(图论)图的基本概念--第一章

1、第1章 图的基本概念,本章内容,1 图 2 通路与回路 3 图的连通性 4 图的矩阵表示 5 图的运算,1.1 图的基本概念,图的定义 图的一些概念和规定 简单图和多重图 顶点的度数与握手定理 图的同构 完全图与正则图 子图与补图,无序积与多重集合,设A，B为任意的两个集合，称a,b|aAbB为A与B的无序积，记作A 任何无向图G的各边均加上箭头就可以得到以G为基图的有向图。,关联与关联次数、环、孤立点,设G为无向图，ek(vi,vj)E， 称vi,vj为ek的端点，ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。 若vivj，则称ek与vi或ek与vj的关联次数为1。 若vivj，则称ek与vi的关联

2、次数为2，并称ek为环。 任意的vlV，若vlvi且vlvj，则称ek与vl的关联次数为0。 设D为有向图，ekE， 称vi,vj为ek的端点。 若vivj，则称ek为D中的环。 无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的顶点均称为孤立点。,相邻与邻接,设无向图G，vi，vjV，ek，elE。 若etE，使得et(vi，vj)，则称vi与vj是相邻的。 若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的。 设有向图D，vi，vjV，ek，elE。 若etE，使得et，则称vi为et的始点，vj为et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi。 若ek的终点为el的始点，则称ek与el相邻。,

3、邻域,设无向图G，vV， 称u|uV(u,v)Euv为v的邻域，记做NG(v)。 称NG(v)v为v的闭邻域，记做NG(v)。 称e|eEe与v相关联为v的关联集，记做IG(v)。 设有向图D，vV， 称u|uVEuv为v的后继元集，记做+D(v)。 称u|uVEuv为v的先驱元集，记做-D(v)。 称+D(v) 为v的出邻域, -D(v)为v 的入邻域. +D(v)-D(v)为v的邻域，记做ND(v)。 称ND(v)v为v的闭邻域，记做ND(v)。,举例,NG(v1) ,+D(d ) ,v2，v5,NG(v1) ,v1，v2，v5,IG(v1) ,e1，e2，e3,c,-D(d ) ,a，c

4、,ND(d ) ,a，c,ND(d ) ,a，c，d,简单图与多重图,定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。 例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。,顶点的度数,定义1.4 设G为一无向图，vV，称v作为边的端点次数之和为v的度数，简称为度，记做 dG

5、(v)。 在不发生混淆时，简记为d(v)。 注: 某个点上的环要计算2次度数. 设D为有向图，vV， 称v作为边的始点次数之和为v的出度，记做d+D(v)，简记作d+(v)。 称v作为边的终点次数之和为v的入度，记做d -D(v)，简记作d-(v)。 称d+(v)+d-(v)为v的度数，记做d(v)。 注:某个点上的有向环要对这个点计算一次入度计算一次出度.,图的度数的相关概念,在无向图G中， 最大度(G)maxd(v)|vV(G) 最小度(G)mind(v)|vV(G) 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。 在有向图D中， 最大出度

6、+(D)maxd+(v)|vV(D) 最小出度+(D)mind+(v)|vV(D) 最大入度-(D)maxd-(v)|vV(D) 最小入度-(D)mind-(v)|vV(D),图的度数举例,d(v1)4(注意，环提供2度)， 4，1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。,d+(a)4，d-(a)1(环e1提供出度1，提供入度1)， d(a)4+15。5，3， +4 (在a点达到) +0(在b点达到) -3(在b点达到) -1(在a和c点达到),握手定理,定理1.1 设G为任意无向图，Vv1,v2,vn， |E|m，则,说明任何无向图中，各顶点度数之和等于边数的两倍。 证明G中每条边(包括环)均有两

7、个端点， 所以在计算G中各顶点度数之和时， 每条边均提供2度，当然，m条边，共提供2m度。,另外一个更严格的证明： 当G是简单图时，,当图G不是简单图时， 只要把每一个环与重边上“嵌入”一个新的顶点得到新的图G， G是简单图. 假设有t个新的顶点,图G中原来G中的顶点度数不变， 而每个新的顶点的度数为2. 新图G的边数比图G的边数多了t条（原因是在环和重边上加入新点后， 将原来的一条边变成了两条边）。 对G利用前面的证明结果： 两边消去2t,得到结论。,握手定理,定理1.2 设D为任意有向图，Vv1,v2,vn， |E|m，则,握手定理的推论,推论任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶

