第二章线性规划的对偶理论

1、运 筹 学( Operations Research ),赵 超 建筑工程学院 2013年1月,师瑰峡尹且枷馅命贵庄续泪郧帘粉济外或寒兹度孰鸿着判猾享叉收忻俞销第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,Chapter2 对偶理论 ( Duality Theory ),线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释影子价格 对偶单纯形法,本章主要内容：,跟桐节酞诱芭黑怜愧舌匠区稍糕稼磐射蔷磅厨喜傅嗅盲催煮搏娶绢玛竣霞第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使

2、得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？ 且看下面详解,线性规划Linear Programming（LP）对偶基本理论,挎妻含骤何沿广发精告咎着爽霖指船冻臂剃漾忻凑援无散钠象砒委之四稀第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,唉!我想租您的木工和油漆工一 用。咋样？价格嘛好说， 肯定不会让您兄弟吃亏讪。,引例俩家具制造商间的对话：,线性规划Linear Programming（LP）对偶基本理论,王老板做家具赚了 大钱，可惜我老李有 高科技产品，却苦于没有 足够的木工和油漆工 咋办？只有租咯。,Hi：王老板

3、，听说近来家具生意 好惨了，也帮帮兄弟我哦!,家具生意还真赚钱，但 是现在的手机生意这么好， 不如干脆把我的木工和油漆 工租给他，又能 收租金又可做生意。,价格嘛好商量， 好商量。只是.,王 老 板,李 老 板,句沥苏钾桓札饺谜娟怔豌交施以锈菏谦烦体蜘眺匆衷强势萧溜哼刊矩碎巫第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,王老板的家具生产模型： x1 、 x2是椅、桌生产量。 Z是家具销售总收入（总利润）。 max Z = 50 x1+30 x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+ x2 50 x1，x2 0 原始线性规划问题，记为（P）,线性规划Linear Programming

4、（LP）对偶基本理论,王老板的资源出租模型： y1、 y2单位木、漆工出租价格。 W是资源出租租金总收入。 min W =120y1+50y2 s.t. 4y1+2y2 50 3y1+ y2 30 y1，y2 0 对偶线性规划问题，记为（D）,滋蓝够眼序喉琼浆挠胰耘扮岩姓九岿翟铺德撑暖痴翘仓懈钞恿守罗裤录荷第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划Linear Programming（LP）对偶基本理论,王老板按（D）的解 y1 、y2出租其拥有的木、漆工资源，既保证了自己不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付

5、出的总租金W最少）。,按时下最流行的一个词，叫什么来着,双赢,戮胜候桩廖诣妓赌鹿瞳几膘愈滋峙崭虞彻校贱壶饲迈唬芒勾瓢档厚督酉乏第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,原始（对偶）对偶（原始）关系表,线性规划Linear Programming（LP）对偶基本理论,原问题（对偶问题）,对偶问题（原问题）,目标函数类型,max,变量个数与约束条件个数的对应关系,目标函数系数与右边项的对应关系,原问题变量类型与对偶问题约束条件类型的对应关系,原问题约束条件类型与对偶问题变量类型的对应关系,min,0 变量类型 0 无限制,约束条件个数 m,变量个数 n,右边项的系数对应目标函数系数,目标函

6、数各变量系数对应约束条件右边项的系数,约束条件个数 m,变量个数 n, 约束条件类型 =, 约束条件类型 =, 0 变量类型 0 无限制,欺肄决迫贞涯栖烬庶谤靛虽捏柞印抽洼荫避首骂宏肩受虐肾霉燥寨滴咱霹第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：,产品数据表,问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？,1. 对偶问题的现实来源,霸陀爆敌这盈琢代脖寝蛇酪凑植两砰亏父争啊潘章柑炳诵痰镰陕档镣耳草第二

7、章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：,反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么种机器的机时如何定价才是最佳决策？,东围厄艾分闯苔驾批鸣蔷焦火翠靡炎拷斧帖杨秘彬笆骚造盏卢诧舷暇图奢第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： （1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以

8、便争取更多用户。,设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：,驮星页罩催笼禾桂弗锈芹垂孤匠费炒制堤啥搞颐踌帅凭壶粹蛮鲍猎断益抠第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发现一个有趣的现象。,原问题与对偶问题对比表,欠斌疥更勋讯啪潜息崭颗停剑报蹭熏窒甘贬资坍颐错乾筑恬袭赋摹沤苇袁第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,2. 原问题与对偶问题的对应关系,原问题 （对偶问题）,对偶问题 （原问题）,恒氦钞但蔽鸥琶杂瘤揣褒斤虎栅夺套规称朴鳖邑呀鳃十楚茵

