第七章+波导与谐振腔.ppt

1、2020/7/8,1,第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,2,第七章 波导与谐振腔,7-1 导波系统及其电磁场方程 一、导波系统及其种类,导波系统（或称为传输线）：传导电磁波的系统。,（a）平行双线,（b）同轴线,（c）微带线,（d）矩形波导,（e）圆波导,（f）光纤,2020/7/8,3,均匀导波系统：沿传播方向导波装置横截面不发生变化。,传输线类型： TEM波传输线，如双导线、同轴线、微带等； 波导传输线，如矩形波导、圆形波导等； 表面波传输线，如介质波导等。,二、导波系统的电磁场方程,无限大空间向+z方向传播均匀平面波,理想介质中：,导电媒质中：,可以统一写为：,1导波系统中电磁波的

2、形式,第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,4,导波系统沿z方向是均匀且无限延伸，则场与z无关，即, = j为导波系统传播常数，为衰减常数， 为相位常数。,和 表示t=0时、z=0处导波系统的场量。,2导波系统中的波动方程,导波系统为无源区域，并假设其内部填充理想介质，则,(7-1-6),第七章 波导与谐振腔,将导波系统的电磁波表达式代入，有,2020/7/8,5,第七章 波导与谐振腔,忽略导波系统的衰减， = 0， = j，则有：,(7-1-8),(7-1-9),h称为特征值，是待定的常数。用 、 代表 、,(7-1-10),分解成标量方程，即,2020/7/8,6,(7-1-11),其中

3、,第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,7,可得,约去ej(tz),(7-1-13),第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,8,联立式(7-1-13)中的各式，可求得,求出电场、磁场的纵向分量Ez和Hz，即可求得其它横向分量。,(7-1-14),第七章 波导与谐振腔,结论,(7-1-11),如何求出纵向分量Ez和Hz？,根据（7-1-11）式求解。,2020/7/8,9,第七章 波导与谐振腔,7-2 矩形波导中的电磁场,结论：传播方向存在电场Ez分量。因此空心波导不能传TEM波。,空心波导中能否传输TEM波呢？,假设它能够传TEM波。在波导任意横截面上作闭合环路L，沿L对磁场进行环路积分。

4、TEM波只有横向场分量Ex，Ey和Hx，Hy。横截面上磁场线是闭合曲线，因此沿任意闭合回路L磁场强度的环路积分(即环量值)H不为零，为传导电流与位移电流之和，即,等式右边第1项代表传导电流，波导管为空心金属管，无内导体不可能有传导电流；右边第2项位移电流不为零说明沿传播方向存在纵向分量电场。,2020/7/8,10,一、矩形波导中电磁场的求解,1分离变量法求解波动方程,思路：先求电场、磁场纵向分量Ez和Hz，然后求其它横向分量。,第七章 波导与谐振腔,由式(7-1-11)：,(7-2-1),仅是(x,y)的二元函数，假设它们可以写成,(7-2-2),波动方程改写为,2020/7/8,11,第七

5、章 波导与谐振腔,二元二阶微分方程化成两个相互独立的一元二阶微分方程,(7-2-6),特征方程：,求得通解：,(7-2-7),，,(7-2-4),等式左边第1项与第2项之间彼此独立，等式右边为常数h2，说明式中等号左边的两项分别等于两个互相独立的常数，即：,把上式代入式(7-2-2)，可得,(7-2-8a),(7-2-8b),(7-2-5),2020/7/8,12,第七章 波导与谐振腔,2矩形波导中的TM波(E波),TM (E)波磁场 的纵向分量Hz = 0，电场 的纵向分量Ez 0，可通过Ez 分量求场的其他分量。根据边界条件，可得,2020/7/8,13,注意：m和n不能为零，否则电场Ez

6、分量恒为零， TM波就不存在了。Bmn 是与激励源有关的常数。,(7-2-11),第七章 波导与谐振腔,有了Ez和Hz就可以求其他分量，利用式(7-1-14) ：,(7-1-14),2020/7/8,14,(7-2-12),第七章 波导与谐振腔,注意：选择一组m和n值，式(7-2-11)和(7-2-12)就是TM波(E波)的一组解，特征值就确定了，因此把“m”和“n”作为特征值的下标。,2020/7/8,15,由式(7-2-5)（p5）可得：,(7-2-13),由(7-1-9)式：,可得：,若矩形波导中TM波(E波)能无衰减地沿z传播，传播常数mn必须是纯虚数mn = jmn，mn必须是实数。