8、数。 证明设G为任意一图，令 V1v|vVd(v)为奇数 V2v|vVd(v)为偶数 则V1V2V，V1V2 ，由握手定理可知,由于2m和,，所以,为偶数，,但因V1中顶点度数为奇数，,所以|V1|必为偶数。,问题研究,问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每个人恰好与其他5个人意见一致？ 解答：不可能。考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是奇数度。存在奇数个度数为奇数的图，这是不可能的。 说明： (1)很多离散问题可以用图模型求解。 (2)为了建立一个图模型，需要决定顶点和边分别代表什么。 (3)在一个图模型中，边经常代表两个顶点之间的关

9、系。,例2： 晚会上大家握手言欢，试证握过奇次手的人数是偶数。 解答：构造一个图， 以参加晚会的人为顶，仅当二人握手时在相应的二顶间加一条边。 于是每个人握手的次数为这个图的相应顶点的度数。 用握手定理的推论得到结论。 例3： 空间中不可能有这样的多面体存在， 它的面数是奇数，而且每个面是奇数条围成的。 解答：如果有这样的多面体存在，以此多面体的面集合为顶点集构造一个图G,当且仅当两个面有公共边界线时在相应的两顶间连一条边， 于是|V(G)|是奇数，而且对每个顶点v,d(v)是奇数,则所有的顶点的度数之和为奇数， 与握手定理矛盾。,度数列,设G为一个n阶无向图，Vv1,v2,vn，称d(v1)

10、，d(v2)，d(vn)为G的度数列。 对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。 反之，对于给定的非负整数列dd1,d2,dn，若存在Vv1,v2,vn为顶点集的n阶无向图G，使得d(vi)di，则称d是可图化的。 特别地，若所得图是简单图，则称d是可简单图化的。 类似地，设D为一个n阶有向图，Vv1,v2,vn，称d(v1)，d(v2)，d(vn)为D的度数列，另外称d+(v1)，d+(v2)，d+(vn)与d-(v1)，d-(v2)，d-(vn)分别为D的出度列和入度列。,度数列举例,按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。,按字母顺序，度数列，出度列，入度列分别为 5,3,3,

11、3 4,0,2,1 1,3,1,2,可图化的充要条件,定理1.3 设非负整数列d(d1，d2，dn)，则d是可图化的当且仅当,证明必要性。由握手定理显然得证。 充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数度点。 奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。,可图化举例,由定理1.3立即可知， (3,3,2,1)，(3,2,2,1,1)等是不可图化的， (3,3,2,2)，(3,2,2,2,1)等是可图化的。,定理：若 是简单图的次序列，且 则 是偶数，且对 1960年Erdos和Gallai已经证明这也是充分条件。,证明：大致思路： 对任意的k, 把图分成两部分：一部分是1到k个点组成的， 设为V1

12、， 另外的n-K点组成另外一部分,设为V2。 我们再来计算1到k点的总的度数之和。 这个度数由两部分贡献， 一是来自于V1的贡献， 最多是V1构成完全图， 它们的度数之和为k(k-1), 第二部分来自于V2, V2中的每个点给V1的所有点贡献的次数最多是d_i和k之间的最小值（原因是， V2的每个点的度数全部贡献给V1,但V1中的点最多只有k个， 只能最多接收k次）。,定理1.4,定理1.4 设G为任意n阶无向简单图，则(G)n-1。 证明因为G既无平行边也无环， 所以G中任何顶点v至多与其余的n-1个顶点均相邻， 于是d(v)n-1，由于v的任意性，所以(G)n-1。 例1.2 判断下列各非

13、负整数列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？ (1) (5,5,4,4,2,1) 不可图化。 (2) (5,4,3,2,2) 可图化，不可简单图化。若它可简单图化， 设所得图为G，则(G)max5,4,3,2,25， 这与定理1.4矛盾。,例1.2,(3) (3,3,3,1) 可图化，不可简单图化。假设该序列可以简单图化， 设G以该序列为度数列。 不妨设Vv1,v2,v3,v4 且 d(v1)d(v2)d(v3)3,d(v4)1， 由于d(v4)1，因而v4只能与v1，v2，v3之一相邻， 于是v1，v2，v3不可能都是3度顶点，这是矛盾的， 因而(3)中序列也不可简单图化。,(4) (d1,

