机器人学导论第4章操作臂逆运动学

1、第四章工作臂的反向运动，4.1概述4.2可解决性4.3 n6时工作臂子空间的说明4.4代数解决方案和通过几何解决方案4.5多项式化的代数解决方案4.6 3轴相交的PIEPER解决方案4.7工作臂的反向运动学实例4.8世界坐标系4.9工作臂解决了4.10重复精度和位置精度4.11计算问题，4.1概述了上一章已知工作臂的关节角度，用户工作本章如何计算更困难的运动学逆问题：工作台坐标系的已知工具坐标系的预期位置和姿势满足预期要求的一系列关节角度？第3章重点讨论了工作臂的运动学正问题，本章重点讨论了工作臂的反向运动学问题。4.2可解性，超越方程：一元方程f(x)=0的左端函数f(x)不是x的多项式，则

2、称为超越方程。金志洙方程式、代数方程式、三角方程式、倒三角形方程式等。Sinx x=0，(1)解决方案的存在性；(2)多重性；(3)解决方法、解决方案是否存在以及解决方案是否存在完全取决于工作臂的工作区。简言之，工作空间是工作臂末端效应器可以达到的范围。如果存在解决方案，则指定的目标点必须位于工作空间中。智能工作空间：机器人的末端效应器可从任何方向到达的空间区域。也就是说，机器人末端效应器可以在任何方向到达灵巧工作空间中的任何点。可到达工作区：机器人至少在一个方向上有从一个方位到达的空间。显然，智能工作空间是可到达工作空间的子集。如果一只手臂低于6个自由度，则无法在三维空间中达到完整姿势。图4

3、-1中的平面工作臂无法挤出平面，因此无法到达z座标非零的目标点。大多数情况下，具有4个自由度或5个自由度的工作臂可以超过平面操作，但不能实现所有目标点。应该研究这个操作臂，了解工作空间。通常，这种机器人的工作空间是由特定机器人的工作空间决定的子空间。一个需要研究的问题是，对于小于6自由度的操作臂，给出了确定的一般目标坐标系，最近的可到达目标坐标系是什么？工作台还取决于工具坐标系的变换。这是因为工具端点通常称为可到达空间点。通常，工具坐标系的变换与工作臂的运动学或反向运动学无关，因此通常研究腕坐标系w的工作空间。为指定的末端效应器定义工具坐标系t，指定的目标坐标系g，以计算其坐标系w。然后我们问

4、：w的预期姿势在这个工作区里吗？在此，我们研究的工作空间与用户感兴趣的工作空间(从计算角度来看)不同，用户感兴趣的是末端效应器的工作空间(t坐标系)。如果腕部坐标系的预期姿势在此工作空间内，则至少存在一个解决方案。多解问题，求解运动学方程时可能出现的另一个问题是多解问题。由于可以从任何位置到达工作空间中的任何位置，因此具有三个转动关节的平面工作臂(具有适当的链接长度和较大的关节运动范围)。图4-2显示了位置下方带有末端效应器的三链路平面操作臂。虚线表示第二个可能的位。在此位中，末端效应器的可到达姿势与第一位相同。由于系统最终只能选择一个解决方案，工作臂的多解决方案现象导致了一些问题。解决方案的

5、选择标准会发生变化，但更合理的选择是获得“最小笔划”解决方案。例如，在图4-3中，如果工作臂位于点a上，您希望将其移动到点b。最近的解决方案是最小化每个运动关节的运动。因此，图4-3中的中上部虚线所示的比特可以没有障碍物地选择。这表示对于工作臂的当前位置，只需输入反向运动学程序的较小位移量。使用此算法可以在关节空间中选择最短笔划解决方案。解决方案的数量取决于工作臂中关节的数量，同时也是链接参数和关节运动范围的函数。例如，PUMA560自动机有八个不同的解决方案达到一个既定目标。图4-4显示了这些解决方案中的4个与手的姿势相同。对于下图中显示的每个解决方案，还有其他解决方案使最后三个关节成为不同