7、,(7-2-15),第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,16,讨论,m和n的选取必须使 ； 存在着许多组m和n使相位常数 mn是实数，因此也就存在着许多种TM波(E波)，记为TMmn模或Emn模。 可以求得TMmn模瞬时值形式的场表达式，再给定时刻，即可确定电磁场的分布，如图7-2-2。 TMmn模下标“m”是波导内壁宽边上场量最大值出现的次数(或半驻波数)；第2个下标“n”是波导内壁窄边上场量最大值出现的次数(或半驻波数)。,第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,17,矩形波导TMmn模的电磁场分布,第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,18,3矩形波导中的TE波(H波),TE波(H

8、波)的电场Ez = 0，磁场Hz 0，利用电场切向边界条件：,通过式(7-1-14)：,可得：,由此可求得：,2020/7/8,19,m和n只能一个为零，否则Hz 为常数，使其他场分量都为零。,由(7-1-14),(7-2-19),2020/7/8,20,hmn和mn的计算与TM波完全相同，Amn = C2D2 与激励源有关。,TEmn模下标“m”、“n”与TMmn模下标“m”、“n”含义相同。,存在着许多种TE波(H波)，记为TEmn模或Hmn模。,由TEmn模场强瞬时值形式可确定电磁场的分布，如图所示。,讨论：,第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,21,TEmn模的电磁场分布,第七章

9、波导与谐振腔,2020/7/8,22,二、矩形波导中两种波型的电气参数,1截止频率(截止波长)和相位常数,mn为实数TMmn和TEmn模在波导中以行波方式无衰减传输；,截止频率：使k = hmn的TMmn或TEmn模电磁波频率，记作 fc(mn)。,由式(7-2-15)，可得：,(7-2-20),若矩形波导填充空气，则,(7-2-21),mn = j TMmn模或TEmn模处于衰减状态，沿波导衰减；,mn= 0TMmn和TEmn模处于临界状态，不能沿波导传输。,2020/7/8,23,(7-2-22),截止波长：使k = hmn无限大介质中TEM波的波长，记作 c(mn),矩形波导的TMmn模

10、或TEmn模的截止频率 fc(mn)与波导填充的介质、波导的几何尺寸以及m和n的选取有关；而截止波长c(mn)仅与波导的几何尺寸以及m和n的选取有关。,只有f fc(mn)或者 c(mn) ，矩形波导才存在TMmn模或TEmn模；用工作波长0判断，只有当 ，矩形波导中才能存在以行波方式传播的TMmn模或TEmn模。,讨论：,(7-2-24),2020/7/8,24,波导波长：在波导中，相位差为2的两个等相位面之间的距离。,第七章 波导与谐振腔,2波导波长、相速和群速,说明：,对于不同m和n的TMmn模或TEmn模有不同的波导波长。 是TEM波在矩形波导所填充介质中的波长。,电磁波的频率f 越高

11、，矩形波导中可能出现的波型模式就越多。,介质填充使波导中出现的波型多于空气填充。,(7-2-25),2020/7/8,25,第七章 波导与谐振腔,相速：TMmn模或TEmn模的动态等相位面的运动速度。,说明： 矩形波导中不同m和n的TMmn模或TEmn模有不同的相速。,(7-2-28),当矩形波导内由空气填充时， = 0，vp = c。,矩形波导是色散系统。,TMmn或TEmn模的相速vp(mn)大于相同介质中TEM波的相速vp，对于不填充介质的情形，TMmn或TEmn模的相速vp(mn)将大于自由空间的光速c。,2020/7/8,26,第七章 波导与谐振腔,群速,(7-2-29),说明： 矩