14、d2,dn)，d1d2dn1 且 为偶数。,可图化，不可简单图化。原因?,例14.2,(5) (4,4,3,3,2,2) 可简单图化。下图中两个6阶无向简单图都以(5)中序列为度数列。,图的同构,定义1.5 设G1，G2为两个无向图， 若存在双射函数f：V1V2，对于vi,vjV1，(vi,vj)E1 当且仅当(f(vi),f(vj)E2，并且 (vi,vj)与(f(vi),f(vj)的重数相同， 则称G1与G2是同构的，记做G1G2。 说明(1) 类似地，可以定义两个有向图的同构。 (2) 图的同构关系看成全体图集合上的二元关系。 (3) 图的同构关系是等价关系。 (4) 在图同构的意义下，

15、图的数学定义与图形表示 是一一对应的。,图的同构举例,彼得森(Petersen)图,图同构的必要条件：,节点数目相等 边数相等 度数相同的节点数目相等,边图（线图）,定义： 设G是一个无环图，边图L(G)这样构成：将E(G)中的每条边作为L(G)的顶点集，即 V（L(G)=E(G)， L(G)中的两顶相邻当且仅当它们是G中的两条相邻的边。 边图有许多有趣的性质. 例如，(1) 若uv是G中的边，则在L(G)中uv对应的顶点的度数是 的d(u)+d(v)-2. 这是因为： uv对应的顶点的次数是除边uv以外的与u,v相邻的边的条数之和，即(d(u)-1)+(d(v)-1) 2),完全图,定义1.

16、6 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记做Kn(n1)。 设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n-1个顶点，又邻接于其余的n-1个顶点，则称D是n阶有向完全图。 设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向完全图Kn，则称D是n阶竞赛图。,完全图举例,n阶无向完全图的边数为：n(n-1)/2 n阶有向完全图的边数为：n(n-1) n阶竞赛图的边数为：n(n-1)/2,K5,3阶有向完全图,4阶竞赛图,正则图,定义1.7 设G为n阶无向简单图，若vV(G)，均有d(v)k，则称G为k-正则图。 举例n阶零图是0-正

17、则图 n阶无向完全图是(n-1)-正则图 彼得森图是3-正则图 说明n阶k-正则图中，边数mkn/2。 当k为奇数时，n必为偶数。,子图,定义1.8 设G，G为两个图(同为无向图或同为有向图)，若V V且E E，则称G是G的子图，G为G 的母图，记作G G。 若V V或E E，则称G 为G的真子图。 若V V，则称G 为G的生成子图。 注: 定义中一定是先要保证G是图这个前提.,子图,设G为一图，V1V且V1，称以V1为顶点集，以G中两个端点都在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出的子图，记作GV1。 设E1E且E1，称以E1为边集，以E1中边关联的顶点为顶点集V1的图为G的E1导出的子图

18、，记作GE1。,导出子图举例,在上图中，设G为(1)中图所表示， 取V1a,b,c，则V1的导出子图GV1为(2)中图所示。 取E1e1,e3，则E1的导出子图GE1为(3)中图所示。,定义1.9,定义1.9 设G为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G。 若图GG，则称为G是自补图。,(1)为自补图 (2)和(3)互为补图,定义1.10,定义1.10 设G为无向图。 (1)设eE，用G-e表示从G中去掉边e，称为删除e。 设E E，用G-E 表示从G中删除E 中所有的边，称为删除E 。 (2)设vV，用G-v表示从G中去掉v及

19、所关联的一切边，称为删除顶点v。 设V V，用G-V 表示从G中删除V 中所有顶点，称为删除V 。 (3)设边e(u,v)E，用Ge表示从G中删除e后，将e的两个端点u,v用一个新的顶点w(或用u或v充当w)代替，使w关联除e外u,v关联的所有边，称为边e的收缩。 (4)设u,vV(u,v可能相邻，也可能不相邻)，用G(u,v)(或G+(u,v)表示在u,v之间加一条边(u,v)，称为加新边。 说明在收缩边和加新边过程中可能产生环和平行边。,举例,G,Ge5,Ge1, e4,Gv5,Gv4, v5,Ge5,1.2 通路与回路,定义1.11 设G为无向标定图，G中顶点与边的交替序列vi0ej1v