6、的位，如下图所示。通常，链接中的非零参数越多，达到特定目标的方法就越多。以具有6个旋转关节的操作臂为例，图4-5说明解决方案的最大数量与链路长度参数(例如0)的数量相关。非零参数越多，解决方案的最大数量就越大。对于全部是转动关节的6自由度工作臂，最多可以有16种解决方案。与求解，线性方程不同，非线性方程没有一般的求解算法。将工作臂的所有解决方案分为封闭解决方案和数值解决方案两类。由于数值解决方案的迭代特性，通常比相应的闭合解决方案慢得多。大多数情况下，不喜欢使用数值解法解决运动学问题。封闭的解决方案是因为计算速度快、效率高、实时控制容易。数值方法没有几个特性。“闭合格式”表示基于分析格式的解决

7、方案，或者对于等于或小于四阶的多项式，可以完全解决，而无需重复。闭解的解可分为代数法和几何法两类。有时差异不明显。在任意几何方法中引入了代数描述，这两种方法类似。这两种方法的区别可能是解决过程的差异。Newton iterative method的几何解释：表达式的根是几何曲线与x轴的交点和点的横坐标。如果布线的近似值、相交线的横坐标为，并且点是曲线的切线，则该切线和x轴交点的横坐标为。x0，牛顿法的基本思想：线性化非线性方程，将线性方程的解逼近非线性方程的解。4.3 n6时工作臂子空间的说明，确定n自由度工作臂子空间的一种方法是提供包含n个变量的函数，即腕坐标系或工具坐标系的表达式。如果将这

8、n个变量看作自由变量，那么所有可能的值都构成了这个子空间。n使用n个参数确定此目标点，以定义具有自由角度工作臂的目标点。也就是说，如果给定目标点具有6个自由度，则一般自由度n6的工作臂无法达到此目标点。在这种情况下，可以找到工作臂的子空间中的可到达目标点，而不是目标点，并尽可能“接近”原始预定目标点。首先确定从工具坐标系原点到所需目标点的位置，然后选择接近所需姿势的可到达姿势。正如我们在示例4.1和4.2中看到的，子空间的计算取决于工作臂的几何特征。对于每个工作臂，必须单独考虑，以获得适当的计算方法。4.7节给出了将典型目标点投影到5自由度工作臂子空间的示例，以计算关节角度，从而使工作臂达到最

9、接近所需坐标系的可到达坐标系。4.4代数解决方案和几何解决方案，代数解决方案：第3章介绍的三连杆平面工作臂的示例，坐标和链接参数如下：根据第3章中的方法，应用这些链接参数可以获得此操纵器的运动表达式。阶(4-6)和(4-7)可以得到四个非线性方程。1、2和3:求解，S2的表达式最后使用两角反正切公式计算2。结果(4-15)是多个解决方案，可以选择“正”解决方案重新应用在确定时解决运动学参数的方法。也就是说，常用的方法是先确定所需关节角度的正弦和馀弦，然后应用两个角度反正切公式。这将生成所有解决方案，所需的角度位于相应的象限中。样式(4-17)和(4-18)可以写如下，因此，如果使用两个角度反正

10、切公式x=y=0，则示例(4-27)不确定，此时1需要任意值。最后，表达式(4-8)(4-9)可以求1，2，3的和。因为知道1，2，所以可以解决3的夭折。用代数方法求解运动学方程是求解手臂的基本方法之一。要从几何解决方案、几何方法中获得工作臂的解决方案，必须将工作臂的空间几何参数分解为平面几何参数。此方法在解决工作臂(尤其是1=0或90)时相当容易。然后，可以应用平面几何方法查找关节角度。使用余弦定理求解2，现在有cos(180 2)=-cos(2)，因此，例如，讨论：为了保证解决方案的存在，必须满足目标点(x，y)；在满足解决方案存在的前提下，有两种解决方案，为了解决1，我们创建图4-8中所

11、示的和角度的表达式。可以位于由x和y的符号确定的任意象限。为此，使用二进制角反正切公式：余弦定理求解：其中是，是，是，是，是，是，是，是，是，是您可以执行由单一变数u表示的转换，这是常用于求解运动学方程式的非常重要的几何转换方法。这个转换是将超越方程转换为u的多项式方程。示例4.3通过将超越方程转换为包含半角切线的一阶多项式来解决。4.6三轴相交的PIEPER解决方案通常在具有六个自由度的机器人中没有闭合解决方案，但在某些特殊情况下仍然可以解决。Pieper研究了三个相邻轴相交于一点的六自由度工作臂。本部分介绍Pieper提出的方法。此方法适用于所有6个关节都是转动关节，后面3个轴相接的工作臂