12、形波导中不同m和n的TMmn模或TEmn模有不同的群速。 TMmn或TEmn模群速vg(mn) 是电磁波能量(信号)运动的速度，不大于相同介质中TEM波相速vp，也不会大于自由空间光速c。,E-H简并现象：若矩形波导中TMmn模和TEmn模有相同的m和n (m0, n 0) ，则两种模的 c(mn)、mn、g(mn)、vp(mn)和vg(mn)也相同，这样的两种波型模式将会在矩形波导中同时出现。,2020/7/8,27,第七章 波导与谐振腔,3TMmn模或TEmn模的波阻抗,由式(7-2-12)和式(7-2-19)可求得TMmn模或TEmn模的波阻抗：,对TMmn模，可通过波阻抗由电场求磁场，

13、但反之不成立； 对TEmn模，可通过波阻抗由磁场求电场，反之不成立。,注意：当TMmn和TEmn模有相同的“m，n”时，两种模式的截止波长 c(mn)和其他各对应参数彼此相同，但波阻抗是不相同的。,(7-2-32),(7-2-35),2020/7/8,28,第七章 波导与谐振腔,例7-2-1 矩形波导横截面尺寸为ab =2.2861.016(cm2)，波导填充空气(0, 0)，波导传输信号的频率为f = 31010Hz。求：E11模和H11模的截止频率fc(11)，截止波长c(11)，波导波长 g(11)，两种模式的波阻抗和。,解：,E11模和H11模的截止频率、截止波长和波导波长相同，即,2

14、020/7/8,29,第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,30,第七章 波导与谐振腔,fc(m, n) f c(m-1,n) ( 或 f c(m,n-1) f c(m-1, n-1),c(m, n) c(m-1,n) ( 或 c(m,n-1)c(m-1, n-1),c(m-1, n-1)波导中存在TEm-1, n-1、TM m-1, n-1、,c(m, n)波导中存在TEm, n、TM m, n、 TEm-1, n-1、TM m-1, n-1 ,7-3 矩形波导中的TE10模(H10模),频率f越大或波长越小，波导中存在的工作模式越多。,显然有：,2020/7/8,31,第七章 波导与谐振

15、腔,一、矩形波导的单模传输条件,为了防止信息失真，要求波导内只存在单一的工作模式。,高次模或高次型波：截止频率高的工作模式；,低次模或低次型波：截止频率低的工作模式。,常见的截止波长有：,规定：矩形波导横截面尺寸a b。,最低次模：TE10波，截止频率最低，截止波长最大，称作主模。,单模传输条件：,(7-3-3),2020/7/8,32,第七章 波导与谐振腔,通常矩形波导横截面宽边尺寸a是窄边尺寸b的2倍略多一点。,模式分布图,2020/7/8,33,第七章 波导与谐振腔,a b = 2.3 cm 1.0 cm标准矩形波导的截止波长分布图,2020/7/8,34,第七章 波导与谐振腔,如果波导

16、中填充介质，则：,单模传输条件改为,填充介质相当于波导矩形横截面长度和宽度都扩大了 倍,对于非铁磁媒质,例7-3-1 矩形波导横截面尺寸a b = 7 cm 3 cm，填充 r = 1，r = 4介质。问：f = 3.75 109 Hz的信号在波导中有几种模式？,解：频率为f = 3.75 109 Hz的信号在真空中的波长为,(7-3-5),2020/7/8,35,第七章 波导与谐振腔,下面依次求出若干个模式的截止波长，再逐个判断。,介质中的TEM波波长为,2020/7/8,36,第七章 波导与谐振腔,存在：TE10，TE20，TE01，TE11，TM11，TE30，TE21和TM21波。,例

17、7-3-2 矩形波导中填充 r = 1，r = 4介质。f = 3.75 109 Hz的信号以H10模单模传输，求该矩形波导横截面尺寸a b 。,解：,由式(6-1-34),由单模传输条件式(7-3-3)：,可得：,因此可以选择：,a b = 2.850 cm 1.262 cm,如果这个矩形波导不填充介质，就只能传输TE10模。,填充r = 4的非铁磁理想介质，相当于把波导横截面的长度和宽度都扩大2倍，由单模传输状态转变为多模传输状态。,2020/7/8,37,第七章 波导与谐振腔,例7-3-3 矩形波导横截面尺寸a b = 7 cm 3 cm。问：(1) 当波导内填充空气时，工作波长为 0