20、i1ej2vi2ejivil称为vi0到vil的通路，其中，vir-1,vir为ejr的端点，r 1，2，l，vi0，vil分别称为的始点与终点，中边的条数称为它的长度。 若vi0vil，则称通路为回路。 若的所有边各异，则称为简单通路， 又若vi0vil，则称为简单回路。 若的所有顶点(除vi0与vij可能相同外)各异，所有边也各异，则称为初级通路或路径， 又若vi0vil，则称为初级回路或圈。 将长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈。,关于通路与回路的说明,在初级通路与初级回路的定义中，仍将初级回路看成初级通路(路径)的特殊情况，只是在应用中初级通路(路径)都是始点与终点不相同的

21、，长为1的圈只能由环生成，长为2的圈只能由平行边生成，因而在简单无向图中，圈的长度至少为?。 若中有边重复出现，则称为复杂通路， 又若vi0vil，则称为复杂回路。 在有向图中，通路、回路及分类的定义与无向图中非常相似，只是要注意有向边方向的一致性。 在以上的定义中，将回路定义成通路的特殊情况，即回路也是通路，又初级通路(回路)是简单通路(回路)，但反之不真。,通路和回路的简单表示法,只用边的序列表示通路(回路)。定义1.11中的可以表示成ej1 ,ej2 , ,ejl。 在简单图中也可以只用顶点序列表示通路(回路)。定义中的也可以表示成vi0 ,vi2 , ,vil。 为了写出非标定图中的通

22、路(回路)，可以先将非标定图标成标定图，再写出通路与回路。 在非简单标定图中，当只用顶点序列表示不出某些通路(回路)时，可在顶点序列中加入一些边(这些边是平行边或环)，可称这种表示法为混合表示法。,定理1.5,定理1.5 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于或等于n-1的通路。 证明 设v0e1v1e2elvl(v0vi ,vlvj)为G中一条长度为l的通路， 若ln-1，则满足要求， 否则必有l+1n，即上的顶点数大于G中的顶点数， 于是必存在k,s,0ksl，使得 vsvk, 即在上存在vs到自身的回路Csk, 在上删除Csk上的一切边及除vs外

23、的一切顶点， 得v0e1v1e2vkes+1 elvl ,仍为vi到vj的通路， 且长度至少比减少1。 若还不满足要求，则重复上述过程，由于G是有限图，经过有限步后，必得到vi到vj长度小于或等于n-1的通路。,定理1.6,推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于n-1的初级通路（路径）。 定理1.6 在一个n阶图G中，若存在vi 到自身的回路，则一定存在vi 到自身长度小于或等于n的回路。 推论 在一个n阶图G中，若存在vi 到自身的简单回路，则一定存在vi 到自身长度小于或等于n的初级回路。,例1.4,例1.4 无向完全图Kn(n3)中

24、有几种非同构的圈？ 解答长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的， 易知Kn(n3)中含长度为3，4，n的圈， 所以Kn(n3)中有n-2种非同构的圈。,例1.5,例1.5 无向完全图K3的顶点依次标定为a,b,c。在定义意义下K3中有多少个不同的圈？ 解答在同构意义下，K3中只有一个长度为3的圈。 但在定义意义下，不同起点(终点)的圈是不同的， 顶点间排列顺序不同的圈也看成是不同的， 因而K3中有6个不同的长为3的圈： abca ，acba ，bacb ，bcab ，cabc ，cbac 如果只考虑起点(终点)的差异， 而不考虑顺时针逆时针的差异，应有3种不同的圈， 当然它

25、们都是同构的，画出图来只有一个。,1.3 图的连通性,无向图的连通性 无向图中顶点之间的短程线及距离 无向图的连通程度：点割集、割点、边割集、割边、连通度 有向图的连通性及判别方法 扩大路径法与极大路径 二部图及其判别方法,无向图的连通性,定义1.12 设无向图G， u,vV，若u,v之间存在通路，则称u,v是连通的，记作uv。 vV，规定vv。,连通图与连通分支,定义1.13 若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连通图，否则称G是非连通图或分离图。 说明：完全图Kn(n1)都是连通图 零图Nn(n2)都是分离图。 定义1.14 设无向图G，如果V能划分成 V1,V2,Vk

26、，当且仅当两顶点在同一个子集时才连通,则称导出子图GVi(i1,2,k)为G的连通分支，连通分支数k常记为p(G)。 说明若G为连通图，则p(G)1。 若G为非连通图，则p(G)2。 在所有的n阶无向图中，n阶零图是连通分支最多的，p(Nn)n。,例： 有2k部电话交换台，每台至少与k个台有直通线路，证明任两台之间可以通话。 注意：如果直接证明需找出任意两个交换台之间有通路， 这是不可能的。 因为题目中没有给出具体的结构信息。 证明：先把交换台之间的通话关系用图表示出来。 把交换台作为图G的一个顶点， 仅当两台之间有直通线路时在相应的两点之间连一条边，于是图G有2k个顶点，每顶的次数至少为k.

