高等数学A上册复习

1、第一章 函数与极限,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,一、主要内容,函 数 的定义,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性,双曲函数与 反双曲函数,1、函数的定义,函数的分类,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),(1) 单值性与多值性:,2、函数的性质,(2) 函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,(3) 函数的单调性:,(4) 函数的有界性:,设函数 f(x) 的定义域为

2、D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,(5) 函数的周期性:,3、反函数,4、隐函数,5、反函数与直接函数之间的关系,6、基本初等函数,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,7、复合函数,8、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,9、双曲函数与反双曲函数,双曲函数常用公式,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的

3、 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,唯一性,两者的 关系,无穷大,1、极限的定义,左极限,右极限,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,2、无穷小与无穷大,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,

4、无穷小的运算性质,定理,推论1,推论2,3、极限的性质,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,5、判定极限存在的准则,(夹逼准则),(1),(2),6、两个重要极限,定义:,7、无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),8、等价无穷小的性质,9、极限的唯一性,左右连续,在区间a,b 上连续,连续函数 的 性 质,初等函数 的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算性质,非初等函数 的连续性,1、连续的定义,定理,3、连续的充

5、要条件,2、单侧连续,4、间断点的定义,(1) 跳跃间断点,(2)可去间断点,5、间断点的分类,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,6、闭区间的连续性,7、连续性的运算性质,定理,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理2,8、初等函数的连续性,定理3,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,9、闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有

6、界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,第二章 导数与微分,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,一、主要内容,1、导数的定义,定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6) 参变量函

7、数的求导法则,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),5、微分的定义,定义,(微分的实质),6、导数与微分的关系,定理,7、 微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,基本初等函数的微分公式,第三章 中值定理与导数的应用,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主要内容,1、罗尔中值定理,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式.,3、柯西中值定理,推论,4、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:

8、将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,注意：洛必达法则的使用条件.,5、泰勒中值定理,常用函数的麦克劳林公式,6、导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定法,定义,(2) 函数的极值及其求法,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),求极值的步骤:,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有

9、一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值问题,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,(4) 曲线的凹凸与拐点,定义,定理1,方法1:,方法2:,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,(5) 函数图形的描绘,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,(6) 弧微分 曲率 曲率圆,曲率的计算公式,定义,第四章 不定积分,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,一、主要内容,1、原函数,定义

10、,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,2、不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,常见类型:,6、第二类换元法,第二类换元公式,常用代换:,7、分部积分法,分部积分公式,8.选择u的有效方法:LIATE选择法,L-对数函数；,I-反三角函数；,A-代数函数；,T-三角函数；,E-指数函数；,哪个在前哪个选作u.,9、几种特殊类型函数的积分,（1）有理函数的积分,定义,两个多项式的商表示的函数称

11、之.,真分式化为部分分式之和的待定系数法,四种类型分式的不定积分,此两积分都可积,后者有递推公式,令,（2） 三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,（3） 简单无理函数的积分,讨论类型：,解决方法：,作代换去掉根号,第五节 定积分,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、求和、取极限.,2、定积分的定义,定义,记为,可积的两个充分条件：,定理1

12、,定理2,3、存在定理,4、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,6、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,、广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,第六章 定积分的应用,微 元 法,理 论 依 据,名称释译,所求量 的特点,解 题 步 骤,定积分应用中的常用公式,一、主要内容,1、理论依据,2、名称释译,3、所求量的特点,4、解题步骤,5、

13、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,(5) 细棒的质量,(6) 转动惯量,(7) 变力所作的功,(8) 水压力,(9) 引力,(10) 函数的平均值,(11) 均方根,第七章 空间解析几何与向量代数,一、主要内容,（一）向量代数,（二）空间解析几何,向量的 线性运算,向量的 表示法,向量积,数量积,混合积,向量的积,向量概念,（一）向量代数,1、

14、向量的概念,定义:既有大小又有方向的量称为向量.,自由向量、,相等向量、,负向量、,向径.,重要概念:,零向量、,向量的模、,单位向量、,平行向量、,(1) 加法：,2、向量的线性运算,(2) 减法：,(3) 向量与数的乘法：,向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标表示式：,向量的坐标：,3、向量的表示法,向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,向量模长的坐标表示式,向量方向余弦的坐标表示式,4、数量积,(点积、内积),数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,5、向量积,(叉积、外积),向量积的坐标表达式,/,6、混合积,直 线,曲面,曲线,平 面,参数方程,旋转曲面

15、,柱 面,二次曲面,一般方程,参数方程,一般方程,对称式方程,点法式方程,一般方程,空间直角坐标系,（二）空间解析几何,横轴,纵轴,竖轴,定点,1、空间直角坐标系,空间的点,有序数组,空间直角坐标系,共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.,它们距离为,两点间距离公式:,曲面方程的定义：,2、曲面,研究空间曲面的两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.,1 旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.,这条定直线叫旋转曲面的轴.,方程特点:,（2）圆锥面,（1）球面,（3）旋转双曲面,2 柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,从柱面方程看柱面的特征：,(1) 平面,(3) 抛物柱面,(4) 椭圆柱面,(2) 圆柱面,3 二次曲面,定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.,（1）椭球面,（2）椭圆抛物面,（3）马鞍面,（4）单叶双曲面,（5）圆锥面,3、空间曲线,1 空间曲线的一般方程,2 空间曲线的参数方程,如图空间曲线,一般方程为,参数方程为,3 空间曲线在坐标面上的投影,消去变量z后得：,设空间曲线的一般方程：,曲线在 面上的投影曲线