第五章 递归关系及解法

1、第五章 递推关系及其解法,5.1 递归关系的建立 -在计算机科学特别是算法分析中有广泛的应用 定义5.1.1 设a0,a1,a2,an,为一序列,把该序列中an与它前面的几个ai关(0in-1)联起来的方程称为一个递归关系.,例1(“Hanoi塔”问题)：这是一个组合数学中的著名问题。n个大小不一的圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图示。现要求将所有的圆盘从A柱上全部转移到C柱上,每次只允许从一个柱子上转移一个盘子到另一柱子上，且在转移过程中不允许出现大盘放在小盘上方。试问要转移多少次才能将柱A上的n个盘移到C柱上。,例2 “Fibonacci兔子问题”：从某年某月(设为第0月)开始,

2、把雌雄各一的一对小兔放入养殖场,假定两个月后长成成年兔,并同时(即第二个月)开始每月产雌雄各一的一对小兔,新增的小兔也按此规律繁殖,问第n个月末养殖场共有多少对兔子? 第n月的兔子包括两部分:上月留下的和当月新生的,而新生的小兔数即为前月末的兔子数,所以 Fn=Fn-1+Fn-2 Fibonacci序列的性质:,5.2 常系数线性齐次递归关系的解法,定义5.2.1 序列a0,a1,a2,an,中相邻的k+1项之间的关系为 则称之为序列的k阶常系数线性齐次递归关系,其中系数bi为常数,i=1,2,k,且bk0。 定义5.2.2 与(5.2.1)相联系的方程 称之为递归关系(5.2.1)的特征方程

3、，其根称为递归关系式的特征根。,特征方程的根与递归关系的解之间的关系：,1.特征根无重根 定理5.2.1 若q 0, an=qn为递归关系(5.2.1)的解当且仅当q为特征方程(5.2.2)的根。 定义5.2.3 称式 为递归关系(5.2.1)的初值条件。,定理5.2.2 若q1,q2,qk为递归关系式(5.2.1)的特征根，c1,c2,ck为任意常数，则 为递归关系(5.2.1)的解。 定义5.2.4 若对递归关系(5.2.1)的任意一个解an，都存在一组常数c1,c2,ck使得 则称该式为递归关系式(5.2.1)的通解。 定理5.2.3 若q1,q2,qk为递归关系式(5.2.1)的k个互

4、不相同的特征根，则式(5.2.4)为(5.2.1)的通解。,例1 求Fibonacci序列的通项。 例2 求解递归关系,注：若特征根有复根，复根成对出现，故设 则通解可表示为 其中,例3 求解递归关系,2.特征根有重根,定理5.2.4 若递归关系(5.2.1)的特征方程(5.2.2)有一个m重根q，则qn,nqn,nm-1qn均为(5.2.1)的解。 定理5.2.5 设q1,q2,qt分别为特征方程(5.2.2)的相异的m1,m2,mt重根,且 则递归关系(5.2.1)的通解为,例4 求解递归关系 例5 求解递归关系,5.3 常系数线性非齐次递归关系的解法,定义5.3.1 序列a0,a1,a2

5、,an,中相邻的k+1项之间的关系为 则称之为序列的k阶常系数线性非齐次递归关系,其中系数bi为常数,i=1,2,k,bk0,f(n) 0,nk 。 定义5.3.2 在式(5.3.1)中,若f(n)=0, 则称 为由式(5.3.1)导出的常系数线性齐次递归关系。,定理5.3.1 若 为(5.3.1)的一个特解,而 ( )是由(5.3.1)导出的线性齐次递归关系(5.3.2)的通解,则 为(5.3.1)的通解。 注：由定理5.3.1知, 要求(5.3.1)的通解,只要求它的一个特解及导出的齐次递归关系的通解即可。对非齐线性递归关系的特解, 针对f(n)的特殊形式有以下情形:,1.f(n)是n的t

