谢冉20151029公开课.ppt

1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示,基础梳理,1. 两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=叫做向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角的范围是 ,a与b同向时,夹角= ;a与b反向时,夹角= . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 . 2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果 是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a, 一对实数 ,使 . 其中, 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.,0,存在唯一的,

2、(3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数 ,使a=a1e1+a2e2.把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 a1叫a在x轴上的坐标, a2 叫a在y轴上的坐标. 设OA=xe1+ye2,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立(O是坐标原点).,3. 平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 (2)向量坐标的求法 已知A ,B ,则AB ,即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a= ,b= ,其中b0

3、,则a与b共线,题型一 平面向量基本定理,【例1】如图,在OAB中,OC= OA,OD=1/2OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b,以a、b为基底表示OM.,分析 本题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,nR),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.,解 设OM=ma+nb(m,nR),则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, 因为A,M,D三点共线,所以 ,即m+2n=1. 而 CB=OB-OC , 又因为C,M,B三点共线,所以 ,即4m+n=1. 由 ,解得 ,所以,学后反思 (1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选

4、取基底会给解题带来方便. (2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.,举一反三,已知 =(1,2), =(-2,3),a=(-1,2),以 为基底将a分解为 的形式.,解析：,题型二 平面向量的坐标运算,【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及 ,求点C、D的坐标和CD的坐标.,分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式列方程组,求出坐标.,解 设点C、D的坐标分别为 由题意得 因为 所以有 和 解得 和 所以点 C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4).,学后反思 向量的坐标是向量的另一种表示

5、形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一个“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.,2. 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN的坐标.,举一反三,解析：A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), CA=(1,8),CB=(6,3), CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6). 设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24), M(0,20). 同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18). M

6、(0,20),N(9,2),MN=(9,-18).,题型三 平面向量的坐标表示,【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). 若(a+kc)(2b-a),求实数k;,分析 由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.,解 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1) a+kc=(3+4k,2+k), 2b-a=(-5,2), 又(a+kc)(2b-a), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0 k .,学后反思 (1)与平行有关的问题,一般地,可考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解. (2)向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向

7、量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题.,举一反三,3. a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同 向还是反向？,解析：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数，使ka+b=(a-3b), 即（k-3,2k+2）=(10,-4)，得 当k=- 时，ka+b与a-3b平行， 此时ka+b=- a+b

8、=- (a-3b). =- 0,ka+b与a-3b反向.,题型四 向量的综合应用问题,【例4】（12分）已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试问: (1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.,分析 利用向量相等,建立点P(x,y)与已知向量之间的关系,表示出P点的坐标,然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征,从而解决问题.,解 (1)O(0,0),A(1,2),B(4,5),OA=(1,2),AB=(3,3), OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).2,若P在x轴

9、上,则2+3t=0,解得t ; 若P在y轴上,则1+3t=0,解得 ;.4 若P在第二象限,则 解得 .6,(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),8 若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB, 而 无解,.10 四边形OABP不能成为平行四边形.12,学后反思 (1)向量的坐标表示,实际上是把向量的运算代数化,从而实现了数与形的有机结合.这样,很多的几何问题都可以转化为代数的运算,体现了向量的优越性. (2)利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法,而利用方程(组)是求解的重要工具,这一方法需灵活应用.,4. 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，1

10、0），若AP=AB+AC(R). (1)试求为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上; （2）试求为何值时，点P在第三象限内.,举一反三,解析： 设点P的坐标为（x,y），则 AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), AB+AC=(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7). 由AP=AB+AC，得（x-2,y-3）=（3+5,1+7）,（1）若点P在第一、三象限的角平分线上， 则5+5=4+7,解得= . 因此，当= 时，点P在第一、三象限的角平分线上. （2）若点P在第三象限内，则有 -1. 因此，当-1时，点P在第三象限内.,易错

11、警示,【例1】已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为 .,错解 由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4), ,错解分析 与AB共线有两种情况:一是同向共线,一是反向共线,“错解”中忽略了反向共线这一情况.,正解 与AB同向时为 与AB反向时为,【例2】 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线AB平行于直线CD吗?,错解 AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2), 又22-41=0,ABCD,ABCD.,错解分析 在证三点共线或直线平行时,直接由ABCD得ABCD,这是不正

12、确的,因为向量平行与直线平行存在一定的差异:向量平行不等于对应的直线平行,还可能出现直线的重合;而直线平行时,对应的向量平行.所以解题时应区分开这一点.,正解 AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2), 又22-41=0,ABCD. 又AC=(1-(-1),5-(-1)=(2,6),AB=(2,4), A,B,C三点不共线, 直线AB与直线CD不重合, ABCD.,10. (2009安徽)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为 120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB, 其中x,yR,则x+y的最大值是.,考点演练,11. 若对几个向量 存在n个不全为零的实数 使得 成立,则称这几个向量为“线性相关”.依此规定,求 “线性相关”的实数 .(写出一组数值即可,不必考虑所有情况),解析：由“线性相关”定义可知 即 所以 取 ,则 因此, 即为所求的一组值.,答案: 2,12. 已知ABC中,A(7,8)