稳定性与能控能观性分解.ppt

1、1,第3章 稳定性与能控能观性,本章开始进入系统分析的重要内容 , 一方面在前两章有关系统稳定性知识的基础上把问题展开 , 介绍几种根据系统数学模型判别系统稳定性的判据 , 并分析影响系统稳定性的参数 ;另一方面介绍系统能观性与能控性的判别 , 这些是对系统进行动态控制的前提。,2,3.1 关于系统稳定性,3.1.1 大范围稳定与小偏差稳定 如前所述 , 线性系统的稳定性 , 是由干扰消失后的自由运动 ( 或瞬态响应 ) 是否收敛来衡量的。从数学模型上看 , 它完全取决于系统特征根 , 与偏离初始平衡态的偏差和输入的形式及大小无关。只要特征根为负根 , 无论初始偏差多大系统都稳定。因此 , 从

2、纯数学角度所讨论的稳定性 , 被称为大范围稳定或全局稳定。,3,3.1.2 输出稳定与状态稳定 经典控制理论的数学模型是对系统的外部描述 , 它用输入作用下系统输出的变化来表征系统运动 , 稳定性所考察的对象是系统输出的变化 ( 自由运动或瞬态响应是否收敛 ) , 这种稳定性被称为输出稳定或外部稳定。 3.1.3 系统稳定的充分必要条件 前面不止一次提到过 , 线性系统稳定的充分必要条件是 : 系统特征根 ( 闭环极点 ) 全部具有负实部 , 下面对此加以证明。,4,5,由上可见: 1) 只要特征根为负根Pi 0 或具有负实部 0,式中各瞬态响应项都会最终衰减为0,系统就是稳定的(注:tq是指

3、数级的,其增长不及 ept的衰减,tqept仍是收敛函数)。 2) 系数an,a0的改变将引起特征根改变,从而影响系统的稳定性。 3) 系数 bm,b0的改变只引起各组成项系数di、gj、hk改变,从而影响瞬态响应的幅值大小,但不影响特征根,与系统稳定性无关。 4) 输入幅值改变只引起c0和di、gj、hk改变,也不影响特征根,所以输入与线性系统稳定性也无关。,6,3.1.4 不求特征根的判别方法 按特征根判别系统的稳定性,必须求解特征方程。尽管计算机求解特征方程并不困难,但工程中常常希望不计算特征根就可以判定系统的稳定性,并能够定性地分析系统动态特性,这种方法被称为稳定性判据,已成功地应用在

4、工程中。常用的稳定性判据有:代数判据(劳斯判据)它按特征方程各项系数 ai判别系统 I/O 稳定性;李亚普诺夫判据它用能量函数V(x) 判别系统状态稳定性; 频域判据( 奈奎斯特判据、波德判据)它按开环频率特性GK(j) 判别系统 I/O稳定性。,7,3.2.1 劳斯(Routh)判据 (1)系统稳定的必要条件由二阶方程系数与特征根的关系, 推到n阶特征方程 的系数 ai与特征根pj有如下关系:,3.2 代数判据,8,(2)系统稳定的充分必要条件 要判定系统稳定性,必须寻求系统稳定的充分必要条件,劳斯表解决了这一问题。 劳斯表 将特征方程系数 ai排成下表中的sn和sn- 1行(称为系数行),

5、然后按下面的式 (323) (325) 计算各系数值,并将各系数值排出 sn - 2至 s0行(称为导出行),这个表称为劳斯表。,9,10,这一过程计算到之后的值都等于零时为止。用同样的方法 , 可以计算 c, d , e 等各行的系数 劳斯判据系统稳定的充要条件是 : 劳斯表第一列各系数的符号相同且不为零。如劳斯表第一列的各系数符号不同或出现 0 , 则系统不稳定 , 且符号改变次数等于正实部特征根数目。,11,例 3.1 设系统的特征方程式为 试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解 该方程系数满足稳定的必要条件。排出劳斯表如右 , 由表看出第一列系数符号不同 , 系统不稳定。,12,因系数符号

