高数上册总复习

1、高等数学A（上） 总复习,(1) y = f (x)两要素,数列 xn,(2)复合函数: note复合函数分解,(复合关系搞清,后面求导才不会错),1、 函数、 数列的概念,一、极限与连续（20%左右）： 重点：两个重要极限；无穷小的比较；利用等价无穷小替换求极限；求函数的间断点及间断点类型的判别. 难点：极限存在的两个准则.,(3) y = f (x)的特性：,(4) 几类函数:,2）基本初等函数（note其图形与特性）: 幂函数；指 数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；,3）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则 运算与有限次的函数复合步骤所构 成，并可用一个式子表示的函数.,1）分

2、段函数：不同定义域上用不同的表达式来表 示对应法则的函数；,1）有界性；2）单调性；3）奇偶性；4）周期性.,2、 数列极限,3、 函数极限,4、 无穷小与无穷大,1) 有限个无穷小的和也是无穷小.,2) 无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.,3)有限个无穷小的乘积也是无穷小.,5、无穷小的比较：,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,（6）等价无穷小替换定理,（Note:只用于乘、除因子, 不能 用于加、减中!）,常用等价无穷小:,6、极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则.,7

3、、两个重要极限,或,8、 连续,(1) 连续的概念,(2) 间断点的判别、分类,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理 ;最值定理；零点定理；介值定理,函数间断点,(3) 闭区间上连续函数的性质,9、 求极限的方法,先判断极限的类别，在考虑适当的方法.,(2)根据四则运算法则和复合函数极限运算法则：,(3)利用无穷小的性质：,(4)初等方法：,运用根式有理化、因式分解、变量代换等方法, 通过约分,消去不定因式.,(5) 利用函数性质和已知的结果：,(6) 极限存在准则、两个重要极限,(7) 等价无穷小、函数的连续性,(8) 洛必达法则,(9) 利用

4、定积分的定义,二、导数与微分： 重点：导数的定义及几何意义；初等函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算；初等函数的微分的计算. 难点：n阶导数的计算.,第二、三章（35%左右）,1、导数和微分的概念,（1） 导数 :,（2） 微分 :,（3）关系 :,可导,可微,连续,（4）几何意义 ：,（5）一阶微分形式不变性：,2、导数和微分的求法,(1). 正确使用导数及微分公式和法则,(2). 熟练掌握求导方法和技巧,1) 求分段函数的导数,注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等,例如,(2) 隐函数求导法,对数求导法,(3) 参数方程求导法,极坐标方程求导,直接对方程的两端求导数.

5、,(4) 复合函数求导法,可利用复合函数求导法则或微分形式不变性,(5) 高阶导数的求法,逐次求导归纳 ;,间接求导法;,利用莱布尼兹公式.,特别注意抽象复合函数求一阶或高阶导数的情形，见作业中的题目.,莱布尼兹公式,常用的 n 阶导数公式,高阶导数和下章的泰勒公式结合起来记.,三、微分中值定理与导数的应用： 重点：利用洛必达法则求极限；求函数的单调区间、曲线的凹凸区间及拐点；求函数的极值及最值；利用单调性证明不等式.（曲率不考） 难点：中值定理、泰勒公式的应用；利用单调性结合介值（零点）定理判别函数的零点的个数及范围.,罗尔定理,柯西中值定理,1、 微分中值定理及其相互关系,有关中值问题的解

6、题的关键：利用逆向思维 , 设辅助函数.,微分中值定理的主要应用:研究函数或导数的性态,证明恒等式或不等式,证明有关中值问题的结论.,2、洛必达法则,注意洛必达法则成立的条件，特别是每次出现的极限都要存在。,通分,取倒数,取对数,3、导数或微分的应用,(1)研究函数的性态:,单调，极值（最值），凹凸、拐点，渐近线，（曲率不考）,1)可导函数单调性判别(利用一阶导数的符号),f(x)在I 上单调递增,f(x)在I 上单调递减,2)连续函数的极值(利用一阶或二阶导数的符号),(i) 极值可能点 :,使导数为0 （驻点）或不存在的点,(ii) 第一充分条件,f(x0)为极大值,f(x0)为极小值,(

7、iii) 第二充分条件,最值点应在极值点和边界点上找 ,应用题可根据问题的实际意义判别.,3)连续函数的最值,f(x0)为极大值,f(x0)为极小值,3)曲线凹凸与拐点的判别(利用二阶导数的符号),f(x)在I上向上凸,f(x)在I上向上凹,拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点,4)曲线渐近线的求法,水平渐近线：,铅直渐近线：,斜渐近线：,5)函数图形的描绘,(3)其他应用 ：,求不定式极限 ；几何应用；相关变化率；证明不等式；近似计算；研究方程的实根等.,(2)解决最值问题,目标函数的建立与简化，最值的判别问题,四、不定积分： 重点：原函数、不定积分的概念；利用换元、分部积分计算不定积分.,第

8、四、五章（35%左右）,1、原函数、不定积分的概念,(2)不定积分的几何意义：,f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族.,30,(3)微分与积分之间的关系:,或,或,即下面几个命题等价：,2、求不定积分的基本方法（熟记积分公式）,1）直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则，求不定积分.,2）换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),3）分部积分法,一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,前者取为 u ,排后者取为,题目类型 :分部化简;循环解出;递推公式.,4） 可化为有理函数的积分,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,

9、万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,Note:上述只是一般方法，不一定是最简便的方法,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.,Note: 初等函数的原函数不一定是初等函数，因此不一定能积出来.,例如,五、定积分及其应用： 重点：定积分的几何意义及性质；利用导数研究有关积分上限函数的单调性、极限、极值等；求分段函数的积分上限函数；利用换元、分部积分计算定积分；两类反常（广义）积分的基本计算；求在直角坐标系下平面图形的面积、曲线的弧长、旋转体的体积；求变力沿直线所作的功、侧压力.（引力不考） 难点：积分等式、不等式的证明；积分中值定理的应用.,1、定积分的概念及其性质,机动 目录 上页

10、下页 返回 结束,（1）定积分概念（分割，近似，求和，取极限）,（2）可积条件,（3）性质（注意性质成立的条件）,（4）定积分的几何意义（有向面积）,2、定积分的计算,（1）利用定义或几何意义计算,（2）微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）,（3）定积分的换元法：,（4）定积分的分部积分法：,（5）常用的定积分公式：,1）奇偶函数在对称区间上的定积分：,2）周期函数的定积分公式：,3）三角函数的定积分：,3、变上限积分及其导数 （和第二、三章的内容相结合）,4、 广义积分,（1）无穷区间上的广义积分（第一类广义积分）,（2）无界函数的广义积分（第二类广义积分、瑕积分）,5、 有关定积分的证明,

11、等式证明和不等式证明,(1)平面图形的面积,直角坐标情形,6、定积分的几何应用,极坐标情形,（2）体积,1、 已知平行截面面积A(x)的立体,2、 旋转体的体积,1、直角坐标系情形,2、参数方程情形,3、极坐标情形,（3）曲线的弧长,6、定积分的物理应用,主要问题：变力沿直线作功，液体对薄板的侧压力,主要方法：利用微元法,看作业中题型，会做类似的题目，做题是首先要建立坐标系.,六、常微分方程（10%左右）： 重点：一阶微分方程中可分离变量方程、一阶线性方程的求解。 难点：微分方程的综合应用.,1、微分方程的基本概念,微分方程，微分方程的分类，阶，通解（注意几阶方程含有几个任意常数），特解，初始条件（或初值条件），定解问题等.,2、微分方程的求解,(1)分离变量方程的解法:,两边积