12、。最后3个轴相交时，链接坐标系4、5和6的原点都在此交点处。此点的预设座标为：也就是说，对于i=4，样式(3-6)的第四行，对于或，对于样式(4-44)，对于应用程序(3-6)，(3-6)，以及对于表达式，表达式(4-50)很有用，因为它删除了变量1，简化了变量2的形状。现在，我们讨论了如果a1=0，则r=k3，其中r用3求解。K3的右侧是3的函数。自变量(4-35)后，包含tan(3 /2)的一阶二次方程可以解3。2.如果s1=0，则z=k4。其中z是已知的。再代入(4-35)后，使用上面的一阶二次方程，就可以解3了。3.否则，通过从表达式(4-50)中删除S2和C2来求解3，可以根据样式(

13、4-50)求解2，根据样式(4-46)求解1。(4-50)，4.7工作臂的反向运动学实例，本节将探讨两个工业机器人的反向运动学问题。一是通过代数方法寻找工作臂的解决方案，二是通过部分代数方法和部分几何方法寻找工作臂的解决方案。以下解决方案不适合解决所有机器人运动学问题，但最常用于大多数普通工作臂。前面提到的对等机的解决方案可能适用于这些工作臂，但是在这里，我们选择其他方法来了解各种有效的解决方案。，The Unimation PUMA 560自动机将PUMA 560的运动方程写入为：也就是说，如果已知，则运动类型变量的值称为运动反向解。1.球体，表达式中的正负符号表示两种可能的解决方案，元素(

14、1，4)和(3，4)分别等于，2，如果矩阵方程(4-64)两端的元素(1，4)和(3，4)分别相等，则为：矩阵方程式(4-70)的两端，如果元素(1，4)和(2，4)分别相等，则：元素(1，4)和(2，4)分别相等，元素(1，3)和(2，4)，4 .如果球体、命令型(4-70)两端的元素(1，3，3)和(3，3)分别相等，则这两个表达式为：当S5=0时，机器人位于单个位置。此时，如果关节轴4和6重合，则仅解决4和6的和或差。奇异位置取决于表达式(3.79)中atan2的两个变量是否接近0。如果都接近0，则为单个位，否则为单个位。可以在奇异位中任意选择4值，并计算相应的6值。5.如果矩阵方程式(

15、4-77)两端的元素(1，3)和(3，3)分别相等，则元素(1，3)和(3，3)的两个方程式分别相等，6 .球体、矩阵方程(4-77)两端的元素(3，1)和(1，1)各不相同，它们分别出现在(4-64)和(4-68)中，因此可以有四种解决方案。此外，“翻转”手臂的腕部还可以获得四种其他解决方案。对于上面计算的四个解决方案，可以通过腕部关节的“翻转”获得，计算完所有八个答案后，由于关节运动范围的限制，放弃其中的一些(或全部)解决方案。对于剩馀的有效解决方案，通常选择与当前工作臂最近的解决方案。解决方案的多重性，puma 560的运动逆解决方案可能有8种。但是，由于结构的限制(例如每个关节变量在整

16、个360度范围内不移动)，某些解决方案无法实现。如果自动机有多个解决方案，则必须选择最满意的解决方案集以满足自动机的工作要求。yasu kawa motoman-3自动机，在第三章的第二个示例中，Yasukawa Motman L-3自动机的运动学方程已求解。此解决方案由部分代数解决方案和部分几何解决方案组成。Motman L-3的反向运动学特性有三个不同于PUMA机器人的特征。考虑到Motoman工作臂的子空间特性，您很快就会发现可以将此子空间描述为可定位约束。工具端点的坐标(ZT轴)必须位于“工作臂平面内”，即关节1的轴和轴4与轴5相交的垂直面。以最小旋转量变更工具端点的方向，以取得最接近上方平面内一般位置的位置。不需要为此子空间提供显式函数方程，只需要设置将通用目标坐标系投影到此子空间的方法。对这种情况的讨论是因为腕部和工具坐标系沿ZW的变换不同。如图4-9所示，工作臂平面的垂直m和工具末端的期望值指向ZT。要在此平面上生成新坐标ZT，必须围绕矢量k旋转角度。显然，使最小的k位于此平面上，ZT与ZT垂直。对于所有指定的目标坐标系，m定义为：即，旋转量应用了Rodrique公式，假定已知腕坐标系在工作臂的子