6、改变了2次(从+1- 2+3),则系统有2个正实部根。用MATLAB语句p=1,2,3,4,3;roots(p)求出的特征根为: 0110 2 + 1393 5 i 0110 2 - 1393 5 i - 1110 2 + 0550 4 i - 1110 2 - 0550 4 i 确有 2 个正实部特征根。 根据劳斯表 , 容易得到 1 4 阶系统稳定的充要条件如表 3 . 1 所示。,13,( 3 ) 特殊情况的处理 1 ) 劳斯表中任意一行的第一个元素为零 , 而后的各元素并不为零。 此时在计算劳斯表的下一行元素时 , 该元素必将趋于无穷 , 使劳斯阵列表的计算将无法进行。为了克服这一困难

7、 , 可以用一个很小的正数 来代替第一列等于零的元素 , 然后再计算其他各元素。,14,例 3.3 设某系统的特征方程式为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 该系统劳斯表如右。由于 ( 2 - 2 /) 为负数 , 故第一列各元素符号不完全一致 , 系统不稳定。第一列各元素符号改变次数为 2 , 因此有 2 个具有正实部的根。,15,2 ) 劳斯表中任意一行的所有元素为零。 出现这种情况时劳斯表的计算无法进行 , 为此利用该行上一行元素构成一个辅助多项式 ,并利用该多项式的导数多项式的系数代替全 0 行 , 从而把其余各元的计算继续下去。 例 3.5 设某系统特征方程为 试用劳斯判据判别系统

8、的稳定性。 解 计算劳斯表各元素列表如右 , 在 s3行出现全 0。辅助多项式为,16,17,3.2.2 谢聂判据 根据特征多项式系数判别系统稳定性问题虽早已由劳斯、霍尔维兹等人解决 , 但其判据的充要条件由多个式子所组成 , 在阶次较高时式子多而繁 , 且当 n 20 时劳斯表计算不能保证舍入误差稳定。我国学者谢绪恺于 1957 年在第一届力学学术会议上报告了一个惊人的发现 :各项系数同号的多项式 稳定的一个必要条件为,18,19,俄国学者李亚普诺夫 ( Lyapunov) 于 1892 年提出了研究系统稳定性的间接法 ( 第一法 ) 和直接法 ( 第二法 ) , 直接法可以用于线性系统 ,

9、 也可以用于非线性系统。 3.3.1 李亚普诺夫第一法 第一法是针对系统的线性化提出的 , 按系统特征根进行稳定性的定性判断。 该法的主要内容是 : 若线性化系统的系统矩阵 A的特征根 : 1 ) 全部为负实部根 , 则实际系统渐近稳定 , 在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性无影响。即线性化模型渐近稳定 , 线性化前的非线性系统也渐近稳定。,3.3 李亚普诺夫判据,20,2 ) 只要有一个为正实部根 , 则实际系统不稳定 , 在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性无影响。即线性化模型不稳定 , 线性化前的非线性系统也不稳定。 3 ) 只要有一个实部为 0 ( 纯虚根 ) , 其余为

10、负实部 , 则在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性有影响 , 不能用线性化模型来判断实际系统的稳定性 , 必须采用实际系统的非线性模型来判断。,21,3.3.2 李亚普诺夫第二法 第二法不按特征根而按系统能量变化直接获得其稳定性的信息 , 故称为直接法。 ( 1 ) 平衡状态与范数. 设系统的状态方程一般形式为,.,22,23,(2)状态稳定性的提法 设 S() 是一个满足x- xe的球域,平衡态xe是该域中当t = 0时的一个点。设S() 是xe的一个邻域,每对应一个域S(),存在一个域 S(),当 t无限增加时,系统从 S() 出发的状态轨迹 X(t) 有三种可能:,24,1 ) 渐

11、近稳定 不超出 S( ) 并最终收敛于平衡态 xe, 即 t 时有 2 ) 在李亚普诺夫意义下稳定 不能达到平衡态 xe, 但对一切 t 都存在 3 ) 不稳定 不能达到平衡态 xe, 且无论 怎样小 , 至少都有一个 t 使得,25,( 3 ) 能量变化与状态稳定性 系统的状态变化总是伴随着能量的变化。为了简单说明问题 , 设系统的动能和势能分别为,26,27,( 4 ) 李亚普诺夫稳定性定理 把上述概念拓宽 , 设连续纯量函数 V( x) 是系统的广义能量函数 , 又称为李亚普诺夫函数 , 它是正定的 , 即只有在 x = xe = 0 处 V( x) = 0 , 其余 x 0 处 V(

