2020年普通高等学校全国统一考试（一卷）理科数学

1、绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 5 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B

2、 铅笔涂黑。答案写在 答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1若1zi= +，则 2 2zz=（ ） A0 B1 C 2 D2 2设集合 2 =|40Axx ，=|2 +0Bx x a ， 且| 21ABxx= ， 则a = （ ） A-4 B-2 C2 D4 3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥 的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积， 则

3、其侧面三角形底边上的高 与底面正方形的边长的比值为（ ） A 51 4 B 51 2 C 51 4 + D 51 2 + 4已知A为抛物线:C () 2 20ypx p=上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴 的距离为 9，则p =（） A2 B3 C6 D9 5 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位： ） 的关系， 在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(), ii x y（1i =，2，20）得到 下面的散点图： 由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是（ ） Aya bx=+B 2 y

4、abx=+C x yabe=+Dlnyabx=+ 6函数( ) 43 2f xxx=的图像在点( )()11f，处的切线方程为（） A 21yx= B2 +1yx= C23yx= D2 +1yx= 7 设函数( ) cos 6 f xx =+ 在,的图像大致如下图， 则( )f x的最小正周期为 （ ） A10 9 B 7 6 C 4 3 D 3 2 8( ) 2 5y xxy x + 的展开式中 33 x y的系数为（ ） A5 B10 C15 D20 9已知()0,，且3cos28cos5= ，则sin=（ ） A 5 3 B 2 3 C 1 3 D 5 9 10 已知 A， B， C 为

5、球 O 的球面上的三个点， 1 O为ABC 的外接圆 若 1 O的面积为4， AB=BC=AC= 1 OO，则球 O 的表面积为 A 64 B48 C36 D32 11已知M: 22 2220 xyxy+=，直线 l：220 xy+=，P 为 l 上的动点，过点 P 作M的切线 PA，PB，切点为 A，B，当 PMAB最小时，直线 AB 的方程为 A2 10 xy =B210 xy+ = C2 10 xy+ = D210 xy+ = 12.若 24 2log=42log ab ab+，则 Aa2b Ba2b Cab2 Dab2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13

6、若 x，y 满足约束条件 220 10 10 xy xy y + + ，则7zxy=+的最大值为 14设 a，b 为单位向量，则1+=ab，则ab= 15已知 F 为双曲线 C: () 22 22 10,0 xy ab ab =的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的 点，且 BF 垂直于 x 轴若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为 16如图，在三棱锥 P-ABC 的平面展开图，AC=1，AB=AD= 3，ABAC，ABAD， 30CAE=，则cosFCB= 三、 解答题：共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答

7、。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 设 n a是公比不为 1 的等比数列， 1 a为 2 a， 3 a的等差中项 (1)求 n a的公比； (2)若 1 1a =，求数列 n na的前 n 项和 18(12 分) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径， AE=ADABC是底面 的内接正三角形，P 为 DO 上一点， 6 6 PODO= 19 （12 分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者 与轮空者进行下一场比赛，

8、负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的 两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率 （1）证明：PA平面PAC； （2）求二面角B-PC-E的余弦值。 20 （12 分） 已知 A， B 分别为椭圆() 2 2 2 11 x Eya a +=：的左、 右顶点， G 为 E 的上顶点，8=AG GB P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点 21已知函数( ) 2x f xeaxx=+ （1）当 a=1 时，讨论( )f x的单调性； （2）当 x0 时，( ) 3 1 1 2 f xx+，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 cos sin k k xt yt = = （t 为参数） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4 cos16 s