(修改)第七讲：从海岸线长度谈起――分形几何

1、，第七条河流海岸线的长度问题，欧几里得几何，自然的几何，看看宇宙，犬齿交错的海岸线，美丽、对称、边缘不平滑的雪花，天空云朵，山的红叶，绝大多数客观实物，欧几里得几何中讨论的点，线段，圆，立方体，球，球。复杂性是宇宙的本性。太阳系，地球围绕太阳旋转，月亮围绕地球旋转，月亮的氢原子核外有旋转的电子等无限嵌套的精细层次是自然几何！几个世纪以来，人们一直使用欧几里得几何的对象和概念来描述我们生活的世界。但是自然的随机性似乎经常产生无法用欧几里得几何描述的物体。在这种情况下，分形是最好的解释工具分形几何的基本思想，我们的主观世界认知范围是“有限的”，但客观世界是“无限的”，我们必须开拓自己的认知领域。想

2、法，1。闪电、冲积扇、泥裂、董洁豆腐、水系、小麦须根、树冠、支气管、星系、材料破坏、大脑皮层等复杂而不规则的形状，能否用欧几里得几何描述呢？2.一块水田的面积可以利用欧几里得几何学，但水田干涸的时候，如果“泥裂”可以利用欧几里得几何学呢？3.刘辉“砍”可以得到圆周，但用类似的方法可以得到“海岸线”的长度吗？你会相信吗？我们的主观世界认知范围是“有限的”，而客观世界是“无限的”。要开拓我们自己的认识领域。以下问题可能比较难在你知道的领域作出判断。1.你相信有这样的曲线吗？它包围了有限的面积，但其周长是无限的！a:有雪花曲线(焦炭在1904年创建的曲线)。有两种截然相反的特性，这种特性非常吸引人。

3、直觉：曲线周长趋势？周边地区趋势？你相信有这样的图形吗？周长接近无穷大，面积接近零。答：是的，直觉和想象：周长是怎么变化的？面积如何变化？凉爽的座椅垫，3 .你相信有这样的立体图形吗？面积为零，塞文斯基海绵，a:塞文斯基海绵。将立方体的每一边分成9等份，正方形分成27个小立方体，从体心和面心中选出7个小立方体；然后，对剩下的20个小立方体中的每一个再执行上述工作，下去，塞尔宾斯基海绵，分形讨论图形的复杂性，以上三个“怪物”的共同点是什么？几何分形或正则分形自相似性。局部形态和整体形态的相似性。形象是用任何倍数的显微镜观察任何部位，都具有与整体相似的形态。(欧几里得几何的圆没有这种特性，放大圆的

4、一部分比较平)，一，分形的起源，海岸线长度上1.b .曼德勃罗的事，1967年法国数学家b. B .曼德勃罗在科学杂志上说：“英国的海岸线有多少？”，即可从workspace页面中移除物件。他发现这种差距是海岸线形状的不规则性和利用测量的统治者的长度不同。这看起来很简单，但是Mandelbrot发现如果测量单位发生变化，其长度将无限增加。但是在欧氏几何中，当尺的长度为零时，测量的长度倾向于圆周！但是如果查克的长度为零，海岸线的长度就会变得无限！瑞典数学家科赫(Koch curve)在理论数学中构建了一个几何对象，现在称为科赫曲线(Koch curve)，时间是1904年。，直觉：周长趋于无限，

5、面积变有限的逻辑：如何证明？或3 * 1=3 3 * 1/3=3 * 4/3 * 4/3 12 * 1/3 * 1/3=3 * 4/3 * 4/3，数学任何一个部位扩大都与整体很相似。(欧几里得圆没有这种特性)，邮票上的雪花曲线(保加利亚)的奥秘是什么呢？漫长的冬天雪花，你仔细看看海岸线，相似的形状，雪花边界线的长度？面积？春风杨柳(分形树)，春天到了，树枝为1的柳树的三分之一和三分之一，新枝分五段，每段在三分之一和二分之三的地方长出新枝。新长出的树枝长度为该段的三分之一，最终成为枝繁叶茂的一棵树。请计算树枝的总长。B . B . Mandel brot:“1975年，我由描述卵石的拉丁语fr

