复习 研究生应用数理统计

1、在前面我们曾经定义过事件的条件概率，同样也可以考虑一个随机变量的条件分布，其条件与另一随机变量的取值有关。,四 条件分布,连续型,定义,例,其中第一个参数是x的线性函数，第二个参数与x无关，此结论在一些统计问题中很重要。,例1 设 的联合分布密度为,解 关于 的边缘密度为,于是,下面讨论无偏估计方差的下界，达到这个下界的无偏估,量称为优效估计量（最小方差无偏估计）。,定理：罗克拉美不等式（条件见书）,罗克拉美不等式,右端为罗克拉美下界，记为,类似：d.r.v,注：有时能找到无偏估计使它的方差达到这个下界，有时达不到,见书上p60 例3.2.4和例3.2.5.,正确,正确,假设检验的两类错误,犯

2、第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为 ,任何检验方法都不能完全排除犯错,假设检验的指导思想是控制犯第一类,误的可能性.理想的检验方法应使犯两类,错误的概率都很小,但在样本容量给定的,情形下,不可能使两者都很小,降低一个,往往使另一个增大.,错误的概率不超过, 然后,若有必要,通,过增大样本容量的方法来减少 .,1 非正态总体参数的假设检验,设总体 x 服从参数为 p 的(01)分布, 即,1(01)分布参数的假设检验,由于,因此由中心极限定理可知, 当,成立且样本容量,n充分大时，统计量,服从标准正态分布n(0,1).,=该假设检验问题的拒绝域为,近似地,例1 某种产品在通常情

3、况下次品率为5%. 现在从生产出的一批产品中随机地抽取50件进行检验, 发现有4件次品. 问能否认为这批产品的次品率为5%? (=0.05),解 设这批产品的次品率为 p.,在这批产品中任,任意取一件产品，定义随机变量 x 如下,检验假设,该假设检验问题的拒绝域为,现在,统计量u的值为,=接受假设,=可以认为这批产品的次品率为5%,2.总体均值的假设检验,假设总体x 的均值为,方差为,为 x 的样本,检验假设,由中心极限定理知，当样本容量n充分大时，,近似地服从标准正态分布n(0,1),由于样本方差,为,的无偏估计量，,且样本容量n充分大时，统计量,仍近似地服从标准正态分布n(0,1),=该假

4、设检验问题的拒绝域为,例2 某电器元件的平均电阻一直保持在2.64. 改变加工工艺后, 测得100个元件的电阻, 计算得平均电阻为 2.58 , 样本标准差为0.04 . 在显著性水平 =0.05下, 判断新工艺对此元件的平均电阻有无显著影响.,解 设该电器元件的电阻为x, 其均值为,检验假设,拒绝域为,现在,统计量u的值为,=拒绝假设,接受假设,=新工艺对电子元件的平均电阻有显著影响.,3.两个总体均值的假设检验,设总体,和,相互独立，,的样本,是,是 y 的样本. 记,设总体 x的均值为,，方差为,总体 y的均值为,，方差为,的拒绝域.,由中心极限定理知，当样本容量,和,都充分大时，,近似

5、地服从标准正态分布,由于样本方差,和,分别为,和,的无偏估计量，因此,可以,分别用,和,近似代替,和,，并且当,求假设检验问题,和,近似地服从标准正态分布,，从而当原假设,成立时，,统计量,仍近似地服从标准正态分布.,都充分大时，,统计量u的值应该在零附近摆动，,当,过大时就认为,不成立.,=该假设检验问题的拒绝域为,例3 两台机床加工同一中轴承，现在从他们加工的轴承中分别随机地抽取200根和100根，测量其椭圆度（单位：mm），经计算得,能否认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是相同的(=0.05),解设这两台机床加工的轴承的椭圆度分别为x,y,且,检验假设,由于题目给出的两个样本都是大样本

6、，因此该假设检验问题的拒绝域为,现在,=拒绝原假设,即认为这两台机床加工的,轴承的平均椭圆度是不相同的.,2 分布拟合检验,设总体x的实际分布函数为f(x),它是未知的.,为来自总体 x的样本.,根据这个样本来检验总体x的分布函数f(x),是否等于某个给定的分布函数 f0(x),即检验假设,:,注意: 若总体 x 为离散型的, 则,相当于,总体 x 的分布律为,若总体 x 为连续型的, 则,相当于总体 x 的,概率密度为 f(x) .,（1）若,中,的分布函数,不含未知参数.,两两互不相交的子集,= 在n次试验中,事件 ai发生的频率为 fi /n,另一方面,当h0为真时, 可以根据h0所假设

7、的 x 的分,布函数来计算,选取统计量,来度量样本与h0中所假设的分布的吻合程度，hi是给定的常数。,如果选取,则上述统计量变成,定理1 （皮尔逊）当h0为真且n充分大时, 统计量,近似服从,分布.,由定理1, 若给定显著性水平,则前述假设检验问题的拒绝域为,（2）若h0中x 的的分布函数含有未知参数.,此时, 首先在假设下利用样本求出未知参数的最大似然估计, 以估计值作为参数值, 然后再根据 h0中所假设的 x 的分布函数 f(x)求出 pi的估计值,并在,为真且,充分大时, 统计量,定理2 （皮尔逊）当,近似服从,分布, 其中r是 x的分布函数,f(x)包含的未知参数的个数.,若给定显著性

8、水平,则前述假设检验问题的拒绝域为,注意：运用,检验法检验总体分布, 把样本数据进,（1）大样本, 通常取,（2）要求各组的理论频数,或,（3）一般数据分成7到14组. 有时为了保证各组,行分类时,组数可以少于7组,例1 孟德尔在著名的豌豆杂交实验中, 用结黄色圆形种子与结绿色皱形种子的纯种豌豆作为亲本进行杂交, 将子一代进行自交得到子二代共556株豌豆, 发现其中有四种类型植株,（黄圆）（黄皱） （绿圆）（绿皱）,总计,315株,101株 108株,32株 556株,试问这些植株是否符合孟德尔所提出的,的理论比例,解 检验假设,由,由n=556,得,而,计算得,由 =0.05 ,自由度,查,

9、分布表得,=在=0.05下接受,=这些植株是符合孟德尔所提出的,的理论比例,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,三、单侧置信区间,于是引入单侧置信区间和置信限的定义：,又若统计量 满足,由于方差 未知，,解： 的点估计取为样本均值,选取统计量为,对给定的置信水平 ，确定分位数,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为0.95的单侧置信下限是,1065小时,例5 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 （单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下 10.5 11.0 11.2 12.5 12.8 假设制造单位产品所需工时,试求平均