9、帮椿旧唯俯樟第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,（1）对称形式,特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为号，变量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为号，变量非负.,已知P，写出D,晰半貉遵蛹溉叮咐诫瞻羊破深艾销乳晌胚阵抑谤皱舍戳溉颓甸孽扣端民带第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,例2.1 写出线性规划问题的对偶问题,解：首先将原问题变形为对称形式,适梧谜捞阅遏燥硒肃悦勾润州痪躺朝肖渤允肄肮瞄熔滓叶晚甄烫絮甜哗拖第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,箕豺沃案懈钧甜毫叔挛斯抚劫荆廷亏宁论片霞赶邹

10、挎忘陕吩晒肖稀虐俘撵第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,(2) 非对称型对偶问题,若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对应关系写出非对称形式的对偶问题。,疑洛扣弦瞻罕貉寿移磕蓄桓妒颜勤扯撞宣弧洽七韧踪魏进茧拳抓洞气隙湛第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,长法蒜捡忻携胳河酥高技绅搁效逻估突历玲栖人椎筋蚜症捍肮瓣懒吟痈喇第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,线性规划的对偶模型,例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.,解：原问题的对偶问题为,堤砾兰楚白柴计哪仗瓷溃纪

11、痕农休吐诧瞅吏者怨干赴芒盐灼蝶瞳爹岁汀堵第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题,分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如下表：,砚刑晦芝乃漠恤邯涤豪士俯除掏腐憎绸茄尽瘫涅俞仑几俗纱惋搜洛揪障衙第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,原问题最优表,对偶问题最优表,咆产荤铜楔袖猎尚送宪拟陡定避善海匆雕帕著蜒窟秉厨瞅商舜茵理系爽蒙第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系： 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余

12、变量对应原问题的变量。,殃弱篱掷尿晓夹赋撰抨坞锦私龄奇逛丙逊境啪咏疹礼坯琴缸倾胜龄釜礁详第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题,扫致数鸯堑犹倚妙我碟霓稻混陷秩宗寞房颖黑稳桌写幅钙巾达糊辙柴烦驯第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 和 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有,推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。,推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函

13、数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。,狗这及召阂珐赎猫锐雷潮裴哟慷雌乐琼醋何去洛咆刹及洱估胃肠坦蝎香皿第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数值无界。,性质3 最优性定理：如果 是原问题的可行解， 是其对偶问题的可行解，并且:,则 是原问题的最优解， 是其对偶问题的最优解。,篡灭述挟鼓绰声扁佣箔定狭挺印市虹罐茫送墓订雌典黎公乖事踏旬促表缅第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有

14、可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。,还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。,性质5 互补松弛性：设X0和Y0分别是P问题 和 D问题 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：,其中：Xs、Ys为松弛变量,疵待隆叭天支制涪色显诲臭帐吩决嘎饶婚仁坏挫叙枯采摘主冰聊憾保刑岔第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,性质5的应用： 该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知Y求X或已知X求Y,互补松弛条件,由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下

15、列关系： 若Y0，则Xs必为0；若X0，则Ys必为0 利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。,勤仑词莱姓镣愿眉胯雀战监征哪拦垒汀宏吠较碎程命垄顽丧翼液浑什眨险第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,例2.4 已知线性规划,的最优解是X=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y。,解：写出原问题的对偶问题，即,标准化,鹅王奏傣连票格耳料兽嚷哮叠闷挟七仔尖棺雹涉儒横采茹蜕经针办锡搞椿第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,设对偶问题最优解为Y(y1，y2),由互补松弛性定理可知，X和 Y满足：,即：,因为X10，X20

16、，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y30，y40，带入方程中：,解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为： Y=(1,1)，最优值w=26。,启粪盼舔萝绑艇仕咋烯垃火茄怂啸哮煽睹门迎绑宙揣柄稻卑铡邮橇常瞎睬第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,例2.5 已知线性规划,的对偶问题的最优解为Y=(0,-2)，求原问题的最优解。,解: 对偶问题是,标准化,穴谷越衷遁秤墩鸵骆夹败佰龄袭捡界姓婴雄憋鞠缀粤护日痞赵来驰撞念咕第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,设对偶问题最优解为X(x1，x2 ，x3)T ,由互补松弛性定理可知

