maple进行观察，然后通过银角函数定理(地论)讨论小的方法。Maple程序(=0.01)，with(de tools): mu :=0.01: deplot(diff(x(t)，t)=y(.200，X (0)=1，y (0)=0，x (0)=2，y (0)=0，x (0)=0，y (0)=.4，y=-4.4，stepsize=0.1，line color=blue)；Maple程序(=0.1)，with(de tools): mu :=0.1: deplot(diff(x(t)，t)=y (t).100，X (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=4，y (0)=0，

11、x (0)=-4，y (0).4，stepsize=0.1，line color=blue)；Maple程序(=0.5)，with(de tools): mu :=0.5: deplot(diff(x(t)，t)=y (t).100，X (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=4，y (0)=0，x (0)=-4，y (0).4，stepsize=0.1，line color=blue)；Maple程序(=1.0)，with(de tools): mu :=1.0: deplot(diff(x(t)，t)=y (t).100，X (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=4，y (0)=0，x (0)=-4，y (0).4，stepsize=0.1，line color=blue)；Maple程序(=1.5)，with(de tools): mu :=1.5: deplot(diff(x(t)，t)=y (t).100，X (0)=0.5，y (0)=0，x (0)=4，y (0)=0，x (0)=-4，y (0).4、y=-4、stepsize=0.1、line color=blue)；Maple程序(=2)，with(de tools): mu :=