18、= 28 cm的信号能否以TE10模(H10模)传输？(2)实现TE10模(H10模)单模传输，所填充介质的相对磁导率 r和相对介电常数 r应满足怎样的关系式？,解：,(1)由式(7-2-22)：,不能以TE10模传输,(2) 由式(7-3-5)可知，填充介质的 r和 r 应满足：,解之，可得 4 rr 16,若所选择的介质为非铁磁介质，则有4 r 16,矩形波导中填充介质后，可由截止状态变为单模传输状态。若 r 和 r 较大，还可变为多模传输状态。,2020/7/8,38,第七章 波导与谐振腔,二、矩形波导TE10模(H10模)的场结构,1电磁场结构,TEmn（或Hmn）模的场表达式：,(7

19、-2-18),(7-2-19),2020/7/8,39,第七章 波导与谐振腔,加入指数因子 后TE10模场表达式：,讨论：,电磁场沿y方向没有变化；,Ey、Hx在x = 0和x = a两个波导壁为零，在宽壁中心线上最大；Hz在两个波导壁最大，在宽壁中心线上为零。,场图:某固定时刻用电力线和磁力线表示电磁场分布的图形。,磁场线都是平行于宽面的闭合曲线；磁场曲线族沿z方向长度为半波导波长；相邻曲线族环绕方向相反。,2020/7/8,40,第七章 波导与谐振腔,2020/7/8,41,2电流与电荷的分布,理想导体表面上面电流密度矢量为：,TE10模的场:,矩形波导y = 0平面：,； y = b平面

20、：,TE10 (H10)模在上下两宽壁的磁场：,宽边内壁上下两侧对应点处电流密度矢量：,矩形波导x = 0平面：,； x = a平面：,TE10模在上下两窄壁的磁场：Hz(a, y, z) = Hz(0, y, z),窄边内壁左右两侧对应点处电流密度矢量:,2020/7/8,42,第七章 波导与谐振腔,由(1-5-3)式知，理想导体表面上面电荷与电场强度矢量关系为：,矩形波导x = 0平面和 x = a平面上：表面电荷密度 S = 0；,矩形波导y = 0平面：,； y = b平面：,矩形波导宽壁内表面上、下两侧的对应点处表面电荷密度:,S(x, b, z) = S(x, 0, z),作业：7

21、-1，7-3，7-4，7-6,2020/7/8,43,第七章 波导与谐振腔,四、TE10（H10）模的传输功率（行波状态下单模传输的功率）,，,根据(7-3-8)式，令,(7-3-29a),2020/7/8,44,第七章 波导与谐振腔,(7-3-31),在波导任意横截面上通过的平均功率为：,2020/7/8,45,第七章 波导与谐振腔,(7-3-32,33,34),2020/7/8,46,7-4 圆形波导中的电磁波,第七章 波导与谐振腔,一、圆形波导内的电磁场方程,忽略衰减， = j。圆形波导的电磁场矢量可写成 ：,(7-4-2),圆形波导存在衰减: = j,(7-4-3),2020/7/8,

22、47,第七章 波导与谐振腔,波导管内部无传导电流，故由麦克斯伟方程(5-1-14)可得：,，,根据附录五圆柱坐标系的旋度公式可得：,同理可以写出磁场的旋度运算的行列式，由此可得六个标量方程。,(7-4-5),2020/7/8,48,第七章 波导与谐振腔,(7-4-6),用纵向分量Ez和Hz来表示其他坐标分量，即,(7-4-7),2020/7/8,49,第七章 波导与谐振腔,可推导出Ez和Hz两个坐标分量在圆柱坐标系中的波动方程为：,(7-4-12),h称为特征值，根据电磁场边界条件及波型模式来确定。,(7-4-13),其中,2020/7/8,50,第七章 波导与谐振腔,二、圆波导的分离变量法,