6、次多项式 1不是齐次递归关系(5.3.2)的特征根 这时,(5.3.1)的特解形式为 其中 为待定常数。 例1 求解“Hanoi塔”问题的递归关系 例2 求解递归关系,1是齐次递归关系(5.3.2)的m重特征根(m1) 这时,(5.3.1)的特解形式为 其中 为待定常数。 例3 求解递归关系,2 f(n)是n的形式 不是导出的齐次线性递归关系的特征根 这时,(5.3.1)的特解形式为 其中 A为待定常数。 例4 求解递归关系,是导出的齐次线性递归关系的m重特征根(m1) 这时,(5.3.1)的特解形式为 其中 A为待定常数。 例5 求解递归关系,f(n)= n g(n),其中g(n)为n的t次

7、多项式, 是导 出的齐次线性递归关系的m重特征根(m0) 这时,(5.3.1)的特解形式为 其中 为待定常数。 例6 求解递归关系,5.4 递归关系的其他解法,前面方法当k较大时，面临求解高阶方程及k个未知数k个方程的方程组, 求解困难问题。本节再介绍一些方法。 一、迭代法 例1 求解递归关系 二、归纳法 例2 求解递归关系,三、母函数法 主要思想: 用f(x)表示序列a0,a1,a2,an,的普通母函数,即 利用递归关系an的表达式与(5.4.1)间的关系将(5.4.1)化为关于f(x)的方程，即有 g(f(x)=0; 解出f(x)； 将f(x)的表达式展开成幂级数的形式，即得an的初等表达

8、式.,例3 求解递归关系 例4 求解递归关系,四、代换法 将序列a0,a1,a2,an,的递归关系转换为关于新序列b0,b1,b2,bn,的递归序列。 例5 求解递归关系 五、将常系数线性非齐次递归关系转化为常系数齐次递归关系 例6 求an-2an-1=3的通解。 例7 求,5.5 Stirling数,一、第1类Stirling数 令 ，若 则称S1(n,k)为第1类Stirling数，即为多项式xn中xk的系数。 约定：当nk时， S1(n,k)=0。 定理5.5.1 第1类Stirling数S1(n,k)满足,由定理5.4.1得第1类Stirling数S1(n,k)的数值：,二、第2类St

9、irling数 若 则称S2(n,k)为第二类Stirling数。显然，当nk时， S2(n,k)=0。 定理5.5.2 第2类Stirling数S2(n,k)满足,S2(n,k)的组合意义涉及集合的划分。,定理5.5.3 S2(n,k)为n个元素的集合划分成k个不相交的非空子集的方式数。 证明 设A(n,k)为n个元素的集合划分成k个不相交的非空子集的方式数，只要证明A(n,k)满足定理5.5.2即可。 给定一个n+1个元素的集合a1,a2,an+1,将它划分为k个不相交的非空子集,分以下两种情况: (1) an+1为k个子集中的一个子集，则将a1,a2,an划分为k-1个子集的方式数为A(

10、n,k-1)。 (2) an+1不为k个子集中的一个子集，则an+1必为某个子集中的元素。这时，先将a1,a2,an划分为k个子集共有A(n,k)种方式，然后将an+1加到k个子集中的某一个，共有k种方式，从而得总的划分数为kA(n,k)。 由加法原理， a1,a2,an+1划分为k个子集的方式数为 A(n,k-1)+ kA(n,k)。 所以有 A(n+1,k)=A(n,k-1)+ kA(n,k)。 又将0 个元素的集合划分为0个不相交子集的方式数为1，所以A(0,0)=1。 另一方面，不可能将n个元素的集合中的元素不放进任何一个集合中去，所以A(n,0)=0。 这样， A(n,k)满足定理5

11、.5.3，所以 A(n,k) =S2(n,k)。,说明： (1)把n个不同的球放入k 个相同的盒子而无一空盒，等价于将n个元素的集合划分为k个不相交的非空子集，所以把n个不同的球放入k个相同盒子而无一空盒的放法共有S2(n,k)种。 (2) S2(n,k)具有以下性质： S2(n,n)=1, S2(n,k)=0 (nk, 或 k=0n)； S2(n,2)=2n-1-1; S2(n,n-1)=C(n,2)。,例2 设m,n均为正整数，mn。用组合分析的方法证明 证明 设有n只不同的球，m个盒子，它们的编号依次为1,2,m。把这n个球放入盒子中，允许有空盒且不限制放入盒子内的球的个数，共有mn种方法。 另