27、需要证明G是连通图。 用反证法： 假设G不连通，则至少存在两个连通分支， 则存在一个连通分支， 其顶点数小于等于k, 则在这个连通分支上最大度数不超过k-1, 矛盾,例：在仅两个奇次顶的图中， 其二奇次顶连通。 说明：直接证明此二奇次点之间有路连接是不可能的。 故采用反证法。 证明： 如果图G中恰有两个奇次顶 u, v,但在G中这两个奇次顶 u, v不连通， 则存在两个连通分支， 每个包含一个奇次点。 对于这两个分支而言， 皆有1个奇次点， 与握手定理的推论矛盾。,无向图中顶点之间的短程线及距离,定义1.15 设u,v为无向图G中任意两个顶点，若uv，称u,v之间长度最短的通路为u,v之间的短

28、程线，短程线的长度称为u,v之间的距离，记作d(u,v)。 当u,v不连通时，规定d(u,v)。 距离有以下性质： (1)d(u,v)0，uv时，等号成立。 (2)具有对称性，d(u,v)d(v,u)。 (3)满足三角不等式： u,v,wV(G)，则 d(u,v)+d(v,w)d(u,w) 说明：在完全图Kn(n2)中，任何两个顶点之间的距离都是1。 在n阶零图Nn(n2)中，任何两个顶点之间的距离都为。,如何定义连通度,问题：如何定量地比较无向图的连通性的强与弱？ 点连通度：为了破坏连通性，至少需要删除多少个顶点？ 边连通度：为了破坏连通性，至少需要删除多少条边？ “破坏连通性”是指“变得更

29、加不连通” 。,无向图的点割集,定义1.16 设无向图G，若存在V V，且V ，使得p(G-V )p(G)，而对于任意的V V ，均有p(G-V )p(G)，则称V 是G的点割集。 若V 是单元集，即V v，则称v为割点。,v2,v4,v3,v5都是点割集 v3,v5都是割点 v1与v6不在任何割集中。,实际上，点割集是若删去它们就会使图不连通的顶点的集合，而割点是若删去此一顶点就会使图不连通的顶点。,无向图的边割集,定义1.17设无向图G，若存在E E，且E ，使得p(G-E )p(G)，而对于任意的E E，均有p(G-E )p(G)，则称E是G的边割集，或简称为割集。 若E 是单元集，即E

30、 e，则称e为割边或桥。,e6,e5,e2,e3,e1,e2,e3,e4,e1,e4,e1,e3,e2,e4都是割集， e6,e5是桥。,实际上，边割集是若删去它们就会使图不连通的边的集合，而割边是若删去此一边就会使图不连通的边。,点连通度,定义1.18设G为无向连通图且为非完全图，则称 (G)min|V |V 为G的点割集 为G的点连通度，简称连通度。 说明 连通度是为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数目。 规定完全图Kn(n1)的点连通度为n-1， 规定非连通图的点连通度为0， 若 (G)k，则称G是k-连通图，k为非负整数。 说明 (G)有时简记为。 上例中图的点连通度为1，此图为1

31、-连通图。 K5的点连通度K4，所以K5是1-连通图，2-连通图，3-连通图，4-连通图。 若G是k-连通图（k1）则在G中删除任何k-1个顶点后，所得图一定还是连通的。,边连通度,定义1.19 设G是无向连通图，称 (G )min|E | E 是G的边割集 为G的边连通度。 规定非连通图的边连通度为0。 若(G)r，则称G是r 边-连通图。 说明 (G)也可以简记为。 若G是 r 边-连通图，则在G中任意删除r-1条边后，所得图依然是连通的。 完全图Kn的边连通度为n-1，因而Kn是r边-连通图，0rn-1。 平凡图G 由于E 则0 图14.8中图的边连通度1，它只能是1边-连通图。,例1.