12、x) 0 ; 它具有连续一阶偏导数 ; 它的变化遵循系统的状态方程。于是 , 可根据 V( x) 的正负来判别状态的稳定性。,28,定理: 当选定 x0(即干扰产生偏离平衡状态 xe的初始偏差),V(x) 0 后, 1) 如果 V(x) 0,则原平衡状态xe是不稳定的。 3) 如果 V(x) 0,但 V(x) 不恒等于0,则原平衡状态 xe是李亚普诺夫意义下稳定的,不过不是渐近稳定的(可以保持一个稳定的等幅振荡状态)。,29,3.3.3 线性系统稳定性的直接法 李亚普诺夫稳定性定理没有给出正确寻找李亚普诺夫函数的方法 , 成为应用直接法的主要问题。但对于线性定常系统 x = Ax, 当选择如下

13、线性二次型李亚普诺夫函数 V( X) 时 , 则可以给出系统渐近稳定的充要条件 :,30,例 3.7 用李亚普诺夫稳定性定理判断系统,.,31,32,频率判据是一种几何判据 , 先由 HNyquist 于 1932 年提出 , 称为奈奎斯特判据 , 在 20 世纪40 年代得到广泛应用。后来 Bode 将它转换到 Bode 图上 , 更加直观方便 , 称为波德判据。 3.4.1 奈奎斯特稳定判据 ( 1 ) 开环极点与闭环极点间的关系 要用开环频率特性来判断闭环系统的稳定性 , 必须要找到开环极点与闭环极点间的关系才行。设闭环系统如图 3.4.1 所示 , 其前向传递函数为,3.4 频域判据,

14、33,34,35,( 2 ) 幅角原理 把特征函数 F ( j) 表示成零极点形式,36,37,38,(3)Nyquist 稳定性判据的叙述 = - +时,GK(j) 的Nyquist轨迹逆时针包围( - 1,j0) 点的圈数N等于GK(j)的正极点数P 时,则闭环系统稳定(此时Z = P - N = P - P = 0,即闭环无右半 s平面上的极点)。,39,3.4.2 Nyquist 判据的应用 应用 Nyquist 判据时 , 先要知道 GK( j) 在右半平面的极点数 P , 然后按最小相位系统或非最小相位系统两种情况分别按表 3.2 进行判别。,40,( 1 ) 最小相位系统 ( P

15、 = 0 ) 的稳定性 例 3.8 设单位反馈系统的开环传递函数 试用 Nyquist 判据判断该闭环系统稳定性。 解 该系统为0 型, GK(j) 的 Nyquist 轨迹如图3.4.4 所示,其中 = - 0-段用虚线表示,= 0+ 段用实线表示, 它们以实轴为对称轴。前面第 2 章介绍的系统开环Nyquist 曲线是= 0+ 的那部分。,41,临界稳定的物理解释 临界稳定时 GK(j) 的 Nyquist 轨迹正好通过( - 1,j0) 点,此时输出与输入的幅值相等,而相位正好差180。这相当于系统受到等幅值的“正负”反馈的交替作用,如图345 所示,因而系统的输出为xo, 即等幅振荡,

16、故系统处于临界稳定状态。 例 3.9 设单位反馈系统的开环传递函数 试判断该系统的稳定性。,42,43,例 3.9 设单位反馈系统的开环传递函数 试判断该系统的稳定性。 解 该系统为 0 型, 只是在前例前向通道中加入了一个超前环节 (s+ 1), 它的 Nyquist 轨迹仍起于正实轴,但以最大相位滞后180收敛于 0 点,其中间过程取决于超前时间常数 。如果 T1(或 T2及T3),则有,44,45,结论 当 GK(j) 的Nyquist轨迹不穿越负实轴时, K的变化不影响系统稳定性;穿越负实轴时,K的变化要影响系统稳定性,K越大系统稳定性越差,超过临界值后系统变得不稳定。 在系统开环中加

17、入超前环节可以改善系统稳定性(但 值要适当)。 通过加入某种环节改变系统结构从而改善系统性能的方法称为系统校正(见第5 章)。,46,47,例 3.10 设单位反馈系统的开环传递函数 试判断该系统的稳定性。 解 该 系 统 为 I 型 , K 较 小 时 Nyquist 曲 线 如 图2.4.7 所示。图中细双点画线为辅助圆弧线 , 顺时针跨越2 v = 2 个象限。整个曲线不包围 ( - 1 , j0 ) 点 , 系统稳定 , 但随着 K 增大 , 系统将从稳定临界稳定不稳定。,48,49,例 3.11 设单位反馈系统的开环传递函数 试判断该系统的稳定性。 解 该系统为上例加入一个积分环节