23、消除式(7-4-12)中的指数因子，可得：,(7-4-14),(7-4-15),设：,带入(7-4-14),整理得：,(7-4-16),和是各自独立的变量,因此等式等于一个常数，令其为m2。 由此可得到两个二阶微分方程：,2020/7/8,51,第七章 波导与谐振腔,二、贝赛尔函数简介,贝赛尔函数分为第1类贝赛尔函数和第2类贝赛尔函数。第1类贝赛尔函数是一个收敛的无穷幂级数。,(7-4-17),(7-4-21),两个方程的解分别为：,(7-4-18),(7-4-22),其中为第1类m阶贝塞尔函数。,2020/7/8,52,第七章 波导与谐振腔,m 阶第1类贝赛尔函数(以下简称 m 阶贝赛尔函数

24、)为,式中自变量 x 0。贝赛尔函数的阶数可以取 m = 0,1,2,3,。,m = 0 时，称为 0 阶贝赛尔函数，即,使Jm(x) = 0的x值称为m阶贝赛尔函数Jm(x) 的根。记作pmn，n=1，2，3，是根pmn由小到大排列的的序号。图7-4-2给出了03阶贝赛尔函数随x的变化曲线，表7-4-1给出了03阶贝赛尔函数的前4个根。,2020/7/8,53,第七章 波导与谐振腔,图7-4-2 J0(x)，J1(x)，J2(x) 和 J3(x) 的变化规律,2020/7/8,54,第七章 波导与谐振腔,m阶贝赛尔函数的导数叫作m阶贝赛尔导函数,(7-4-30),使J m(x) = 0的自变

25、量x值称作m阶贝赛尔导函数J m(x)的根，记作pmn，n = 1,2,3,，是根pmn由小到大排列的序号。图7-4-3给出贝赛尔导函数变化曲线。表7-4-2给出贝赛尔导函数的前4个根。,表7-4-1 Jm(x)的前4个根pmn,2020/7/8,55,第七章 波导与谐振腔,图7-4-3 贝塞尔导函数曲线,2020/7/8,56,第七章 波导与谐振腔,表7-4-2 贝赛尔导函数J m(x)的前4个根pmn,2020/7/8,57,第七章 波导与谐振腔,表7-4-2 J m(x)的前4个根pmn,比较表7-4-1与表7-4-2,表7-4-1 Jm(x)的前4个根pmn,比较的结果：,结论：一阶贝

26、塞尔函数的根与零阶贝塞尔导函数的根相同。,2020/7/8,58,第七章 波导与谐振腔,三、圆形波导中电磁场求解及有关参数,1圆形波导中的TM波(E波),由边界条件可以求得TMmn模(Emn模)相应的特征值为,(7-4-34),(7-4-36),a为圆波导半径，将式(7-4-36)带入式(7-4-34)，Ez为,由分离变量法可得圆波导TMmn(Emn)模电场纵向分量Ez为,(7-4-37),将上式代入式(7-4-7)并考虑Hz= 0，可得圆波导四个横向分量 。,2020/7/8,59,第七章 波导与谐振腔,(7-4-38),讨论：,如果m = 0，则 90。 在波导壁内表面 = a上， E =

27、 0；H = 0，符合边界条件,2020/7/8,60,第七章 波导与谐振腔,TMmn模(Emn模)的截止波长,当波在波导中截止时=0，则：,(7-4-40),vp是介质中TEM波的相速，相应的截止波长为,TMmn模(Emn模)的截止波长与内部填充的介质无关，仅取决于贝塞尔函数的根pmn和圆波导半径a，而截止频率还与填充的介质有关。,讨论：,2020/7/8,61,第七章 波导与谐振腔,圆波导TMmn模(Emn模)的其它参数,圆波导TMmn (Emn)模场分布中，m代表横截面上沿圆周方向磁场切向分量变化的周期数（或半圆周上最大值出现次数）；n代表横截面上沿半径方向磁场线最密集数（最大值数)。,例如，TM01模沿圆周方向场量没有任何变化，对应m = 0；沿半径方向磁场线最密集出现1次，对应n = 1。,，,，,2020/7/8,62,第七章 波导与谐振腔,圆波导TM01模(E01模)场结构分布图,2020/7/8,63,第七章 波导与谐振腔,2圆形波导中TE波(H波),由分离变量法可得：,圆形波导TE(H) 模的特征值为,(7-4-46),(7-4-48),由式(7-4-7)可得：,(7-4-45),由电场切向分量连续的边界条件可得：,(7-4-