32、6,求所示各图的点连通度，边连通度，并指出它们各是几连通图及几边连通图。最后将它们按点连通程度及边连通程度排序。,K4,K3,K2,K1,K=1 =2,K2,K0,K0,例1.6的解答,设第i个图的点连通度为Ki，边连通度为i，I1,2,8。 容易看出，K114，K223，K332，K441， K5=1 5=2，K662，K770，K880。 (1)是k-连通图，k边-连通图，k1,2,3,4。 (2)是k-连通图，k边-连通图，k1,2,3。 (3)是k-连通图，k边-连通图，k1,2。 (4)是1-连通图，1边-连通图。 (5)是1-连通图，k边-连通图，k1,2。 (6)是k-连通图，k

33、边-连通图，k1,2。 (7)是0-连通图，0边-连通图。 (8)是0-连通图，0边-连通图。 点连通程度为(1)(2)(3)(6)(4)(5)(7)(8)。 边连通程度为(1)(2)(3)(5)(6)(4)(7)(8)。,有向图的连通性,定义1.20 设D为一个有向图。vi,vjV，若从vi到vj存在通路，则称vi可达vj，记作vivj， 规定vi总是可达自身的，即vivi。 若vivj且vjvi，则称vi与vj是相互可达的，记作vi vj。 规定vivi。 说明 与都是V上的二元关系，并且不难看出是V上的等价关系。 定义1.21 设D为有向图，vi,vjV，若vivj，称vi到vj长度最短

34、的通路为vi到vj的短程线， 短程线的长度为vi到vj的距离，记作d 。 说明 与无向图中顶点vi与vj之间的距离d(vi,vj)相比，d除无对称性外，具有d(vi,vj)所具有的一切性质。,连通图,定义1.22 设D为一个有向图。若D的基图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图。 若vi,vjV，vivj与vjvi至少成立其一，则称D是单向连通图。 若均有vi vj，则称D是强连通图。 说明 强连通图一定是单向连通图， 单向连通图一定是弱连通图。,强连通图,单向连通图,弱连通图,强连通图与单向连通图的判定定理,定理1.8 设有向图D，Vv1,v2,vn。D是强连通图当且仅当D中存在经过每个

35、顶点至少一次的回路。 证明 充分性显然。 下面证明必要性。 由D的强连通性可知，vivi+1，i1,2,n-1。 设i为vi到vi+1的通路。 又因为vnv1，设n为vn到v1的通路，则1,2,n-1,n所围成的回路经过D中每个顶点至少一次。 定理1.9 设D是n阶有向图，D是单向连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路。,关于连通图的例子：,例：简单图G及补图Gc不能都不连通 证明： 我们只需要证明：如G不连通的时候， Gc一定连通。 设 u, v为Gc中的任意两个不同的点。设G1, G2, .Gm为G的所有的连通分支（m大于等于2）。 (1) 如u, v不属于G的同一个连通分支，

36、则(u,v)属于Gc中的边，u， v在Gc中连通。 (2） 如u, v属于G的同一个连通分支， 因为G不是连通图， 则在这个连通分支以外一定存在另外一个连通分支，任取这个连通的一点w, 则（u,w), (w,v)都属于Gc中的边， 即， u, v在Gc中连通。,例：如G是连通图， G是G的子图， |V(G)|V(G)|,则G中有不属于G的边e, e的一端属于V(G),另外一端不属于V(G). 思路：由于|V(G)|V(G)|,则在G中存在一点u，另外存在一点v不在G中。 因为G连通， 则这两点在G中有一条路P(u,v)存在。从u出发沿着路P（u，v）前进，遇到第一个不属于G的顶点w,P(u,v

37、)上的一段P(u,w)的最后一条边即为所求的边e.,扩大路径法,设G为n阶无向图，E，设l为G中一条路径， 若此路径的始点或终点与通路外的顶点相邻，就将它们扩到通路中来。 继续这一过程，直到最后得到的通路的两个端点不与通路外的顶点相邻为止。 设最后得到的路径为l+k(长度为l的路径扩大成了长度为l+k的路径)，称l+k为“极大路径”， 称使用此种方法证明问题的方法为“扩大路径法”。 有向图中可以类似地讨论，只须注意，在每步扩大中保持有向边方向的一致性。,关于极大路径的说明,由某条路经扩大出的极大路径不唯一。 极大路径不一定是图中最长的路径。,“最长路径法”-在图中选最长的路， 则最长路的两个起

