Kriging方法的公式推导

1、地统计（Geostatistics）又称地质统计，它是以区域化变量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性又具有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现象的一门科学。凡是与空间数据的结构性和随机性，或空间相关性和依赖性，或空间格局与变异有关的研究，并对这些数据进行最优无偏内插估计，或模拟这些数据的离散性、波动性时，皆可应用地统计学的理论与方法。 地统计方法的条件：(1)随机过程 (2)正态分布 （3)平稳性： 均值平稳 协方差函数有关的二阶平稳和与半变异函数有关的内蕴平稳 Kriging 插值的条件：变异函数和相关分析的结果表明区域化变量存在空间相关性。,首先假设区域化变量 满足二阶平稳假设和本征假

2、设，其数学期望为m，协方差函数 及变异函数 存在。 即 假设在待估计点（x）的临域内共有n个实测点，即x1，x2，xn，其样本值为 。那么，普通克里格法的插值公式为,(4.2.22),其中 为权重系数，表示各空间样本点 处的观测值 对估计值 的贡献程度。 可见，克立格插值的关键就是计算权重系数 。显然，权重系数的求取必须满足两个条件： 一是使 的估计是无偏的，即偏差的数学期望为零； 二是最优的，即使估计值 和实际值 之差的平方和最小。 为此，需要满足以下两个条件：,(1)无偏性。要使 成为 的无偏估计量，即 当 时，也就是当 时，则有 这时， 为 的无偏估计量。 （2）最优性。在满足无偏性条件

3、下，估计方差为,使用协方差函数表达，它可以进一步写为 (4.2.24) 为使估计方差最小，根据拉格朗日乘数原理，令 (4.2.25) 求F对 和 的偏导数，并令其为0，得克立格方程组 (4.2.26),(4.2.27),(4.2.28),整理后得,解线性方程组(4.2.27)式,求出权重系数i和拉格朗日系数,代入公式(4.2.24),可得克立格估计方差,上述过程也可用矩阵形式表示，令 则普通克立格方程组为 其估计方差为,在变异函数存在的条件下，根据协方差与变异函数的关系： ，也可以用变异函数表示普通克立格方程组和克立格估计方差，即 (4.2.29) 解线性方程组(4.2.27)式，求出权重系数

4、 和拉格朗日乘数，代入公式(4.2.24)，可得克立格估计方差 ，即,(4.2.30),也可以将克立格方程组和估计方差用变异函数写成上述矩阵形式。令 在以上的介绍中，区域化变量 的数学期望 可以是已知或未知的。如果m是已知常数，称为简单克立格法；如果m是未知常数，称为普通克立格法。不管是哪一种方法，均可根据方法计算权重系数和克立格估计量。,克里格插值基础,克里格方法概述 克里格方法（Kriging）又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进

5、行线性无偏、最优估计。无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小。,克里格插值基础,2.克里格方法的具体步骤,例如:某地区降水量是一个区域化变量，其变异函数 的实测值及距离h的关系见下表，下面我们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。,从上面的介绍和讨论，我们知道，球状变异函数的一般形式为 当 时，有,如果记 ，则可以得到线性模型 根据表中的数据，对上式进行最小二乘拟合 它是一种数学上的近似和优化，利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。，得到 (4.2.20),(4.2.19),比较(4.2.20)式与(4.2.19)式，并做简单计算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球状变异函数模型为,(4.2.21),4个观测点x1，x2，x3，x4的观测值分别为Z(x1)=37、Z(x2)=42、Z(x3)=36、Z(x4)=35，如果假设降水量的变异函数是向同性（即变异函数在各个方向的变化都相同）的二维球状模型，其具体形式为（4.2.21）式。现在，我们用普通克立格法估计观测点x0的降水量值Z(x0)。,当 时， 根据克立格矩阵的对称性，当 时， ，由此计算可得,将以上计算结果代入克立格方程组（4.2.31 ），得,即克立格权重系数分别为：1=0.287，2=0.