18、, 系统从型变为型( v = 2 ) , Nyqu ist 曲线如图 2.4.8 所示 , 辅助圆弧线顺时针跨越 2v = 4 个象限。因整个曲线顺时针包围 ( - 1 , j0 ) 点 2 圈 , Z = P - N = 0 - ( - 2 ) = 2 , 故系统不稳定 , 且对任何 K 值都不稳定。,50,51,结论 增加系统型号 v 对系统稳定性不利 ( 但对提高稳态精度有利 ) 。 不包含超前环节的型系统总是不稳定的 , 而且是结构不稳定 ( 闭环特征方程必定有缺项 ) 。此时调节系统参数 K和 T 对稳定性无济于事 , 必须采用校正的方法才能稳定。为了保证系统的稳定性 , 实际系统一

19、般不超过型 ( 不采用型系统 ) 。,52,( 2 ) 条件稳定系统 当 Nyquist 曲线不止一次穿越负实轴时 , 系统稳定性并不随 K 值的增大简单地从稳定临界稳定不稳定 , K 需要分段取值才能保证稳定。 例 3.12 设单位反馈系统的开环传递函数 试判断该系统的稳定性。,53,解 当T1 T2时,Nyquist曲线如图2.4.9 所示。随着K增大,曲线扩展,相当于图中( - 1,j0) 点沿负实轴向0点移动。当( - 1,j0) 点在 a点时曲线不包围a 点,系统稳定。当( - 1,j0) 点在b点时,曲线顺时针包围b点2圈,系统不稳定。当( - 1,j0) 点在c点时,曲线顺时针及

20、逆时针各包围 c点1 圈,系统又变得稳定。,54,( 3 ) Nyquist 判据的等价叙述 对于复杂系统 , GK( j) 的 Nyqu ist 轨迹将反复穿越负实轴 , 此时轨迹包围 ( - 1 , j0 ) 点的圈数很容易数错。,55,56,例 3.13 设单位反馈系统的开环传递函数 试判断该系统的稳定性。 解 该系统为带超前环节的型( v = 2),设 T1、T2 1、2 T3, Nyquist 半轨迹如图2.4.12 所示。 在 K 较小时 , 无正穿越 , 有 1 次负穿越 , 0 - 1 = - 1 P /2 , 故系统不稳定。 若 K 增大 , 使( - 1, j0 ) 点移到

21、图中 b 点时 , 有一次正穿越, 1 - 1 = 0 = P /2 , 故系统稳定。 若 K 再继续增大 , 使 ( - 1 , j0 ) 点移到图中 a 点时 , 又增加一次负穿越 , 1 - 2 = - 1 P /2 ,故系统不稳定。,57,58,3.4.3 Bode 判据 若将 Nyquist 图改为 Bode 图同样可以判别系统的稳定性 , 两图存在如下对应关系 : Nyquist 图上的单位圆 ( 幅值为 1 ) Bode 图上的 0 分贝线 ; Nyquist 图上的负实轴 Bode图上的 - 180线 , 如图 2.4.13 所示。,59,60,61,穿越频率 为了今后分析方便

22、 , 定义两种穿越频率 : c Nyquist 轨迹与单位圆交点的频率 , 即对数幅频曲线 L( ) 在 0dB 线上的交点频率 , 称为幅值穿越频率、幅值剪切频率或幅值交界频率。,62,63,3.4.4 非最小相位系统的稳定性 非最小相位环节与对应最小相位环节的比较见图 3.4.15 和 3.4.16。由图可见 , 非最小相位环节与对应的最小相位环节的幅频特性相同 , 而相频特性不同 , 它的相位变化范围大 , 高频段不存在 2.6.2 节中所述的 ( v + u + 2q - r) ( - 90) 的关系。,64,例 3.14 设单位反馈系统如图 3.4.17 所示 , 试判断该系统的稳定