38、点的所有邻点都在这条路上。 利用这个性质来证明。,例1.8,例1.8 设G为n（n4）阶无向简单图，(G)3。 证明G中存在长度大于或等于4的圈。 证明 不妨设G是连通图，否则，因为G的各连通分支的最小度也都大于或等于3，因而可对它的某个连通分支进行讨论。 设u,v为G中任意两个顶点，由G是连通图，因而u,v之间存在通路，由定理14.5的推论可知，u,v之间存在路径，用“扩大路径法”扩大这条路径，设最后得到的“极大路径”为lv0v1vl，易知l3。 若v0与vl相邻，则l(v0,vl)为长度大于或等于4的圈。 否则，由于d(v0)(G)3，因而v0除与l上的v1相邻外，还存在l上的顶点vk(k

39、1)和vt(kt l )与v0相邻，则v0v1vkvtv0为一个圈且长度大于或等于4,一般地：设G为n（n3）阶无向简单图，(G)2， 则G中存在至少长度大于或者等于+1的圈。 证明：最大路径法 设P=u0u1uk是图中任意两点之间的最短路中的最长路。 则u0的所有邻点都在P上， 否则， P能变成更长的路。 设u_j1, u_j2,u_jl是u0的邻点，且就j1= (G), u0u1u_jlu0形成一个圈， 圈长至少是+1.,例：G是简单图，每个顶点的次数不小于3，则G中有偶圈。 证明： 用最长轨方法 设v0v1vm是中的最长轨，既v0的所有邻点都在这条路上。由于d(v0)3,则存在两个不同的

40、点vi, vj,1ij=m,vi与vj均与v0相邻。 若i，j 中有一个奇数， 不妨设j为奇数， 则v0v1viv0为偶圈。 否则， i，j都为偶数的话， v0vivi+1vjv0为偶圈， 长度为j-i+2.,例题： 若G是简单图， 每顶的次数不小于3，则G中各圈长的最大公约数是1或者2. 证明：用最长路法我们能证明G还有圈i+1, j+1和j-i+2的圈（ji, 上一个例题）。 反证： 假设G中各圈长的最大公约数k2,则i+1, j+1和j-i+2有公因子k, 则k可除尽j-i，于是k可除2， 矛盾。,二部图,定义1.23 设G为一个无向图，若能将V分成V1和V2(V1V2V,V1V2)，使

41、得G中的每条边的两个端点都是一个属于V1，另一个属于V2，则称G为二部图（或称二分图，偶图等），称V1和V2为互补顶点子集。 常将二部图G记为。 若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有顶点相邻，则称G为完全二部图，记为Kr,s，其中r|V1|，s|V2|。 说明n阶零图为二部图。,二部图举例,K6的子图,K6的子图,K3,3,K2,3,K3,3,K2,3,二部图的判定定理,定理1.10 一个无向图G是二部图当且仅当G中无奇数长度的圈。 证明必要性。 设图G是二部图,令Cv0,v1,v2,vk,v0是G的一条回路，其长度为k+1。 不失一般性，假设v0V1，由二部图的定义知，v1V2，v

42、2V1。由此可知，v2iV1且v2i+1V2。 又因为v0V1，所以vkV2，因而k为奇数，故C的长度为偶数。,二部图的判定定理,充分性。 不妨设G为连通图，否则可对每个连通分支进行讨论。 设v0为G中任意一个顶点，令 V1v|vV(G)d(v0,v)为偶数 V2v|vV(G)d(v0,v)为奇数 易知，V1,V2,V1V2，V1V2V(G)。 下面只要证明V1中任意两顶点不相邻,V2中任意两点也不相邻。 若存在vi,vjV1相邻，令(vi,vj)e， 设v0到vi,vj的短程线分别为i,j， 则它们的长度d(v0,vi),d(v0,vj)都是偶数， 于是ije中一定含奇圈，这与已知条件矛盾。 类似可证，V2中也不存在相邻的顶点，于是G为二部图。,1.4 图的矩阵表示,定义1.24 设无向图G，Vv1,v2,vn，Ee1,e2,em，令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)nm为G的关联矩阵，记作M(G)。,有向图的关联矩阵,定义1.25 设有向图D中无环，Vv1,v2,vn，Ee1,e2,em，令,则称(mij)nm为D的关联矩阵，记作M(D)。,有向图的邻接矩阵,定义1.26 设有向图D，Vv1,v2,vn，Ee1,e2,，em，令aij(1)为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，称(aij(1)nn为D的邻接矩阵，记