6、actal创造了分形这个词。分形是几何图形，没有与欧几里得外形相反的规则。“第一，所有地方都没有规则。其次，它们在所有规模上都有相同程度的不规则性。无论从远处看还是从近处看，分形看起来都像自己。“整个中间的小块是从远处看不形成的小点，近距离看，轮廓分明，几乎与以前观察到的整体形状相似。“”大自然提供了很多分形的例子。例如，牧羊人、科丽妍花、丹兰和其他许多植物，树枝和树枝都很相似。其生成规则保证了小规模特征长大后成为大规模特征。- B.B.Mandelbrot，分形的示例B.Mandelbrot集合，2 .Mandelbrot集合，大图是左上角矩形部分的放大图，大图的矩形部分与整体“自相似”，分

7、形图形的“自相似”，“，实际上可以像普通种类的分形一样生成。分形=圆形元迭代分形=巩俐生成解释分形=初始条件输入反馈、分形几何体的应用、图像、数据压缩研究等，可以用多种语言类似地表示。示例：静态场景的分形压缩。雪花、海岸线、分形山、分形树叶、分形生长模型、分形植物、真实植物、使用迭代函数算法绘制的树、分形艺术图、分形艺术图、分形几何的意义、第二、混沌、自然的一切都遵循一定的规律。传统的观点是掌握这些规律，就能准确地预测事物的未来。例如，天文学家根据天体运行的牛顿定律，可以预见日食在未来某个时间发生的特定时刻。但是自然界也有很多东西，人们完全没有预见到他们未来的运动变化。例如，在空气中飘动的气球

8、，气球本身和作用在气球上的空气流也受牛顿动力学的支配，但不久就没有人准确地预测它的位置了。根据确定性代表法国数学家拉普拉斯的主张，不能确切知道气球所在的初始位置和速度，以及作用在气球上的空气的流动和方向和速度。但是如果照这样的现象看，就会错误地认为自然界所有随机的不确定性都来自未知因素的作用。蝴蝶效应，1963年美国气象学家洛伦兹发现的“蝴蝶效应”就是典型的例子。洛伦兹发现，在用三维一阶微分方程描述的气象预测模型中，这个既定的数学模型看起来是随机的，而不是达到稳定平衡或出现某种周期性变化。近似的初始条件不能得到近似结果，进一步，随着时间的推移，差异会增大。但是，这种现象不是由于计算机的准确性或

9、可靠性等原因造成的。此后，很多类似现象被发现，引起了众多学者的关注。1975年，美国数学家约克和中国学者李天岩将“蝴蝶效应”等现象称为“混乱”。对混沌现象的研究加深了人们对非线性现象的理解，加深了人们对混沌现象本质的理解。混沌讨论过程的复杂性，损失1%，误差千里1。准确度要求高的时候要考虑。混沌系统是“小错误，大错误”，洛伦兹的天气预报之类的。3.线性系统中的小扰动只会产生结果的小偏差。混乱是比秩序更普遍的现象。“蝴蝶效应”:如果巴西的蝴蝶挖翅膀，几周后美国得克萨斯可能会遭遇风暴。洛伦兹在天气预报中发现“对初始值极度敏感”。E.N.Lorenz的工作美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中