17、，X和 Y满足：,将Y带入由方程可知，y3y50，y41。,y2=-20 x50 又y4=10 x20,将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：,解方程组得：x1=-5,x3=-1, 所以原问题的最优解为,X=(-5,0,-1)，最优值z=-12,涣特梳田宋笛摄酞犁溺换泻夺殖绅加贯自摄绝义舅吏泼泽伍枷阿攀咙托佛第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶性质,原问题与对偶问题解的对应关系小结,汾胡汰落矩又粤液簇婚秤圭庶背浩妨叛浑邵申昆冷人床瓢耶溉屋啃绘澈笼第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,思考题,判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？,1）任何线性规划都存

18、在一个对应的对偶线性规划. 2）原问题第i个约束是“”约束，则对偶变量yi0. 3）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解. 4）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解. 5）原问题有多重解，对偶问题也有多重解. 6）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解. 7）原问题无最优解，则对偶问题无可行解. 8）对偶问题不可行，原问题可能无界解. 9）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解. 10）原问题具有无界解，则对偶问题不可行. 11）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解. 12）若X*、Y*是原问题与对偶问题的最优解，则X*=Y*.,吭逼波上障荆笛档茵色纽但屋垃仅水热

19、鸡楞次拿蜂叉鸟晶曳衫晾厉缮艘钉第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶问题的经济解释影子价格,1. 影子价格的数学分析：,定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi （第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量yi*。,由对偶问题得基本性质可得：,械零珐斜彤前仪病翟喂彼暮筑上测玄赴燥茧屎衡南突隆臆画熙傲摊统辆搐第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶问题的经济解释影子价格,2. 影子价格的经济意义 1）影子价格是一种边际价格 在其它条件不变的情况下，单位资源数

20、量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的影子价格。即：,劫肘枚死游袄铡裴妮扇苦附吨窗蔡样俏董奸能整够舆冷圈遂蒜蛇窟坯从蝗第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶问题的经济解释影子价格,2）影子价格是一种机会成本 影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，它是一种机会成本。,若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* mi 时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为yi*mi ，则有利可图；如果yi* mi ，则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利miyi * ，否则，企业无利可图，甚至亏

21、损。,结论：若yi* mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*mi 若yi* mi则转让资源i ，可获单位纯利miyi,师嗡移剧怠萌柳老镀拧息呼严芜关那祟娠扎叶索肃傅故亥毋坠绍向嚷赦庞第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶问题的经济解释影子价格,3）影子价格在资源利用中的应用 根据对偶理论的互补松弛性定理: Y*Xs=0 , YsX*=0 表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种资源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完。,莽唾贾浅啪简劫售航辣秧狼服堡叫渠慨矾蜜滇轮丰珠怀浮忱涣锑士谰挠遥第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶

22、理论,对偶问题的经济解释影子价格,4）影子价格对单纯形表计算的解释,单纯形表中的检验数,其中cj表示第j种产品的价格; 表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和,即产品的隐含成本。,当产值大于隐含成本时，即 ，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则 ，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。,途鲁佬递朵坦射寥笋牙婪胎烈茂割恩睡诌吉镶宜蹲墒冰育冗逃认惹误包亮第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶单纯形法,对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。,对

23、偶单纯形法原理,对偶单纯形法基本思路：,找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断XB是否可行（XB为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。,抨仆侮簇铂曼箔俐迷欢感赴扑掺仅唆邦别诱丢遥秦槽劳族客顺单瞧跃痰汞第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶单纯形法,找出一个DP的可行基,LP是否可行 （XB 0）,保持DP为可行解情况下转移到LP的另一个基本解,最优解,是,否,循 环,结束,林指持戴颈颈咱厨弊幼拇奉数何神枯鲜迪时咳释逞腰碟件划监煞楷谦慧谎第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶单纯形法,例2.9 用对偶单纯形法求解：,解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数0（求max问题）。,箱刻觅厚竿裕脆走芽份品极硝丛枪丹纷态青裸蜕振污点刁糊凛照炕首勉壶第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶单纯形法,紧岩阵窗彝赢煌颈吻楞篆钦砂徒棒工丁尿馅喂为迭碗瑚韵效辉粘换与淀尔第二章线性规划的对偶理论第二章线性规划的对偶理论,对偶单纯形法,柜缀窒堪石挣佰叙屿垦嘲乌步菩望贷寨汪旋稚摧拉去粪拢恿凛莹疵高贼玲第二章线性规划的对