23、性。,65,66,67,解 该系统有一个因被控对象含有正反馈而形成的非最小相位环节 G3 ( s) = 10 / ( 10s - 1 ) ,有一个 s = 01 的正极点 , P = 1 , 是一个非最小相位系统 , 其开环传递函数为 Nyquist 图和 Bode 图如图 3.4.18 所示。,68,3.5.1 问题的提出 状态能控性和能观性是卡尔曼 ( Kalman ) 在 20 世纪 60 年代提出的现代控制理论的两个基本概念。能控性是指能否通过输入使系统在有限时间内从其初始状态达到目标状态 , 能观性是指能否根据有限时间内对输出的观测确定该时间段内的系统状态 , 它们分别表征了系统对状

24、态的控制能力和识别能力。,3.5 状态能控能观性,69,70,3.5.2 能控性的定义及判别 上例虽可直观理解系统的状态能控能观概念 , 但为了进一步揭示它是系统除稳定性之外的另一基本结构特性 , 有必要介绍这两个概念的定义及其判别方法。 (1)能控性定义 线性系统 X= A(t)X+ B(t)u,如果对于取定初始时刻t0 J 的一个非零初始状态X(t0)= X0,存在一个时刻t1(t0 t1J) 和一个容许控制u(t)(tt0,t1),使得系统在 u(t) 作用下由初始状态X0出发的轨线,经过t1- t0时间后能转移到目标状态X(t1) =0,则称此X0是系统在 t0时刻的一个能控状态,见图

25、3.5.2。,71,(2) 能控性判据(省略证明)1) 判据的第一种形式系统 X= AX + Bu 能控的充分必要条件是:能控性矩阵 Qc= BABAn- 1B 满秩,即 从物理概念上看 , 式 ( 3.5.1 ) 表示 : 一个 n 阶系统可以被控制的状态数目为 n , 超过 n 的多余 状态必然是不能控的。,72,73,例 3.15 考察如下系统的能控性 解 用 MATLAB 计算出 再输入矩阵Qc= bAbA2b,用k= rank(Qc) 语句可求出能控性矩阵的秩 rankQc= n = 3,故此系统状态能控。,74,2)判据的第二种形式 设系统 X= AX+Bu的特征根为相异单实根1,

26、2,n,可通过非奇异变换将其化为对角形 则系统状态能控的充分必要条件是:对角形的Bd中无元素全为0的行, 否则系统不能控,且全为0 元素的行所对应的状态是不能控状态。,75,例 3.17 试判断系统 的能控性 , 并指出各状态变量能控或不能控。 解 该系统的对角形为,76,因 Bd中仅第2 行元素是0,故x1和 x3能控而x2不能控,系统不能控(用Qc的秩判断结果相同)。,77,78,3.5.3 能观性的定义及判别 ( 1 ) 能观测性定义 线性系统 X= A(t)X+B(t)u、y = C(t)X,如果对于取定初始时刻t0J的一个非零初始状态 X(t0) = X0,存在一个时刻 t1(t0

27、t1 J), 使得由区间t0 t1 上的系统输出观测值y(t),可以惟一地决定系统的初始状态 X0,则称此 X0为能观测状态。,79,( 2 ) 能观测性判据 1 ) 判据的第一种形式 系统 X = AX + Bu、y = C( t ) X 能观的充分必要条件是 : 能观性矩阵,80,2)判据的第二种形式 设系统 的特征根为相异单实根1,2,n,可通过非奇异变换将其化为对角形珘 ,则系统状态能观的充分必要条件是:对角形的Cd中列元素全为0。否则系统不能观,且全为0 元素的列所对应的状态是不能观状态。,81,例 3.19 试判断例 3.17 系统的状态能观性。解 按判据第一种形式 : 计算出 因 rankQo= 3 = n, 故系统能观。 按判据第二种形式结果相同:对角形的 Cd中不包含有0元素,故系统能观。从标量方程及仿真结构图3.5.3 看:能观状态与输出 y有关,不能观状态与输出 y无关。,82,例 3.20 试判别如下系统的能观测性 : 解 用 MATLAB 语句 q0 = obsv( a , c) 可直接得能观性矩阵为,因 rankQo = 2 n = 3 , 故系统不能观。,83,( 3 ) 能控性与能观性间的对偶性 如果两个系统间存在如下转置关系 则称系统 珔A、珋b、珋c 是系统 A、b、c 的对偶系统。 控制器规范形 ( 2.4.23 ) 与观测器