10、发现的是混沌识别过程中的一个里程碑。他想在1963年启动麻省理工学院当时比较先进的工具电脑，使天气预报长期化。洛伦兹发现了混沌运动的两个重要特征。(1)对初始值极度敏感；(2)解决方法不是完全随机的。洛伦兹之后，混沌研究开始蓬勃发展。第三，混沌思想，1 .混沌的特征1)混沌是决定论系统的内部随机性。这个随机性与我们过去所知道的随机性(例如扔硬币)大不相同。2)混沌对初始值的敏感依赖性。线性系统中，小扰动只会产生结果的小偏差，但对于混沌系统，则是“小错误，大错误”。(3)混乱不是秩序或简单的混乱，不是一般意义上的秩序。2 .混沌的含义1)混沌的发现与数学史的数学危机不同。数学危机是人们对数学基础

11、的疑问，混沌是人们在看似简单的问题上发现复杂现象。(2)混沌并不是简单的有趣的数学现象。混乱是比一般秩序更普遍的现象。它使我们对物质世界有了更深的理解，打开了研究自然复杂性的道路，同时也引出了关于物质世界认识论的一些哲学思考。第四，混沌应用，1 .通过对生命现象的调查，我发现，所有种类的生物节律既不是完全周期性的，也不是纯粹的随机的。它们与自然周期(季节、昼夜等)协调，具有本质上的复杂性质。已经有人用20年代末的非线性电路模拟了心跳。最近几年，心律失常等疾病和混沌运动之间的联系进一步查明。调查人类的脑波，对比会更加尖锐。癫痫患者的脑波显示出明显的周期性，而正常人的脑波接近随机信号。额外的测量表

12、明它们不是随机的，而是接近混沌系统。虽然知道还很远的事实，但现在有人利用混乱过程预测和调节癫痫、心律失常等。精神疾病监测和治疗的最新研究结果是正常人的脑波不是周期性的，而是混乱的，精神疾病者的脑波是周期性的。因此，可以将芯片植入精神病人体内，监视脑波，如果脑波接近周期，很可能会生病，所以要及时采取措施。这已经应用于临床。进一步的研究是，随着脑电波接近周期，会给脑电波回到混沌状态的刺激。但是混沌现象的一个特征是“对初始值极度敏感”，由于不适当的刺激会导致患者死亡，因此还没有应用于临床。2 .在气象学研究方面，混沌动态开发似乎排除了长期预报的可能性。但一方面，我们现在对预测问题有了更现实的态度。事

13、实上，短期预报和长期预测的要求并不相同。只有短期预报，我们才关心变化的细节。对于长期预报，进一步关注了今后20年华北年的年降水量是多少等多种平均水平的发展趋势。混沌动态的进步正是在这一点上增加了人类的预测容量。3 .基于混沌理论的安全通信、信息加密和信息隐藏技术的研究已成为国际热门前沿课题之一，也是高新技术研究的新领域。已经提出了很多混沌加密系统，但是混沌加密的理论还没有完全成熟，对混沌加密的研究仍然是一个新的、具有挑战性的前沿课题。4 .目前将混沌理论应用于经济理论的研究也很活跃。但是混沌理论最现实的应用应该属于美国的交通工程师集团。他们在1988年把混乱和复杂的交通图形联系起来。如果有人停

14、在马路上，可能会把责任推到混乱上。分形几何进入了中学数学课程1。分形几何的建立是数学发展史上的另一个发展。2)分形理论是描述现实世界的有力工具。3)分形几何是发展创新思维的优秀材料。4)帮助学生掌握数学思维方法，发展辩证思维，提高审美品味的思想方法。5)过程现代化的必要性，数学上分形是从线段、点、三角形等对象开始无限反复应用规则的形式。此规则可以用数学公式或文字描述。雪花曲线、分形树等。2 .中小学数学教室里的分形几何入门1)分形树绘制：绘制树干；绘制两根树枝，确保树干的角度为120度，长度为树干的一半；在树枝上继续画树枝，要求ibid。和讨论：1)新枝数；2)所有分支的数量；3)新枝的长度；(4)所有树枝的长度，5)设计自己的分形树。(2)雪花曲线3)塞文斯基地毯，本论考试题：1。引用客观世界的分形图案和数学家结构的分形图形，和分形树：绘制树干；